高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)中挖掘與滲透“隱性知識”案例設(shè)計

韋法余 （南京市天印高級中學(xué)，江蘇 南京 211100）

一、高中數(shù)學(xué)教與學(xué)中挖掘與滲透“隱性知識”的必要性

教師方面，教學(xué)過程是在教師的指導(dǎo)下，學(xué)生主動構(gòu)建自己認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程，在此過程中教師的重要性不言而喻，所以在高中數(shù)學(xué)課堂中挖掘與滲透“隱性知識”對教師來說，一方面，是其成為高水平教師的必要條件.經(jīng)過對專家型與新手型教師的訪談可知，對于數(shù)學(xué)教師教學(xué)水平的測量標(biāo)準(zhǔn)最基礎(chǔ)的是對數(shù)學(xué)知識的掌握程度，高水平的教師已經(jīng)不依賴教材了，他們對知識點的把握游刃有余，不但可以講清“為什么”，還能在教學(xué)過程中滲透數(shù)學(xué)思想方法.在此新手教師如果能精準(zhǔn)掌握這些知識，勤于思，勤于鉆研，將會快速成長為優(yōu)秀的高水平教師.另一方面，“隱性知識”的滲透與挖掘是打造高效率課堂的助推劑.在高中，高效的數(shù)學(xué)課堂與教師的教學(xué)方法密切相關(guān)，教師的教學(xué)不但要有智慧，還要有科學(xué)性與藝術(shù)性.在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中挖掘教材中的“隱性知識”，可以高效實現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)，快速突破難點.“隱性知識”是伴隨數(shù)學(xué)知識發(fā)生的，是對學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)發(fā)展的一個補充，能夠完善數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)，實現(xiàn)教學(xué)的科學(xué)性.在教學(xué)過程中滲透的“隱性知識”往往是對教材的重構(gòu)，不同于傳統(tǒng)教學(xué)方式.因此教師要精心設(shè)計一節(jié)數(shù)學(xué)課堂，要在板書、語言與動作上都有所設(shè)計，把握好藝術(shù)形態(tài)，以此體現(xiàn)數(shù)學(xué)行為的藝術(shù)性.

學(xué)生方面，作為課堂的主體，從發(fā)展的角度分析，學(xué)生對數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)的認(rèn)知決定了教學(xué)過程的進程、層次，在此滲透“隱性知識”，實際上就是學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)的過程，以此填補了學(xué)生的“求知欲”，幫助其構(gòu)建完整的知識脈絡(luò)，并隨著“隱性知識”的深度挖掘，讓學(xué)生從不會學(xué)到想要學(xué).一方面，挖掘與滲透“隱性知識”能讓學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)，掌握數(shù)學(xué)的本質(zhì).對于數(shù)學(xué)意識、方法與素養(yǎng)等“隱性知識”的挖掘與運用，可以讓學(xué)生更好地掌握數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，構(gòu)建完整的知識結(jié)構(gòu)，且無論是在課堂中的“被動滲透”，還是通過自主探究的“主動發(fā)現(xiàn)”，都是學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的補充，是學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的鋪路石.另一方面，滲透與挖掘“隱性知識”是培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的好幫手.高中數(shù)學(xué)隱性知識的挖掘與滲透，可科學(xué)發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，主要體現(xiàn)在情感、態(tài)度與價值觀上.

二、高中數(shù)學(xué)中包含的“隱性知識”

高中數(shù)學(xué)課堂中的“隱性知識”只可意會不可言傳，其不是知識，而是在實際數(shù)學(xué)活動中，對知識的升華.高中數(shù)學(xué)“隱性知識”包括：

1.數(shù)學(xué)思想方法.利用數(shù)學(xué)思想，加強學(xué)生對數(shù)學(xué)知識本質(zhì)的認(rèn)識，還有助于學(xué)生探索數(shù)學(xué)規(guī)律，提升理性認(rèn)知.對于具體的知識點，學(xué)生還能在實際的學(xué)習(xí)中，升華數(shù)學(xué)觀點，并將其運用到實際情境中，提升學(xué)生解決問題的能力.高中數(shù)學(xué)教學(xué)中常見的數(shù)學(xué)思想有等價轉(zhuǎn)換、化歸思想，還有函數(shù)思想、對應(yīng)思想、極限思想與統(tǒng)計思想等.

2.數(shù)學(xué)應(yīng)用意識.數(shù)學(xué)應(yīng)用意識是“隱性知識”中的主要內(nèi)容，是一種意向、一種精神狀態(tài)，需要學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度分析，并運用數(shù)學(xué)語言、數(shù)學(xué)方法描述，在理解的基礎(chǔ)上解決數(shù)學(xué)問題，在面對實際生活問題時，嘗試站在數(shù)學(xué)的角度解決問題.

