一種橋梁非線性動(dòng)力參數(shù)識(shí)別方法的探討

李宏杰

（天津市政工程設(shè)計(jì)研究總院有限公司，天津 300392）

大跨度橋梁通常為鋼結(jié)構(gòu)，系統(tǒng)剛度和阻尼比較小，對(duì)風(fēng)荷載更加敏感，尤其是風(fēng)荷載的動(dòng)力作用尤為不可忽略。橋梁的風(fēng)致振動(dòng)主要形態(tài)一般有四類：渦振、抖振、馳振、顫振。顫振作為一種發(fā)散性振動(dòng)是絕對(duì)不允許在橋梁上發(fā)生的。

對(duì)橋梁風(fēng)致振動(dòng)的研究方法主要有理論分析、現(xiàn)場(chǎng)觀測(cè)、數(shù)值模擬和風(fēng)洞試驗(yàn)。風(fēng)洞試驗(yàn)方法是橋梁風(fēng)工程研究中十分常用且重要的研究方法，利用滿足一定的相似律的試驗(yàn)?zāi)Ｐ椭噩F(xiàn)橋梁結(jié)構(gòu)在風(fēng)場(chǎng)中的力學(xué)響應(yīng)，試驗(yàn)結(jié)果貼近實(shí)際結(jié)果，可測(cè)量信息豐富，可信度高。節(jié)段模型的彈簧懸掛風(fēng)洞試驗(yàn)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、對(duì)風(fēng)洞要求小、系統(tǒng)剛度和阻尼比方便調(diào)節(jié)且對(duì)大跨度橋梁來(lái)說(shuō)三維效應(yīng)相對(duì)較小，故常用于研究大跨度橋梁的顫振行為。

研究[1～3]證明扁平箱梁斷面的顫振具有明顯的非線性振動(dòng)特征，故線性的分析方法已經(jīng)不再合適。節(jié)段模型彈簧懸掛系統(tǒng)的自振頻率與阻尼比是重要的動(dòng)力參數(shù)，準(zhǔn)確識(shí)別系統(tǒng)的自振頻率與阻尼比是開(kāi)展非線性顫振研究工作的基礎(chǔ)，故需要引入非線性方法對(duì)系統(tǒng)的自振頻率和阻尼比進(jìn)行識(shí)別。

1 動(dòng)力參數(shù)的非線性效應(yīng)

傳統(tǒng)研究通常將系統(tǒng)的自振頻率與阻尼比認(rèn)定為常數(shù)[1，4～6]，通過(guò)在靜止空氣中的自由衰減振動(dòng)試驗(yàn)以及線性分析手段來(lái)計(jì)算求解。但是由于材料與制作工藝的影響，彈簧在拉伸過(guò)程中會(huì)存在一定的非線性效應(yīng)；同時(shí)由于連接件自身剛度的影響、連接件間微小的相對(duì)位移以及彈簧與其周圍空氣的相互作用等因素的影響，導(dǎo)致系統(tǒng)的機(jī)械阻尼與自振頻率均會(huì)存在非線性特性；此外節(jié)段模型在靜止空氣中的振動(dòng)不可避免會(huì)對(duì)模型周圍空氣形成擾動(dòng)，被擾動(dòng)的空氣又進(jìn)一步作用到節(jié)段模型上，使得動(dòng)力系統(tǒng)具有氣動(dòng)非線性效應(yīng)（附加質(zhì)量、慣性矩與附加阻尼）[7]。由此可見(jiàn)，系統(tǒng)的動(dòng)力參數(shù)實(shí)際上由2個(gè)來(lái)源構(gòu)成：系統(tǒng)的機(jī)械結(jié)構(gòu)和氣動(dòng)部分。

2 非線性動(dòng)力參數(shù)的識(shí)別方法

傳統(tǒng)方法是將動(dòng)力參數(shù)（自振頻率與阻尼比）認(rèn)為是一個(gè)常數(shù)，其單自由度的自由衰減振動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程可以表達(dá)為

