發(fā)展數(shù)學(xué)說理能力 促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)

福建省廈門市第五中學(xué) 萬珠明

數(shù)學(xué)說理能力是指以高階思維的發(fā)展和實(shí)際問題的解決為目標(biāo),學(xué)生通過說理，引發(fā)了深層次的數(shù)學(xué)思考，迸發(fā)了潛能，深化了對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解。學(xué)生從“知其一不知其二”的淺層學(xué)習(xí)向深度學(xué)習(xí)延展，從而達(dá)成學(xué)生高階思維能力的培養(yǎng)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的魅力也會(huì)逐步凸顯，學(xué)習(xí)走向深度，最終達(dá)成“想明白、說清楚”的深度學(xué)習(xí)的培養(yǎng)目標(biāo)。

深度學(xué)習(xí)的核心是發(fā)展素養(yǎng)、提高能力，要讓學(xué)生學(xué)會(huì)主動(dòng)思考、經(jīng)歷過程、學(xué)會(huì)質(zhì)疑、批判運(yùn)用與思維進(jìn)階。隨著課堂教學(xué)改革的深入，針對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)課堂的深度學(xué)習(xí)更是越來越多地被關(guān)注與研究。而數(shù)學(xué)說理是一項(xiàng)重要的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，學(xué)會(huì)說理是學(xué)科語言素養(yǎng)和思維能力不斷累積與進(jìn)階的過程，在這個(gè)過程中學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)、數(shù)學(xué)表達(dá)能力、思維邏輯體系不斷地得到提高和完善。如何基于知識(shí)學(xué)習(xí)的廣度、深度、關(guān)聯(lián)度來發(fā)展數(shù)學(xué)說理能力，讓“深度學(xué)習(xí)”真實(shí)落地，最終使學(xué)生獲得數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的發(fā)展，達(dá)成立德樹人的根本任務(wù)，是需要我們在教育教學(xué)中不斷地學(xué)習(xí)與鉆研的。

一、創(chuàng)設(shè)有效情境，提供說理機(jī)會(huì)

恩格斯說：“數(shù)學(xué)是一門研究數(shù)與形的空間形式的學(xué)科?！苯處煈?yīng)該創(chuàng)設(shè)學(xué)生熟悉的問題情境，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，讓數(shù)與形越發(fā)生動(dòng)有趣。通過愉悅的、豐富有趣的情境，帶領(lǐng)學(xué)生融入暢所欲言、安全的、自由的學(xué)習(xí)場景中來，激發(fā)學(xué)生言說表達(dá)的欲望，讓更多的不同層次的孩子有意愿、有機(jī)會(huì)、有勇氣來表達(dá)自我?；趯W(xué)情設(shè)計(jì)好科學(xué)的問題情境就是在為學(xué)生搭建深化認(rèn)識(shí)的腳手架，良好地構(gòu)設(shè)新舊知識(shí)的聯(lián)結(jié)，孵化了說理的載體。

我們通過創(chuàng)設(shè)情境讓學(xué)生回到分?jǐn)?shù)的定義中去。分?jǐn)?shù)的定義：將一個(gè)整體平均分成m份，表示這樣的1份或n份的數(shù)叫作分?jǐn)?shù)。這里對(duì)“n份”沒有限制，它可以是任何自然數(shù)。學(xué)生受“真分?jǐn)?shù)”學(xué)習(xí)的前攝抑制，往往覺得分?jǐn)?shù)就要分子小于分母。我們采用這樣的累加情境的設(shè)計(jì)，可以很好地突破這一障礙，孵化說理能力。這樣的設(shè)計(jì)著眼于學(xué)生學(xué)習(xí)困惑上的調(diào)整，使假分?jǐn)?shù)概念的建構(gòu)有更適宜的土壤，讓學(xué)生實(shí)現(xiàn)了深度學(xué)習(xí)的開啟。

教師利用合適的情境組織數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，搭建情與理相融的課堂，能夠促進(jìn)師生之間、生生之間的交流對(duì)話，實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)過程中的深度互動(dòng)。