3.數(shù)學(xué)素養(yǎng).高中階段學(xué)生必須具備數(shù)學(xué)素養(yǎng)，以適應(yīng)社會發(fā)展為目標(biāo).數(shù)學(xué)素養(yǎng)包括數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)能力，如解答數(shù)學(xué)問題的自信心、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度、理性精神等，都可以通過數(shù)學(xué)具體體現(xiàn).對于高中生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，關(guān)鍵在于引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問題，進而解決問題，以此提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，使學(xué)生以數(shù)學(xué)的眼光與思維觀察現(xiàn)實世界，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力、邏輯推理能力、數(shù)學(xué)運算能力與建模能力等

三、教學(xué)過程中“隱性知識”滲透與體會的方法

1.教師教學(xué)過程中滲透“隱性知識”.高中數(shù)學(xué)中的“隱性知識”是教師教學(xué)結(jié)構(gòu)中的主要組成，對學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形成有重要意義.教師在滲透“隱性知識”的時候，要注意：

首先，要立足于教材，深度剖析其中的“隱性知識”.高中數(shù)學(xué)教材中一直隱藏著“隱性知識”，因此教師在備課時，要注重從教材中挖掘“隱性知識”，在課中合理滲透，讓學(xué)生體會“隱性知識”的合理性，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性.

其次，選擇適合的載體滲透“隱性知識”，不同知識點的“隱性知識”隱藏形式不同，需要教師借助不同載體合理滲透.常見的數(shù)學(xué)載體有數(shù)學(xué)史等，借助載體讓數(shù)學(xué)知識變得通順簡單，促使活躍課堂氣氛.

最后，將“隱性知識”運用于知識發(fā)生時、問題解決時與知識總結(jié)時.“隱性知識”會隨著知識點的隱藏方式與內(nèi)容的變化而變化，單以“隱性知識”中的數(shù)學(xué)思想分析，一個數(shù)學(xué)知識中會有幾種數(shù)學(xué)思想，而相同的數(shù)學(xué)思想又可滲透在不同的知識點中.基于此教師要注意“隱性知識”的滲透不能一蹴而就，需要反復(fù)實踐優(yōu)化，特別是在知識點的產(chǎn)生時、問題解決時與知識點總結(jié)時進行優(yōu)化，通過讓學(xué)生徹底理解“隱性知識”，將其內(nèi)化到自身的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，掌握數(shù)學(xué)本質(zhì)與精華.

2.學(xué)生學(xué)習(xí)過程中體會“隱性知識”.很多高中生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時候還不能完全體會“隱性知識”，但是隨著知識與技能的積累，學(xué)生對“隱性知識”的敏感度也會增加.基于此在學(xué)習(xí)過程中學(xué)生需注意：

一方面，勤梳理知識，組成知識網(wǎng)絡(luò).學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識點中“隱性知識”的體會，不是一次性完成的，需要循序漸進，逐步體驗感受.因此學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，要善于歸納總結(jié)，梳理知識，進而形成基礎(chǔ)的知識框架，慢慢完善知識網(wǎng)絡(luò)，進一步理解與掌握知識點.

另一方面，學(xué)生要多進行發(fā)散與集中性的訓(xùn)練，在解題過程中感受“隱性知識”.習(xí)題訓(xùn)練是學(xué)生體會數(shù)學(xué)思想的主要途徑，學(xué)生在解題的時候若形成良好的解題習(xí)慣，不但會扎實基礎(chǔ)知識點，還會發(fā)散思維，進一步思考題目背后的“隱性知識”，可以根據(jù)題目中隱藏的條件，推理出出題人的意圖，這對學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升有很大的幫助.

四、概念教學(xué)中挖掘與滲透“隱性知識”案例設(shè)計

以蘇教版高中數(shù)學(xué)必修二“橢圓”定義的教學(xué)為例.

1.問題的發(fā)現(xiàn).蘇教版教材中關(guān)于橢圓定義的引出，是根據(jù)其幾何特征建立坐標(biāo)系，然后構(gòu)建橢圓方程，然后給出其標(biāo)準(zhǔn)方程.關(guān)于橢圓定義的推導(dǎo)，過于機械，忽略了從橢圓截線定義到橢圓第一定義的過渡，標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)也比較煩瑣.對于橢圓離心率的解釋也不夠精細，此部分知識的缺失，導(dǎo)致學(xué)生對橢圓定義的理解不夠深刻.此時需要教師利用橢圓的起源與發(fā)展補充教材，重構(gòu)教材，進而更好地利用“隱性知識”進行教學(xué)，達成教學(xué)目標(biāo).基于此的教材重構(gòu)如圖1.

圖1 “橢圓的定義”教材重構(gòu)

2.問題的解決.本節(jié)課以讓學(xué)生了解橢圓的定義為最終目標(biāo)，結(jié)合“隱性知識”，設(shè)計的教學(xué)目標(biāo)是讓學(xué)生根據(jù)橢圓的截面定義，進一步掌握第一定義，并且在平面直角坐標(biāo)系中能夠自主推導(dǎo)出橢圓的方程.通過知識與技能的學(xué)習(xí)，掌握橢圓的發(fā)展歷程，感受數(shù)學(xué)家為了探究橢圓做出的努力，樹立鍥而不舍的品質(zhì).在此將解決問題板塊分為四部分：

（1）以情境引入定義.為學(xué)生展示幾何學(xué)家阿波羅尼斯對圓錐曲線的定義，即一個圓錐用平面截開，得到的交線就是圓錐曲線，圓錐曲線也被阿波羅尼斯稱為圓錐截線.然后區(qū)分被截的圓錐面的幾種情況，如圓、雙曲線、拋物線與橢圓等.讓學(xué)生了解圓錐曲線的截面意義，并根據(jù)此情境引導(dǎo)學(xué)生進行橢圓的學(xué)習(xí).

