網(wǎng)架結(jié)構(gòu)單點(diǎn)沖擊激勵的數(shù)學(xué)模型與數(shù)值分析

鄒 韜, 蔡曉麗, 伍曉順

(江西理工大學(xué) 土木與測繪工程學(xué)院(南昌)， 南昌 330013)

大跨空間結(jié)構(gòu)[1-3]類型豐富，服役數(shù)量多。由于跨度大、覆蓋面積廣，此類結(jié)構(gòu)一旦破壞將產(chǎn)生嚴(yán)重后果。因此，應(yīng)當(dāng)對此類結(jié)構(gòu)進(jìn)行健康監(jiān)測以便及時判斷結(jié)構(gòu)損傷和保證結(jié)構(gòu)安全。動力測試是結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測領(lǐng)域常用的技術(shù)手段，但該方法在應(yīng)用于大跨空間結(jié)構(gòu)時常遇到激振難題[4-5]。

目前大跨空間結(jié)構(gòu)的激振方式大致可以分為兩類。第一類是環(huán)境激勵[6-9]，主要指風(fēng)振激勵。有些文獻(xiàn)提到可以采用地震激勵[10-11]，但地震激勵在現(xiàn)實(shí)中遇到的概率較低。環(huán)境激勵具有無需激振設(shè)備且激振能量大的優(yōu)點(diǎn)，但也存在每次激勵時被激發(fā)模態(tài)不固定、有時難以激發(fā)目標(biāo)模態(tài)的缺點(diǎn)。第二類是人工激勵，包括錘擊激勵、激振器激勵、跳躍激勵和階躍激勵等[12-16]。錘擊激勵利用力錘來激發(fā)結(jié)構(gòu)的振動，輸入能量小且難以保證激勵方向。激振器激勵可以輸入較大能量，但在現(xiàn)場測試中設(shè)備安裝較為困難。跳躍激勵利用少數(shù)人在屋面上的跳躍激發(fā)結(jié)構(gòu)的振動，可以主動控制跳躍的位置和快慢。階躍激勵采用突卸重物的方式使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生具有初始位移的自由振動，可以通過優(yōu)化荷載分布激發(fā)特定模態(tài)。總的來說，錘擊激勵和激振器激勵適用于室內(nèi)模型試驗(yàn)，并不適用實(shí)際結(jié)構(gòu)的現(xiàn)場測試。相比跳躍激勵，階躍激勵可以較為精確地控制荷載分布從而實(shí)現(xiàn)激發(fā)特定模態(tài)的目的。但是，階躍激勵的激振效率較低，往往需要施加較大的重物荷載才能激發(fā)出較大的加速度幅值。

一般而言，較大的加速度幅值有利于增大采集信號的信噪比[17]，從而提高模態(tài)識別、模型修正和損傷識別等工作的精度。為了盡量利用較小的重物質(zhì)量來使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生較大的加速度幅值，有必要對基于重物墜落的沖擊激勵新方法展開定量研究。本文將重物、繩索和結(jié)構(gòu)視作一個模擬單點(diǎn)沖擊激勵的復(fù)雜振動系統(tǒng)，并推導(dǎo)該系統(tǒng)的振動方程。在求解振動方程得到單點(diǎn)沖擊力時程的數(shù)學(xué)表達(dá)式后，以某1 200桿網(wǎng)架結(jié)構(gòu)為例進(jìn)行數(shù)值分析。重點(diǎn)考察重物質(zhì)量、墜落高度、繩索彈性模量、繩索剛度和等效振動系統(tǒng)阻尼比對結(jié)構(gòu)最大加速度幅值的影響，并與階躍激勵進(jìn)行對比。

1 單點(diǎn)沖擊激勵的數(shù)學(xué)模型

1.1 模擬單點(diǎn)沖擊激勵的復(fù)雜振動系統(tǒng)

對于大跨空間結(jié)構(gòu)，可以采用使重物突然墜落的方式對其施加沖擊激勵?；玖鞒虨椋孩?懸掛重物，在激勵位置(為豎向)懸掛重物，用繩索連接重物與節(jié)點(diǎn)處電磁鐵，并將重物與松弛繩索抬高s1。② 釋放重物，在重力作用下重物自由墜落，直到繩索張緊并達(dá)到足夠大的沖擊力將電磁鐵拉開后結(jié)構(gòu)開始振動?？梢酝ㄟ^調(diào)整電壓來設(shè)定不同的電磁鐵吸力[18]。

在繩索剛張緊的瞬間，重物具有最大動能，且尚未傳遞給繩索。此時，根據(jù)能量守恒原理，重物的初速度為

(1)

