高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課中微專題設(shè)計的策略探究

趙 莉 （江蘇省蘇州市張家港市樂余高級中學(xué)，江蘇 蘇州 215621）

高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課作為整個高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重中之重，其有效性會直接影響學(xué)生復(fù)習(xí)的效果，如何構(gòu)建優(yōu)質(zhì)課堂，提高復(fù)習(xí)的有效性是每個數(shù)學(xué)老師關(guān)注的問題.進(jìn)入高三的第二個學(xué)期，學(xué)生已經(jīng)基本完成了第一輪的復(fù)習(xí)，在這個過程中，學(xué)生構(gòu)建了完整的高中數(shù)學(xué)知識體系，也厘清了知識點之間的聯(lián)系，所以第二輪的復(fù)習(xí)一般會以專題的形式進(jìn)行，通過選擇一些知識概念的交匯點、思想方法的生長點，以點帶面，幫助學(xué)生完善認(rèn)知，鞏固、梳理、整合已學(xué)過的知識，促進(jìn)解題思想方法的形成，提高分析問題和解決問題的能力，進(jìn)而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).通過專題復(fù)習(xí)還可以診斷出在一輪復(fù)習(xí)教學(xué)中的薄弱環(huán)節(jié)，查漏補(bǔ)缺，明確下一階段要突破的目標(biāo).而相比傳統(tǒng)的高三數(shù)學(xué)大專題復(fù)習(xí)，微專題切口小、角度新，針對性和典型性更強(qiáng)，具有“因微而細(xì)、因微而準(zhǔn)、因微而深”的優(yōu)勢，故而能起到“見微知著、固本浚源”的復(fù)習(xí)效果.那么，高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課中的微專題該怎樣設(shè)計呢？下面筆者就結(jié)合自己多年的高三數(shù)學(xué)教學(xué)實踐，談?wù)勎ｎ}設(shè)計的一些粗陋探試.

1 選題得當(dāng)，讓微專題既“微”又“?！?/h2>

數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課微專題的設(shè)計大致可以分為兩類來進(jìn)行，一類是以知識點為主線，在鞏固學(xué)生知識點的同時培養(yǎng)學(xué)生的解題能力；另一類是以方法為主線，提升學(xué)生的思維能力和核心素養(yǎng).無論是哪一類，選題都是微專題設(shè)計的第一要素，如何讓一份微專題設(shè)計既“微”又“專”，筆者認(rèn)為可以圍繞以下三個角度來進(jìn)行.

1.1 從知識的系統(tǒng)性角度選題

微專題選題時雖不必注重知識的覆蓋面，但要著眼于整個高中數(shù)學(xué)的知識體系，所以要分析所選題目的設(shè)計意圖是什么，是否能以點帶面鞏固到相關(guān)的重要知識點，是否挖掘出了題目背后所反映的問題實質(zhì)，是否把握住了高考方向，保證了復(fù)習(xí)的針對性和有效性.故微專題要“因微而細(xì)，因微而精”.譬如筆者對平面向量知識系統(tǒng)的分析：從代數(shù)角度選題即復(fù)習(xí)平面向量的運算律和計算；從幾何角度選題即復(fù)習(xí)向量的加減法、數(shù)乘以及數(shù)量積的幾何意義；從物理角度選題即可結(jié)合實際背景復(fù)習(xí)矢量的意義等.

案例1：精選例題——高三數(shù)學(xué)微專題設(shè)計“平面向量的線性運算”

這一題具有基礎(chǔ)性、典型性，筆者的講解剖析體現(xiàn)了解題的思路，再以點帶面引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行對平面向量的相關(guān)知識的復(fù)習(xí)，同時滲透了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.在此過程中，難度適中的例題可以啟迪學(xué)生的思維，調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，提升學(xué)生的復(fù)習(xí)效率.