二、重視活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，積淀說理載體

學(xué)生對(duì)抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和表達(dá)是有難度的，我們可以借助幾何直觀地讓學(xué)生親身經(jīng)歷、感受。學(xué)生在體驗(yàn)中調(diào)動(dòng)多種感官參與，發(fā)展學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，提升了思維的主動(dòng)性和深刻性，并在探索的過程中逐步加深對(duì)知識(shí)的理解。通過活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累，孩子的說理能力自然會(huì)積淀，也逐步實(shí)現(xiàn)形象化到抽象化思維的進(jìn)階，深入思考數(shù)學(xué)知識(shí)、規(guī)律等背后隱藏的道理，達(dá)成深度學(xué)習(xí)。

例如，在教四年級(jí)“三角形內(nèi)角和”這節(jié)課時(shí)，教師可以通過提出關(guān)鍵問題“你想研究三角形的內(nèi)角和的度數(shù)嗎？”“誰來說說你是怎么研究出結(jié)論的？”“三角形內(nèi)角和和什么無關(guān)？”，結(jié)合關(guān)鍵活動(dòng)開展探究：“初次猜想→測量（再猜想）→驗(yàn)證→再次驗(yàn)證”，多個(gè)維度的活動(dòng)讓說理更有理有據(jù)，學(xué)習(xí)走向深度。

活動(dòng)探究：①初次猜想：三角形內(nèi)角和是多少度？

②測量：測量形狀、大小不一的三角形內(nèi)角和大約是多少度。

③驗(yàn)證：開展小組合作，利用三角形、四邊形紙質(zhì)學(xué)具，通過剪、拼、折等驗(yàn)證你的猜想。

④再次驗(yàn)證：借助信息技術(shù)幾何畫板動(dòng)畫演示進(jìn)行再次驗(yàn)證。

教師創(chuàng)設(shè)螺旋上升的科學(xué)探究活動(dòng)，讓學(xué)生積累了基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，重組和完善了知識(shí)結(jié)構(gòu)。活動(dòng)中學(xué)生實(shí)踐、交流、碰撞，獲得“三角形內(nèi)角和是180°”，并通過活動(dòng)感受到三角形的內(nèi)角和與它的形狀、大小、邊長無關(guān)這一知識(shí)本質(zhì)。數(shù)學(xué)說理如果停留在語言上的空對(duì)空，那么學(xué)習(xí)必是淺層次的，知識(shí)一定是容易遺忘的。我們借助數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)體驗(yàn)和累積，豐富學(xué)生的認(rèn)知和理解，并在實(shí)際應(yīng)用中深化活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)而助力學(xué)生有深度地思考與學(xué)習(xí)。

三、巧用多元表征，厚植說理深度

說理表達(dá)，不僅僅是言說表達(dá)，也包括非言說表達(dá)。言說表達(dá)和非言說表達(dá)都指向揭示數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)。常見的非言說表達(dá)有畫示意圖、直觀演示、紙筆演繹、操作實(shí)驗(yàn)等多元表征方式。當(dāng)學(xué)生言說表達(dá)有困難的時(shí)候，我們可以借助多元表征來輔助表達(dá)。以概念教學(xué)為例，它往往比較單一、抽象，我們更要充分利用多元表征方式，表征越豐富，學(xué)生對(duì)概念的理解會(huì)越到位，越能認(rèn)識(shí)其本質(zhì)。如果教師的教學(xué)都僅用單一表征來呈現(xiàn)的話，學(xué)生無法獲取到更多更全的信息，也就會(huì)產(chǎn)生更差異化的獲得。所以我們應(yīng)該更合理地利用多維表征、多角度思考等方式開展教學(xué)，助力學(xué)生抽象歸納的思維進(jìn)階，發(fā)展推理分析、模型建構(gòu)的數(shù)學(xué)思考，促進(jìn)了對(duì)數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的構(gòu)建，同時(shí)也培養(yǎng)了學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和數(shù)學(xué)語言的精練性。

例如，在教“行程問題”中，怎樣才能更好地理解分析兩車運(yùn)動(dòng)的場景，區(qū)分相向而行、同向而行、背向而行等多種運(yùn)動(dòng)情境？我們可以引導(dǎo)學(xué)生畫線段示意圖，還可以借助肢體語言，通過比一比、指一指、模擬演示等表征方式，讓學(xué)生在演示的過程中將自己的思維外顯，這將使學(xué)生理解得更深刻。