式中：g為重力加速度；s1為繩索從開始墜落到繩索剛張緊瞬間的墜落高度。

繩索張緊后，重物下墜產(chǎn)生的動能將通過繩索傳遞到結(jié)構(gòu)，使重物、繩索和結(jié)構(gòu)一起發(fā)生振動。由于結(jié)構(gòu)上的懸掛點(diǎn)存在有限剛度，因此懸掛點(diǎn)不能視作無限剛的邊界，而應(yīng)當(dāng)視作一個彈簧(稱為彈簧1)。彈簧1的剛度等于懸掛點(diǎn)(即激振點(diǎn))對應(yīng)自由度的結(jié)構(gòu)剛度，且質(zhì)量為零。張緊后的繩索也可視作一個彈簧(稱為彈簧2)。彈簧2的剛度等于繩索的軸向剛度，其質(zhì)量沿軸向均勻分布?？梢姡匚锖蛢蓚€彈簧構(gòu)成了一個具有集中質(zhì)量和分布質(zhì)量的復(fù)雜振動系統(tǒng)，如圖1所示。

圖1 重物、繩索和結(jié)構(gòu)構(gòu)成的模擬單點(diǎn)沖擊激勵的復(fù)雜振動系統(tǒng)

Fig.1 Complicated system to simulate single-point impact excitation, which is composed of the weight, the cable and the structure

圖1所示振動系統(tǒng)的參數(shù)簡述如下：彈簧1的剛度、質(zhì)量和長度分別記為k1，m1和l1；彈簧2的剛度、質(zhì)量密度、質(zhì)量和長度分別記為k2，ρ2，m2和l2；重物質(zhì)量記為M。根據(jù)前述分析，可知m1=0，m2=ρ2l2。以繩索剛張緊時重物所在位置為零位移位置，并以坐標(biāo)向下為正。

1.2 復(fù)雜振動系統(tǒng)的振動方程

忽略繩索質(zhì)量對等效剛度k的響應(yīng)，根據(jù)力的平衡方程，有

(2)

式中：u1，u2和u分別為O1，O2和O點(diǎn)的位移；u2=u。整理式(2)后分別得到

(3)

(4)

假設(shè)彈簧1、彈簧2在運(yùn)動過程中是均勻變形的，彈簧1、彈簧2中任意一點(diǎn)距固定端ξ處的位移分別為

(5)

(6)

dT1=0,ξ∈[0,l1]

(7)

(8)

在t時刻，振動系統(tǒng)的動能等于重物和2個彈簧的動能之和，具體表達(dá)式為

(9)

在t時刻，振動系統(tǒng)的勢能為

(10)

非保守力(重力可視作幅值為常數(shù)的外部激勵)做功的變分為

(11)

將式(9)～式(11)代入Hamilton原理[19]

(12)

整理后得到振動方程為

(13)

2.3 沖擊激勵的時程

由式(13)得到振動系統(tǒng)的位移解為

(14)

(15)

(16)

(17)

式(16)、式(17)表明振動系統(tǒng)為簡諧振動。在t≤0.5π/ωd時(即前1/4周期)，繩索張力的時程為

F=ku(t)=k1u1(t)

(18)

當(dāng)t=0.5π/ωd時(即1/4自振周期處)，點(diǎn)O1處的位移u1達(dá)到最大值

(19)

相應(yīng)地，沖擊力在t=0.5π/ωd時達(dá)到最大，為Fmax=k1u1 max。通過調(diào)整電壓，將懸掛點(diǎn)處電磁鐵的最大承載力設(shè)置為Bmax=γk1u1 max，其中γ為不大于1的折減系數(shù)。在繩索張力達(dá)到Bmax時，繩索脫離電磁鐵，對結(jié)構(gòu)完成沖擊激勵并使結(jié)構(gòu)開始自由振動。

2 數(shù)值算例

2.1 模型參數(shù)

以某60 m×45 m的正放四角錐平板網(wǎng)架為例進(jìn)行數(shù)值分析，如圖2所示。網(wǎng)架的結(jié)點(diǎn)數(shù)為326(其中支座結(jié)點(diǎn)數(shù)為16)，桿件數(shù)為1 200?？紤]3種荷載工況(包括0.25 kN/m2靜載、0.3 kN/m2活載和-0.5 kN/m2風(fēng)載)，基于現(xiàn)行設(shè)計(jì)規(guī)范[20-21]進(jìn)行網(wǎng)架的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，以盡量貼近工程實(shí)際。桿件均為二力桿，采用的圓鋼管規(guī)格從P75.5×3.75～P159.0×7.00不等。結(jié)點(diǎn)均為鉸接點(diǎn)，采用直徑為140～350 mm不等的螺栓球。鋼材等級為Q235B，材料密度為7 850 kg/m3，彈性模量為2.06×1011N/m2。同時考慮靜載、桿件質(zhì)量和螺栓球質(zhì)量對組集質(zhì)量矩陣[22]的貢獻(xiàn)。經(jīng)模態(tài)分析[23]后得到前30階模態(tài)頻率，如表1所示。