式中：f(t)為位移時(shí)程；A0為初始時(shí)刻的瞬時(shí)振幅；ξ0為系統(tǒng)阻尼比；ω0為振動(dòng)圓頻率；t為時(shí)間。

對(duì)自由衰減振動(dòng)位移時(shí)程進(jìn)行傅里葉變換獲取頻譜，就可得到自振頻率。

阻尼比常采用對(duì)數(shù)衰減法進(jìn)行識(shí)別。將式（1）兩邊同時(shí)取自然對(duì)數(shù)得到

隨著振動(dòng)的衰減，取2N 周期內(nèi)的振動(dòng)達(dá)到振幅的時(shí)刻與位移帶入式（2）得到

式中：ai為振動(dòng)達(dá)到振幅的位移；ti為振動(dòng)達(dá)到振幅的時(shí)刻，ti= t1+( )i - 1 T；T為振動(dòng)周期，T = 2π/ω0；N為自然數(shù)表示第幾個(gè)周期。

由式（3）可以得到

針對(duì)彈簧懸掛節(jié)段模型試驗(yàn)，系統(tǒng)的動(dòng)力參數(shù)存在非線性效應(yīng)，而且產(chǎn)生非線性的因素十分復(fù)雜，在此引入等效線性化的方法。這種方法可以近似地用振動(dòng)幅值去描述系統(tǒng)的動(dòng)力參數(shù)，將系統(tǒng)的非線性動(dòng)力參數(shù)刻畫(huà)為關(guān)于振幅的函數(shù)。進(jìn)行等效線性化的方法有很多，如諧波平衡法、平均法等[8]，本文采用平均法對(duì)非線性的自由衰減振動(dòng)進(jìn)行等效線性化[8～10]，通過(guò)時(shí)域方法對(duì)系統(tǒng)的自由衰減振動(dòng)位移時(shí)程進(jìn)行非線性動(dòng)力參數(shù)的識(shí)別，找到振幅與系統(tǒng)非線性動(dòng)力參數(shù)之間的關(guān)系。

采用平均法的等效線性化后的單自由度自由振動(dòng)系統(tǒng)瞬時(shí)振動(dòng)幅值和相位可表示為

式中：a(t) 為系統(tǒng)瞬時(shí)振動(dòng)幅值；φ(t) 為振動(dòng)相位；x 為瞬時(shí)振動(dòng)位移；ω0為系統(tǒng)振動(dòng)圓頻率，

系統(tǒng)等效圓頻率表示為

式中：ωe(t)為瞬時(shí)等效圓頻率；φe( )t 為瞬時(shí)等效相位。等效阻尼比表示為

式中：ξe( )t 為瞬時(shí)等效阻尼比。將等效線性化后的運(yùn)動(dòng)方程和式（8）聯(lián)立，得到等效阻尼比ξe與振動(dòng)幅值a 之間的函數(shù)關(guān)系ξe(a)[8～10]。

3 自由衰減振動(dòng)試驗(yàn)

為了提取系統(tǒng)機(jī)械部分的非線性動(dòng)力參數(shù)，設(shè)計(jì)了一種橫截面積很小的剛桿模型，通過(guò)施加配重的方式保證剛桿模型與平板節(jié)段模型具有相同的質(zhì)量與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。對(duì)平板節(jié)段模型與剛桿模型分別進(jìn)行豎向自由度與扭轉(zhuǎn)自由度的自由衰減振動(dòng)，獲得系統(tǒng)總的非線性動(dòng)力參數(shù)與機(jī)械非線性動(dòng)力參數(shù)，二者相減可求得平板節(jié)段模型在靜止空氣中的非線性附加阻尼與附加剛度。見(jiàn)圖1。

圖1 自由衰減振動(dòng)裝置試驗(yàn)

剛桿模型編號(hào)md_fv_12；平板節(jié)段模型寬高比12∶1，編號(hào)fv_12。采用激光位移計(jì)對(duì)模型振動(dòng)狀態(tài)進(jìn)行實(shí)時(shí)采集，獲取振動(dòng)時(shí)程數(shù)據(jù)。