1.2 從知識的重難點、易錯點角度選題

微專題要“因微而深”，微專題復(fù)習(xí)的主要目的就是進(jìn)一步強(qiáng)化重點，有效突破難點，及時糾正易錯點，所以在考慮了學(xué)生的實際學(xué)情及新高考的要求后選題要緊扣這三點來進(jìn)行.如在復(fù)習(xí)基本不等式時將其嵌入函數(shù)、數(shù)列進(jìn)行探究就是為了突破重點、難點.再譬如復(fù)習(xí)平面向量，平面向量加減法的幾何意義、平面向量的基本定理、平面向量數(shù)量積的運算及模、夾角的運算是重難點，零向量的概念、向量共線的概念以及向量夾角的概念是易錯點，所以在設(shè)計平面向量微專題時選題要有所側(cè)重.

案例2：突出重點——高三數(shù)學(xué)微專題設(shè)計“平面向量的數(shù)量積”

此時點的坐標(biāo)為（3，0）.

在以往高考中，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算是一個熱點，常在選擇題和填空題中考查.這一題從學(xué)生認(rèn)知發(fā)展和知識建構(gòu)出發(fā)，利用坐標(biāo)運算將向量的數(shù)量積和二次函數(shù)的最值有機(jī)地結(jié)合在一起，讓學(xué)生體會向量的工具作用，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和創(chuàng)新精神.

1.3 從課堂的三維目標(biāo)角度選題

“三維”是課堂教學(xué)目標(biāo)的三大板塊，即“知識與技能”“過程與方法”“情感、態(tài)度、價值觀”，是新課程推進(jìn)素質(zhì)教育的根本體現(xiàn).一份優(yōu)秀的微專題設(shè)計是生成一節(jié)優(yōu)秀復(fù)習(xí)課的前提，微專題雖“微”，但要“有效”.所以在選題時不必拘泥于教材的原有順序，而要立足學(xué)情、教情、考情，選擇一些高頻考點去規(guī)劃，力求讓學(xué)生在回顧基礎(chǔ)知識的同時鍛煉技能、激發(fā)潛能.

2 生成得當(dāng)，讓微專題既“微”又“大”

微專題的“微”可以是選材內(nèi)容上的“微”，也可以是教學(xué)方法或教學(xué)目標(biāo)的“微”，但“微”的背后是“大”，在細(xì)微處做大、做透、做寬，才能達(dá)到“見微知著”的目的.所以，微專題的設(shè)計需要關(guān)注知識的連通，在生成中對知識進(jìn)行拓展和延伸.

2.1 變式連通，做“大”微專題

微專題本質(zhì)上是通過對知識的重組和整合，實現(xiàn)“串珠成鏈”的目的.所以微專題設(shè)計可以通過“變式”來連通知識點，構(gòu)建更高級的邏輯關(guān)系和知識體系，從而實現(xiàn)讓學(xué)生觸類旁通、舉一反三的教學(xué)效果.微專題設(shè)計還可以通過“變式”連通，讓學(xué)生掌握通學(xué)通法，構(gòu)建起解決同類型題目的“路線圖”.

案例3：一題多變——高三數(shù)學(xué)微專題設(shè)計“基本不等式”

這是一道雙變量的最值問題，做題的首選方法是“1”的代換，通過構(gòu)造積為定值，找和的最小值，學(xué)生在一輪復(fù)習(xí)時已能掌握解題的原理和方法.在二輪復(fù)習(xí)時筆者在微專題中設(shè)計了以下變式：

這六個變式題是對書本例題進(jìn)行了不同角度、不同層次、不同背景的改編而得到的，層層遞進(jìn)、螺旋上升，引領(lǐng)學(xué)生發(fā)散思維，讓學(xué)生在“變”的過程中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)及解題規(guī)律，找到問題的部分對象所具有的特征，再將熟悉的這一特征運用到這類題目中，將隱藏在深處的規(guī)律顯現(xiàn)出來，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用基本不等式解決問題的工具意識和定位意識.