表1 網(wǎng)架結(jié)構(gòu)前30階自振頻率

2.2 沖擊力時程與加速度幅值

鑒于各節(jié)點(diǎn)豎向剛度的變化范圍為4.082 9× 107～1.4158×108kN/m，差異不大。不妨以具有適中剛度的159號節(jié)點(diǎn)(圖2中實(shí)心圓所示位置)作為重物懸掛點(diǎn)(即激勵點(diǎn))。網(wǎng)架結(jié)構(gòu)在懸掛點(diǎn)位置的豎向剛度為k1=8.166×107N/m(對應(yīng)圖1所示振動系統(tǒng)的彈簧1剛度)。假設(shè)繩索的彈性模量為E=1.0×1011N/m2，截面面積為A2=78.5 mm2，繩索張緊長度為1.0 m(等于重物抬高高度s1)，繩索質(zhì)量密度為7 850 kg/m3，重物質(zhì)量為3 kg，振動系統(tǒng)的阻尼比為ζ=0.05，則張緊后的繩索剛度為k2=7.85×106N/m(對應(yīng)圖1所示振動系統(tǒng)的彈簧2剛度)。不妨取γ=1.0。將這些參數(shù)帶入式(18)計(jì)算沖擊力時程，并將計(jì)算結(jié)果繪于圖3。不難發(fā)現(xiàn)，沖擊力的幅值很大，高達(dá)19.7 kN，但作用時間非常短，僅有1.04 ms。

圖2 某60 m×45 m平板網(wǎng)架(mm)

在159z自由度(對應(yīng)159號結(jié)點(diǎn)z向)施加圖3所示的沖擊力時程，并采用Newmark-β法計(jì)算響應(yīng)時程。假設(shè)網(wǎng)架結(jié)構(gòu)各階模態(tài)的阻尼比均為0.02，采樣頻率為50 kHz，采樣時長 0.5 s。最大加速度幅值為4.82 m/s2，所在位置與激勵點(diǎn)相同，對應(yīng)的加速度時程如圖4所示。而第二大加速度幅值為1.51 m/s2，可見單點(diǎn)沖擊激勵可使激勵點(diǎn)處的加速度幅值遠(yuǎn)高于其他自由度。

在159z自由度施加階躍激勵，最大加速度幅值同樣出現(xiàn)在該自由度。為了與沖擊激勵產(chǎn)生相同的最大加速度幅值，階躍激勵需要的重物質(zhì)量為 368 kg，約為沖擊激勵所需重物質(zhì)量的123倍。比較圖4、圖5可知，兩條加速度時程曲線的相位角相差π/2。

2.3 參數(shù)分析

根據(jù)式(16)、式(17)可知，重物質(zhì)量、墜落高度、繩索彈性模量、繩索截面積和等效振動系統(tǒng)的阻尼比是影響沖擊力時程，進(jìn)而影響最大加速度幅值的主要參數(shù)。應(yīng)當(dāng)考察這些參數(shù)對最大加速度幅值的影響。

假設(shè)繩索的彈性模量為E=1.0×1011N/m2，繩索截面積為A2=100 mm2，阻尼比為ζ=0.05。在1～10 kg內(nèi)變化重物質(zhì)量M，并取墜落高度s1變化范圍為0.5～3.0 m。將不同參數(shù)組合下計(jì)算得到的沖擊力時程施加于結(jié)構(gòu)，并拾取結(jié)構(gòu)的最大加速度幅值繪于圖6。不難發(fā)現(xiàn)，對于不同的墜落高度，最大加速度幅值與重物質(zhì)量基本呈線性關(guān)系。重物質(zhì)量越大，最大加速度幅值也越大。同時，墜落高度越大，直線的斜率越大。

圖3 沖擊力時程

圖4 沖擊激勵下最大加速度幅值對應(yīng)的自由度加速度時程

圖5 階躍激勵下最大加速度幅值對應(yīng)的自由度加速度時程

假設(shè)重物質(zhì)量為M=5 kg，墜落高度為s1=2 m，阻尼比為ζ=0.05。在0.25×1011～2.00×1011N/m2內(nèi)變化繩索彈性模量E，并取繩索截面積A2變化范圍為50～300 mm2。將不同參數(shù)組合下計(jì)算得到的沖擊力時程施加于結(jié)構(gòu)，并拾取結(jié)構(gòu)的最大加速度幅值繪于圖7。由圖7可知，對于不同的繩索截面積，最大加速度幅值與繩索彈性模量的關(guān)系曲線均具有一定波動性，且變化非常平緩?？梢?，最大加速度幅值對繩索彈性模量的變化并不敏感。相比之下，當(dāng)其他參數(shù)固定時，繩索截面積越大，最大加速度幅值也越大。