4 非線性動(dòng)力參數(shù)的識(shí)別結(jié)果

4.1 機(jī)械非線性動(dòng)力參數(shù)

通過(guò)剛桿模型的自由衰減振動(dòng)試驗(yàn)，根據(jù)位移時(shí)程數(shù)據(jù)，采用式（5）和式（6）進(jìn)行計(jì)算，得到瞬時(shí)振動(dòng)幅值與瞬時(shí)相位后，通過(guò)式（7）和式（8）可計(jì)算得到非線性自振頻率與阻尼比。見(jiàn)圖2-圖4。

圖2 md_fv_12自由振動(dòng)瞬時(shí)幅值時(shí)程曲線

圖3 md_fv_12非線性自振頻率隨振幅變化曲線

圖4 md_fv_12非線性阻尼比隨振幅變化曲線

由圖3和圖4可以看出，隨著振幅變化，系統(tǒng)的自振頻率與阻尼比都發(fā)生了相應(yīng)變化，表現(xiàn)出了非線性的特征。針對(duì)自振頻率，隨著振動(dòng)的衰減，豎向自振頻率從2.769 Hz 提升到了2.783 Hz，變化幅度為0.51%，扭轉(zhuǎn)自由度上，隨著振動(dòng)的衰減，頻率由4.11 Hz 提升到了4.16 Hz，變化幅度為1.21%，振幅對(duì)系統(tǒng)的機(jī)械部分自振頻率沒(méi)有顯著影響。與振幅對(duì)系統(tǒng)機(jī)械部分的自振頻率影響不同，系統(tǒng)的機(jī)械阻尼比隨著振幅變化發(fā)生了十分明顯的變化，在扭轉(zhuǎn)自由度上系統(tǒng)的機(jī)械阻尼比變化幅度為27.9%，在豎向自由度上系統(tǒng)的機(jī)械阻尼比變化幅度更是達(dá)到154.5%，系統(tǒng)的機(jī)械阻尼體現(xiàn)出了明顯地非線性特征。

由于系統(tǒng)的機(jī)械部分在剛度上沒(méi)有表現(xiàn)出明顯地非線性特征，為方便計(jì)算所以可以將其視為常數(shù)，通過(guò)線性的方法獲得，即通過(guò)對(duì)兩個(gè)自由度上自由衰減振幅位移時(shí)程進(jìn)行快速傅里葉變換，得到兩個(gè)自由度上的自振頻率。見(jiàn)圖5。

圖5 md_fv_12自由衰減振動(dòng)位移頻譜

線性方法識(shí)別的系統(tǒng)機(jī)械部分的自振頻率與通過(guò)非線性動(dòng)力學(xué)的方法進(jìn)行識(shí)別的自振頻率十分接近，所以采用線性方法得到的自振頻率是合適的。

4.2 氣動(dòng)非線性動(dòng)力參數(shù)

同獲得系統(tǒng)機(jī)械非線性動(dòng)力參數(shù)的方法相同，通過(guò)平板節(jié)段模型的自由振動(dòng)衰減試驗(yàn)，得到氣動(dòng)部分總的非線性動(dòng)力學(xué)參數(shù)。在豎向自由度上，隨著振動(dòng)的衰減，豎向自振頻率有所提高，頻率由2.701 Hz 提升到了2.71 Hz，變化幅度為0.9%；在扭轉(zhuǎn)自由度上，系統(tǒng)總的扭轉(zhuǎn)自振頻率表現(xiàn)出了與豎向自由度相同的規(guī)律，扭轉(zhuǎn)自振頻率變化幅度為1.37%。與系統(tǒng)的機(jī)械自振頻率一樣，系統(tǒng)的總自振頻率會(huì)隨著振動(dòng)振幅的變化而改變，但是這種變化并不明顯，變化范圍不會(huì)超過(guò)1.5%，因此對(duì)于整個(gè)彈簧懸掛系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，同樣可以采用線性的方法得到其系統(tǒng)的自振頻率。見(jiàn)圖6和圖7。