又如在教二年級(jí)“認(rèn)識(shí)千以內(nèi)的數(shù)”時(shí)，利用多種表征幫助學(xué)生學(xué)習(xí)、認(rèn)識(shí)數(shù)的意義和本質(zhì)，例題定格重點(diǎn)數(shù)“324”，學(xué)生以小組為單位自主選擇用小棒、方塊圖和計(jì)數(shù)器來表示出“324只小動(dòng)物”，利用直觀、具體的學(xué)具，從多種角度幫學(xué)生抽象出“324”，理解這個(gè)數(shù)的意義和組成。教師還可繼續(xù)聯(lián)系生活，把抽象的數(shù)具體化，使學(xué)生在多種情境中理解現(xiàn)實(shí)生活中數(shù)的意義。例如，“206”這個(gè)數(shù)，課上學(xué)生親眼看到用10×10數(shù)豆神器數(shù)出黃豆206粒；身臨其境地量出NBA球星的身高有206厘米；親自數(shù)出一篇小文章有206個(gè)字；還科普了成人骨骼有206塊。從數(shù)量多少、高度以及所占平面的大小等多種維度形成對(duì)“206”這個(gè)數(shù)豐富意義的準(zhǔn)確認(rèn)識(shí)。教師從學(xué)生原有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，緊扣學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，利用多種表征方式引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“操作→圖示→符號(hào)→生活”等表征方式，培養(yǎng)學(xué)生的說理能力，發(fā)展學(xué)生數(shù)感，促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)與數(shù)學(xué)思考的構(gòu)建。

四、問題驅(qū)動(dòng)探索，提升說理邏輯

學(xué)生如果僅僅以輸入接受作為學(xué)習(xí)方式，久而久之會(huì)不愛思考，自己的理性、思辨思維也會(huì)難以發(fā)展。在數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)中，我們要使學(xué)生積極投入，高階認(rèn)知參與，要?jiǎng)?chuàng)設(shè)有意義的問題驅(qū)動(dòng)，促使學(xué)生能在多角度思考后展開綜合分析后有條理且清晰地說明知識(shí)的緣由，使思維向深度發(fā)展。

例如，在五年級(jí)“3的倍數(shù)的特征”這一課，學(xué)生經(jīng)歷從2、5的倍數(shù)的特征的探究引發(fā)對(duì)3的倍數(shù)的初次猜想→通過結(jié)合百數(shù)表進(jìn)行圈畫3的倍數(shù)進(jìn)行初次驗(yàn)證→拋出疑問“百數(shù)表外的數(shù)，3的倍數(shù)的特征是否同樣適用”通過借助計(jì)算器再次驗(yàn)證。通過小組合作探究的形式，揭示“百數(shù)表的秘密”，學(xué)生清楚地看到了百數(shù)表3的倍數(shù)的排列分布特點(diǎn)，從抽象到具體，讓學(xué)生全面研究了3的倍數(shù)的特征，在歸納推理中得出結(jié)論。

學(xué)生經(jīng)歷了一系列的真實(shí)體驗(yàn)后，教師以問題驅(qū)動(dòng)探索：“為什么2、5的倍數(shù)只需要看個(gè)位？而3的倍數(shù)卻要看各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字和？判斷17是不是3的倍數(shù)，為什么只看1+7就行？這里的兩個(gè)‘1’是一樣的嗎？”教師利用小棒圖圈一圈、畫一畫、想一想等直觀方式，讓學(xué)生的思維從“合情”走向“合理”，對(duì)知識(shí)本質(zhì)內(nèi)涵有了更深的理解。教師可以設(shè)置以下活動(dòng)。

活動(dòng)a：借助小棒圖直觀理解：3的倍數(shù)為什么把各個(gè)數(shù)位上的數(shù)加起來呢？師生一起分一分。(見圖1)

圖1 活動(dòng)a小棒圖

師：我們利用小棒圖，先從簡單的數(shù)17開始，它是不是3的倍數(shù)，為什么只看1+7就行了？

引導(dǎo)學(xué)生思考、探索，小組合作開展說理，最后達(dá)成共識(shí)：十位上的“1”，用一捆10根來表示，3根3根地分，會(huì)余下1根，1根再加上個(gè)位上的“7”也就是7根，總共就余下1+7=8根，8不能被3整除，所以17不是3的倍數(shù)。