假設(shè)重物質(zhì)量為M=5 kg，繩索彈性模量為E=1.00×1011N/m2，繩索截面積為A2=100 mm2。在0.01～0.10內(nèi)變化等效振動系統(tǒng)的阻尼比ζ，并取墜落高度s1變化范圍為0.5～3.0 m。將不同參數(shù)組合下計(jì)算得到的沖擊力時程施加于結(jié)構(gòu)，并拾取結(jié)構(gòu)的最大加速度幅值繪于圖8。由圖8可知，對于不同的墜落高度，最大加速度幅值大致隨阻尼比的增大而減小，但變化較為緩慢?？梢?，最大加速度幅值對阻尼比的變化并不敏感。當(dāng)其他參數(shù)固定時，墜落高度越大，最大加速度幅值也越大。

從圖6～圖8綜合判斷，結(jié)構(gòu)的最大加速度幅值對重物質(zhì)量、墜落高度和繩索截面積較為敏感，對繩索彈性模量和等效振動系統(tǒng)的阻尼比不敏感。因此，較大的重物質(zhì)量、墜落高度和繩索截面積有利于結(jié)構(gòu)產(chǎn)生較大的加速度幅值。

根據(jù)杜哈梅積分，結(jié)構(gòu)的加速度響應(yīng)由結(jié)構(gòu)動力特性和沖擊力時程共同決定。由于算例中結(jié)構(gòu)動力特性是固定的，各節(jié)點(diǎn)豎向剛度(即k1)差異不大(變化范圍為4.082 9× 107～1.415 8×108kN/m)，而其他所考察參數(shù)的變化范圍較大，因此可以定性判斷，即使選取其他節(jié)點(diǎn)作為激勵點(diǎn)，算例中結(jié)構(gòu)最大加速度幅值對各參數(shù)的敏感性也不會有太大變化。

但是，若以其他結(jié)構(gòu)(如不同類型和不同跨度的網(wǎng)架、網(wǎng)殼等)作為分析對象，則由于動力特性不同以及各節(jié)點(diǎn)豎向剛度可能存在較大差異，結(jié)構(gòu)最大加速度幅值對各參數(shù)的敏感性值得進(jìn)一步考察。

圖6 重物質(zhì)量和墜落高度對最大加速度幅值的影響

圖7 繩索彈性模量和截面積對最大加速度幅值的影響

圖8 等效振動系統(tǒng)阻尼比對最大加速度幅值的影響

2.4 與階躍激勵的比較

假設(shè)繩索的彈性模量為E=1.0×1011N/m2、繩索截面積為A2=100 mm2、等效振動系統(tǒng)的阻尼比為ζ=0.05。在1～10 kg內(nèi)變化重物質(zhì)量M，并取墜落高度s1變化范圍為0.5～3.0 m。將不同參數(shù)組合下計(jì)算得到的沖擊力時程施加于結(jié)構(gòu)，并拾取結(jié)構(gòu)的最大加速度幅值列于表2。表2中還列出了階躍激勵產(chǎn)生相同最大加速度幅值所需的重物質(zhì)量。以表3中第1行第1列數(shù)據(jù)(1.22, 93)為例來說明表中數(shù)據(jù)的含義。該數(shù)據(jù)表示當(dāng)重物質(zhì)量為1 kg、墜落高度為0.5 m時，沖擊激勵產(chǎn)生的最大加速度幅值為1.22 m/s2，階躍激勵產(chǎn)生相同最大加速度幅值所需的重物質(zhì)量為93 kg。由表2可知，為了產(chǎn)生相同的最大加速度幅值，階躍激勵所需的重物質(zhì)量遠(yuǎn)高于沖擊激勵(表2中介于83.2倍～356.0倍)。

表2 沖擊激勵與階躍激勵所需重物質(zhì)量的比較

3 結(jié) 論

以網(wǎng)架結(jié)構(gòu)為例，提出一種基于重物墜落的沖擊激勵新方法。算例表明，所分析的網(wǎng)架結(jié)構(gòu)最大加速度幅值對重物質(zhì)量、墜落高度和繩索截面積較為敏感，對繩索彈性模量和等效振動系統(tǒng)阻尼比不敏感。與階躍激勵相比，沖擊激勵所需的重物質(zhì)量大為減少，這有利于提高網(wǎng)架結(jié)構(gòu)的動力測試效率、降低測試成本和獲得具有較大信噪比的響應(yīng)信號。本文工作為網(wǎng)架結(jié)構(gòu)的主動激勵提供了一種新的思路。在實(shí)際應(yīng)用中，可以對等效振動系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行參數(shù)修正以考慮建模誤差的影響。