圖6 fv_12非線性自振頻率隨振幅變化曲線

圖7 fv_12自由衰減振動(dòng)位移頻譜

振幅對(duì)系統(tǒng)的總阻尼比影響十分顯著，隨著振幅的衰減，阻尼發(fā)生了大幅變化，在豎向自由度上變化幅度甚至達(dá)到了309.09%，表現(xiàn)出了十分明顯的非線性特征。區(qū)別于頻率，系統(tǒng)的機(jī)械阻尼與總阻尼差別十分明顯，意味著模型振動(dòng)所引起的氣動(dòng)阻尼對(duì)系統(tǒng)總阻尼有著巨大的貢獻(xiàn)，是不可以忽略的。見(jiàn)圖8。

圖8 fv_12非線性阻尼比隨振幅變化曲線

系統(tǒng)的機(jī)械阻尼主要來(lái)源有4 方面：一是彈簧材料自身在往復(fù)拉伸中引起的材料阻尼；二是通過(guò)一系列連接件連接的不同的構(gòu)件之間產(chǎn)生的微小的相對(duì)摩擦；三是彈簧本身在往復(fù)的運(yùn)動(dòng)中與其周為空氣之間發(fā)生的摩擦；四是系統(tǒng)在振動(dòng)中可能給彈簧帶來(lái)的微小的橫向振動(dòng)。這些因素決定了系統(tǒng)的機(jī)械阻尼；而模型的氣動(dòng)阻尼主要是由于模型自身振動(dòng)對(duì)其周圍空氣形成了擾動(dòng)，因此氣動(dòng)阻尼的大小與模型的氣動(dòng)外形息息相關(guān)。

從系統(tǒng)的機(jī)械阻尼與附加氣動(dòng)阻尼的來(lái)源角度看，可以認(rèn)為二者是相互獨(dú)立、互不干擾的，這樣就可以利用由平板節(jié)段模型自由振動(dòng)試驗(yàn)識(shí)別到的系統(tǒng)非線性阻尼比和利用剛桿自由振動(dòng)試驗(yàn)識(shí)別到的系統(tǒng)機(jī)械阻尼比相減，從而得到平板節(jié)段模型在靜止空氣中擾動(dòng)周圍空氣誘發(fā)的附加氣動(dòng)阻尼比。結(jié)果表明采用上述方法可以有效的獲得平板節(jié)段模型在靜止空氣中的附加氣動(dòng)阻尼比。見(jiàn)圖9。

圖9 fv_12非線性阻尼比識(shí)別結(jié)果

5 結(jié)論

平板顫振模型的彈簧懸掛節(jié)段模型在靜風(fēng)條件下動(dòng)力參數(shù)存在非線性特征，其中：系統(tǒng)阻尼比隨振幅的變化尤為明顯，不可忽略；頻率也具有非線性特征，但隨振幅變化不明顯，可近似認(rèn)為系統(tǒng)頻率為固定值。

系統(tǒng)動(dòng)力參數(shù)非線性可以分為兩部分：一是由系統(tǒng)的機(jī)械部分所產(chǎn)生的非線性；二是由于模型在振動(dòng)過(guò)程中對(duì)周圍空氣形成了擾動(dòng)而形成的附加氣動(dòng)非線性。尤其對(duì)于阻尼比來(lái)說(shuō)，系統(tǒng)的總阻尼與機(jī)械阻尼之間存在著明顯的差異，靜風(fēng)擾動(dòng)誘導(dǎo)的附加氣動(dòng)阻尼是系統(tǒng)阻尼的重要構(gòu)成部分，不可忽略。

采用等效線性化方法可以有效地對(duì)彈簧懸掛節(jié)段模型系統(tǒng)進(jìn)行非線性系統(tǒng)動(dòng)力參數(shù)識(shí)別，識(shí)別到的系統(tǒng)總阻尼比與機(jī)械阻尼比相減得到節(jié)段模型在靜止空氣中的附加氣動(dòng)阻尼比。