教師帶領(lǐng)學(xué)生閱讀教材，并跟隨數(shù)學(xué)家蒙特與舒騰的腳步，一起畫一畫橢圓，在多媒體的引導(dǎo)下，學(xué)生用事先準(zhǔn)備的工具畫出了橢圓.師生一同觀察橢圓，大家暢所欲言，在學(xué)生激烈的討論下，教師深化講解圓錐曲線的發(fā)現(xiàn)過程，利用此環(huán)節(jié)將教材中“斷層”的部分補充完整，然后借助隱性知識，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，讓課堂變得更加活躍.

（2）疏通定義，加強學(xué)生認(rèn)知.讓學(xué)生閱讀教材中關(guān)于橢圓的定義，并提問：“為什么橢圓上的點到兩定點和的距離的和比大？”結(jié)合三角形的知識，學(xué)生輕松回答了此問題.之后教師講解，洛必達制定的橢圓第一定義，是在幾何之后產(chǎn)生的，而阿波羅尼斯對橢圓的定義則是在解析幾何之前就產(chǎn)生了.兩個概念產(chǎn)生的背景不同，并詢問學(xué)生兩種定義是否可以聯(lián)系起來，此時學(xué)生陷入思考.在此教師加入另外一位數(shù)學(xué)家旦德林對圓錐內(nèi)切球研究的內(nèi)容，如圖2.在圓錐中作橢面的焦點，然后證明截面橢圓上的點符合到兩定點的距離之和為常數(shù)且大于兩定點連線的距離.此結(jié)論是對古希臘圓錐曲線截面定義和橢圓第一定義之間的補充.依據(jù)此講解，讓學(xué)生自己研究旦德林球的內(nèi)容，進一步體會數(shù)學(xué)家對此部分內(nèi)容的探索.此環(huán)節(jié)主要是引導(dǎo)學(xué)生剖析定義，強化認(rèn)知.在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生積極進行思考，并能分析橢圓不同定義的關(guān)鍵點，進一步提升教學(xué)效果.在課堂探索交流后增加旦德林球知識點的探索，將本來的課后探究放在課中進行，增加學(xué)生學(xué)習(xí)的自主性，優(yōu)化教學(xué)過程.

圖2 數(shù)學(xué)家旦德林對圓錐內(nèi)切球的研究圖示

（3）另辟蹊徑，構(gòu)建橢圓方程.在數(shù)學(xué)家洛必達提出的橢圓第一定義的基礎(chǔ)之上，繼續(xù)帶領(lǐng)學(xué)生探究橢圓方程.由學(xué)生自主找到橢圓的兩條對稱軸與對稱中心，然后以對稱軸分別為軸、軸，作平面直角坐標(biāo)系，再設(shè)置未知數(shù)，結(jié)合橢圓定義構(gòu)建方程，最后化簡.整個過程思路簡單，學(xué)生容易想到，但是化簡過程比較煩瑣，計算麻煩.在學(xué)生利用直角坐標(biāo)系求出標(biāo)準(zhǔn)方程后，還可借助-＝的關(guān)系，利用數(shù)學(xué)家洛必達給出的條件再次驗證.如圖3，設(shè)＝2，＝2，焦距＝2，為橢圓上任意一點，+＝2，假設(shè)和分別是+和-，為待定系數(shù)，嘗試用，與表示，.由學(xué)生自行列式化簡，最后還是能得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.此過程就像之前解答習(xí)題中的“一題多解”，讓學(xué)生知道橢圓方程的推導(dǎo)有多種方式，并為其留作業(yè)，讓學(xué)生在課下再探討，交流不同的推導(dǎo)方法.教材中對于橢圓的推導(dǎo)，承接上一章知識點“圓錐曲線與方程”，然后根據(jù)限制條件，重新列關(guān)系式，然后化簡求解.另外還可利用洛必達的待定系數(shù)法擴展學(xué)生視野，讓學(xué)生在推理過程中增強邏輯思維能力，進一步提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

圖3

（4）課堂小結(jié)，提煉升華.課后教師帶領(lǐng)學(xué)生重新回憶數(shù)學(xué)史中橢圓的發(fā)展歷程，以此讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)家鍥而不舍的探究精神.最后讓學(xué)生自主探究課后的習(xí)題，思考是否有新的發(fā)現(xiàn).

綜上，通過實際案例分析高中數(shù)學(xué)教學(xué)中“隱性知識”的挖掘與滲透，即利用數(shù)學(xué)史揭開“隱性知識”的神秘面紗，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，在以學(xué)生為主體的課堂中由學(xué)生主動探究，進而提升教學(xué)效率，完善師生之間的互動.