活動(dòng)b：放手讓學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上，繼續(xù)分一分，解釋判斷36是不是3的倍數(shù)，為什么只看3+6就行了。(圖2)

圖2 活動(dòng)b小棒圖

學(xué)生依托種子問題開展思考、探索、說理后，繼續(xù)開展小組合作自主說理，最后達(dá)成固化說理：十位上的“3”，用三捆10根來表示，3根3根地分，會(huì)余下三個(gè)1根，共3根，3根再加上個(gè)位上的“6”也就是9根，也就是3+6=9根，9能被3整除，所以36是3的倍數(shù)。

活動(dòng)c：這次不分了，想一想：判斷118是不是3的倍數(shù)，為什么只看1+1+8就行了？

學(xué)生從在說理的過程，逐步從直觀推理走向抽象推理，發(fā)展了邏輯推理能力。理解了118=100+10+8=(99+1)+(9+1)+8=(99+9)+1+1+8，而99和9都是3的倍數(shù)，那最后余下的就是1+1+8=10，10不能被3整除，所以118不是3的倍數(shù)。

學(xué)生通過問題驅(qū)動(dòng)探究，分一分，想一想、算一算來說明為什么不同數(shù)位上的數(shù)字可以直接相加。學(xué)生在問題驅(qū)動(dòng)下開展探究活動(dòng)，并從中經(jīng)歷直觀演示到用“數(shù)學(xué)說理”的方式來判斷3的倍數(shù)，深入理解知識(shí)的本質(zhì)內(nèi)涵，明析知識(shí)間的邏輯關(guān)聯(lián)，學(xué)生達(dá)成知識(shí)的深度理解。

五、加強(qiáng)習(xí)慣養(yǎng)成，固化說理能力

說理能力培養(yǎng)是為了教會(huì)學(xué)生學(xué)會(huì)思考、學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，學(xué)會(huì)質(zhì)疑、學(xué)會(huì)論證，發(fā)展他們的思維和素養(yǎng)，但在實(shí)施說理課堂的過程中，教師應(yīng)思考學(xué)生學(xué)習(xí)的真實(shí)發(fā)生，有時(shí)會(huì)因?yàn)閾?dān)心過多的言說表達(dá)，造成教學(xué)任務(wù)完不成，教師便以自己大量的講解或重復(fù)、機(jī)械化的操練代勞了學(xué)生的自主探究和深度思考。如此以往，學(xué)生的學(xué)習(xí)習(xí)慣培養(yǎng)不到位，傾聽、表達(dá)、合作、對(duì)話等能力訓(xùn)練不到位，小組合作學(xué)習(xí)流于形式。

以“傾聽習(xí)慣”為例，傾聽是一種集合看、聽、辨、思等多種感官的綜合性行為，它可以達(dá)成相互認(rèn)同、相互理解、相互支持的學(xué)習(xí)過程。善于傾聽的學(xué)生，思維一定會(huì)在傾聽與表達(dá)中可持續(xù)發(fā)展。當(dāng)然這里的傾聽也同樣包含師生之間的傾聽，師生、生生間的相互“傾聽”，會(huì)使多元的、不同的觀點(diǎn)得到表達(dá)和尊重，課堂自然會(huì)碰撞出豐富多彩的思維火花，進(jìn)一步固化說理能力，讓學(xué)習(xí)走向深處。

在實(shí)踐深度學(xué)習(xí)的課堂中，數(shù)學(xué)說理必不可少，它也是數(shù)學(xué)推理與證明的前奏。我們也切身感受到學(xué)生思維的廣度、深度、關(guān)聯(lián)度上的發(fā)展來源于教師教學(xué)過程中每一個(gè)環(huán)節(jié)的精心設(shè)計(jì)，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)中關(guān)鍵概念、核心知識(shí)的理解不能僅僅是靠教師課堂的講授，教師要?jiǎng)?chuàng)設(shè)不同的學(xué)習(xí)情境，營造良好的說理氛圍，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)說理中理解知識(shí)的內(nèi)涵，切實(shí)掌握所學(xué)知識(shí)，條理清晰地分析問題，應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)、發(fā)展數(shù)學(xué)思維，增強(qiáng)問題解決能力，促進(jìn)深度學(xué)習(xí)的有效落地。