2.2 技巧連通，做“寬”微專題

案例4：一題多解——高三數(shù)學(xué)微專題設(shè)計“三角函數(shù)”

這三種解法分別通過因式分解變換弦化切變換降次擴(kuò)角變換將已知條件轉(zhuǎn)化再結(jié)合倍角公式與和角公式即可解得所求的三角函數(shù)值.一題多解有利于提高學(xué)生全面分析問題及綜合運用知識的能力所以在設(shè)計微專題時筆者有意識地挖掘問題的多解因素用于鼓勵學(xué)生不囿于單一的解題思路和方法并給予足夠的時間來思考問題發(fā)散思維構(gòu)建靈活多變的解題技巧.

案例5一題多選高三數(shù)學(xué)微專題設(shè)計數(shù)列

已知等比數(shù)列的公比為

1略2在①＝-3②＝9③＝27 這三個條件中任選兩個補(bǔ)充在下面的問題中并解答.

問 題若________求｛a｝的通項公式及數(shù)列-1）n+4a｝的前項和S.（注如果選擇多種情況解答則按第一種情況計分

這是一道結(jié)構(gòu)不良題，也是新高考中的創(chuàng)新題型，具有條件模糊、解決方案多樣、結(jié)果開放等特點.本題考查等比數(shù)列的通項公式和求和公式的運用，以及數(shù)列的分組求和，還考查了方程思想和運算能力.所以解決此類問題要求學(xué)生根據(jù)自身的知識結(jié)構(gòu)、認(rèn)知結(jié)構(gòu)及解題經(jīng)驗在規(guī)定的時間內(nèi)做出合理的選擇，并迅速制定問題的解決方案.筆者在微專題設(shè)計時緊扣高考考點，引入“一題多選”，拓寬了學(xué)生思維的系統(tǒng)性、靈活性及創(chuàng)造性.

2.3 思維連通，做“透”微專題

案例6：一題多思——高三數(shù)學(xué)微專題設(shè)計方法篇“數(shù)形結(jié)合”

圖1

圖2

利用祖暅原理得的體積相當(dāng)于底面積為4π，高為2 的圓柱的體積，

所以的體積為＝4π×2＝8π.

數(shù)學(xué)文化試題是新高考的熱點，也是比較新穎的題型，所以筆者在微專題設(shè)計方法篇“數(shù)形結(jié)合”中引入了此題.此題考查的知識點是旋轉(zhuǎn)體的體積，直觀的立體圖形可以很好地詮釋本例的問題，但因旋轉(zhuǎn)后的幾何體不是常規(guī)的圓柱、圓錐、圓臺，所以通過祖暅原理將問題轉(zhuǎn)化是本題的難點.祖暅原理中強(qiáng)調(diào)的是截面的“任意”性，所以直觀的“形”并不能輔助解決問題，而是要用精確的“數(shù)”來證明，可利用祖暅原理將所求的旋轉(zhuǎn)體體積轉(zhuǎn)化為求圓柱體積.做“透”此題可引發(fā)學(xué)生的思考和探索，可讓學(xué)生理解何為“數(shù)缺形時難直觀，形缺數(shù)時難入微”，進(jìn)而感受到數(shù)形結(jié)合是“數(shù)”與“形”的相輔相成，在后面的解題中可以更好地利用這個重要的思想方法.

3 鞏固得當(dāng)，讓微專題既“微”又“實”

3.1 解后反思，引發(fā)思考

學(xué)生在經(jīng)過微專題復(fù)習(xí)課的例題和變式后，在全面掌握基礎(chǔ)知識的情況下，要及時鞏固練習(xí)及整理反思，使知識在頭腦中根深蒂固，同時還要嚴(yán)謹(jǐn)審題，縝密思考，養(yǎng)成規(guī)范解答的習(xí)慣.所以，微專題的設(shè)計要加上鞏固反思這一模塊，它能及時反饋不同層次學(xué)生掌握知識的情況.如在復(fù)習(xí)“直線與圓的位置關(guān)系”微專題中，筆者設(shè)置了直線與圓的相切問題：在直線：＝+4 上取一點（2，6）作圓：+＝4的切線，切點為，，則切線方程為_________________.變式：在直線：＝+4 上任取一點（，）作圓：+＝4 的切線，切點為，，則切線長的最小值為________.之后設(shè)置了這樣的一個問題：根據(jù)以上條件，仿照變式，你可以再自編幾個題目嗎？對于基礎(chǔ)好的學(xué)生，自編了這樣的題目，如：①求過兩切點，所在的直線方程；②過點（，3）作圓：+＝4 的切線，切點分別為，，則四邊形面積的最小值為________.③過直線上一點作圓：+＝4 的切線，切點分別為，，則四邊形外接圓的方程為_________________.在教師總結(jié)的基礎(chǔ)上，學(xué)生自己獨立完成歸納提煉；對于基礎(chǔ)一般的學(xué)生，教師可以逐個輔導(dǎo)，找出問題所在，增加他們練習(xí)和板演的機(jī)會，這樣能讓不同層次不同類型的學(xué)生獲得學(xué)習(xí)的需要，提升學(xué)習(xí)效果.

3.2 及時總結(jié)，促進(jìn)生成

在復(fù)習(xí)“直線與圓錐曲線的綜合問題”時，筆者設(shè)置了三個微專題，在“直線與圓錐曲線的最值問題” 微專題中設(shè)置了一問：你認(rèn)為處理圓錐曲線最值問題的求解方法主要是什么？學(xué)生利用平時的積累發(fā)現(xiàn)圓錐曲線中的最值問題類型較多，解法靈活多變，但總體上主要有兩種方法：一是利用幾何法，即通過利用曲線的定義、幾何性質(zhì)以及平面幾何中的定理、性質(zhì)等進(jìn)行求解；二是利用代數(shù)法，即把要求最值的幾何量或代數(shù)表達(dá)式表示為某個（些）參數(shù)的函數(shù)（解析式），然后利用函數(shù)方法、不等式方法等進(jìn)行求解.在“直線與圓錐曲線的定值問題” 微專題中設(shè)置了一問：你認(rèn)為圓錐曲線中的定值問題的常見類型及解題策略”是什么？一是求代數(shù)式為定值.依題意設(shè)條件，得出與代數(shù)式參數(shù)有關(guān)的等式，代入代數(shù)式、化簡即可得出定值.二是求點到直線的距離為定值.利用點到直線的距離公式得出距離的解析式，再利用題設(shè)條件化簡、變形求得.三是求某線段長度為定值.利用長度公式求得解析式，再依據(jù)條件對解析式進(jìn)行化簡、變形即可求得.在“直線與圓錐曲線的探索性問題” 微專題中設(shè)置了一問：在解決探索性問題上，你想對你的同學(xué)提出什么溫馨提醒？學(xué)生歸納整合后，得出要解決探索性問題，先假設(shè)存在，推證滿足條件的結(jié)論，若結(jié)論正確則存在，若結(jié)論不正確則不存在.（1）當(dāng)條件和結(jié)論不唯一時要分類討論.（2）當(dāng)給出結(jié)論而要推導(dǎo)出存在的條件時，先假設(shè)成立，再推出條件.（3）當(dāng)條件和結(jié)論都不知，按常規(guī)方法解題很難時，要開放思維，采取另外合適的方法.微專題中及時鞏固這個做法收到了很好的效果，基本上幫助學(xué)生掌握了這一類問題的求解方法.

波利亞指出：“貨源充足和組織良好的知識倉庫是一個解題者的重要資本”，要讓學(xué)生擁有豐富且組織良好的知識，高效的課堂是不可或缺的.微專題的復(fù)習(xí)方式是教師將知識作為中心，對學(xué)生已有的數(shù)學(xué)知識進(jìn)行提升，對知識網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行構(gòu)建，幫助學(xué)生形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提升解決問題的能力，促使學(xué)生對數(shù)學(xué)知識有更加全面的掌握.在高三數(shù)學(xué)微專題的設(shè)計中，把握以上策略和技巧可以讓“微專題”更好地為高三復(fù)習(xí)教學(xué)服務(wù)，進(jìn)而生成學(xué)生有收獲、有成長的課堂.