換元法在復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)中的應(yīng)用

覃桂茳 羅秀峰 黃麗清 趙春茹* 覃學(xué)文 （.梧州學(xué)院，廣西 梧州 54300；.長洲中學(xué)，廣西 梧州 54300 ）

引 言

在新課標(biāo)理念的倡導(dǎo)下，對數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)工作開展了一系列詳細的規(guī)定，圍繞數(shù)學(xué)課程設(shè)計、課程性質(zhì)、課程內(nèi)容與課程目標(biāo)均有了確切的要求，可以說新的課程標(biāo)準(zhǔn)為教師提供了更清晰的教學(xué)思路與更精確的培養(yǎng)方向.高二數(shù)學(xué)（人教版）選學(xué)2-2 第一章“導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用”的教學(xué)理念是“實踐——理論——實踐”，先通過瞬時速度、切線斜率的極限思想導(dǎo)入導(dǎo)數(shù)概念，再到導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中由傳統(tǒng)的知識理解型學(xué)習(xí)模式逐漸轉(zhuǎn)變?yōu)橹R應(yīng)用型實踐模式，推動學(xué)生創(chuàng)新能力的發(fā)展.

1 案例分析

導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用內(nèi)容在每年的全國高考數(shù)學(xué)卷中均有一道大題，分值是12 分，分數(shù)占整卷的8 %.學(xué)生作為初學(xué)者去學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容是非常困惑的，主要表現(xiàn)在沒有記全基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式，記錯乘法、除法導(dǎo)數(shù)運算公式，使用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式缺項或者多項等，即使在進行了多次的強化專項訓(xùn)練后，學(xué)生還是沒有完全掌握導(dǎo)數(shù)計算的技巧.為了幫助學(xué)生掌握函數(shù)導(dǎo)數(shù)的求法，筆者結(jié)合教學(xué)實踐對一道例題進行多種方法的求解.

已知＝＝sincos求導(dǎo)函數(shù)

（一）＝（sincos）＝（sin）cos+sin（cos）＝cos-sin

注：首先利用兩個函數(shù)相乘的導(dǎo)數(shù)公式：［（）（）］＝（）（）+（）（），然后用到了兩個基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：（sin）＝cos，（cos）＝-sin

2 利用換元法計算導(dǎo)數(shù)

設(shè)＝（），∈，而＝（），∈，當(dāng)D∩Z≠?時，將＝（）代入＝（）中，得到＝（（）），稱函數(shù)（）和（）構(gòu)成復(fù)合函數(shù)（（）），簡記＝°（），其中法則為內(nèi)函數(shù)，法則為外函數(shù)，稱為中間變量.

解答完畢后，與學(xué)生互動交流，要讓學(xué)生得出“計算的結(jié)果一樣”的結(jié)論.由具體到抽象，培養(yǎng)學(xué)生思維能力，如由列舉的具體換元變量＝2，＝sin，＝tan到換元＝（），且不論（）是關(guān)于的何種表達式，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式y′＝y′·u′的結(jié)果是一樣的.那么，需要思考如何選取簡潔的、有利的、恰當(dāng)?shù)谋磉_式（），使得計算復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的過程最為便捷.

3 選取元的原則

利用換元法是高中數(shù)學(xué)解題過程中的基本方法，同時也是學(xué)生在實際應(yīng)用中的難點.在復(fù)合函數(shù)的分解過程中，選取恰當(dāng)?shù)脑喈?dāng)于選擇恰當(dāng)?shù)闹虚g變量.對任意的中間變量＝（），總有y′＝y′·u′.在利用多種方法計算導(dǎo)數(shù)時，要教會學(xué)生識別哪些方法是簡潔的、具有優(yōu)勢的，特別是當(dāng)出現(xiàn)復(fù)合函數(shù)時，需要進行由外至內(nèi)的分解，找準(zhǔn)中間變量，并落實復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式的應(yīng)用.通過布置課堂練習(xí)“例2”，讓學(xué)生熟練掌握復(fù)合函數(shù)的分解要領(lǐng)與原則.

復(fù)合函數(shù)＝lnsin由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成

構(gòu)造5 種分解法，具體如下：

①＝lnsin＝ln，其中＝sin＝（）.

②＝lnsin＝sin，其中＝arcsin（lnsin）＝（）.

③＝lnsin＝tan，其中＝arctan（lnsin）＝（）.

④＝lnsin＝cos，其中＝arccos（lnsin）＝（）.

讓學(xué)生明白這5 種換元法從本質(zhì)上看都是正確的，然而，部分方案與由繁化簡才引入換元法的目的相矛盾.方案①中，變量＝（）＝sin（）是關(guān)于的1 種法則（正弦法則），在除①外的其他方案中，變量＝（）都是關(guān)于的3 種法則，比函數(shù)＝lnsin本身的2 種法則（對數(shù)法則和正弦法則）多.函數(shù)＝lnsin是關(guān)于的2 種法則，分別是先取正弦法則，再取對數(shù)法則.研究復(fù)雜的＝lnsin轉(zhuǎn)移到研究＝（），不難發(fā)現(xiàn)，只有方案①具有優(yōu)勢（法則次數(shù)少）.可以說，復(fù)合函數(shù)分解的原則是中間變量＝（）很容易得出，且相比函數(shù)（）的運算法則少1 次（種）法則.

函數(shù)＝lnsin由初等函數(shù)＝ln，＝sin復(fù)合而成.

注：對復(fù)合函數(shù)的分解，選取中間變量的原則就是中間變量的表達式關(guān)于變量的初等法則次數(shù)要少于分解的函數(shù).

4 鏈?zhǔn)椒▌t求導(dǎo)推廣

若復(fù)合函數(shù)＝（）是可導(dǎo)的，且函數(shù)＝（）由＝（），＝（），＝（）初等函數(shù)復(fù)合而成，其中，為中間變量，則有鏈?zhǔn)椒▌t求導(dǎo)公式

（1）函數(shù)＝（lnln）由＝，＝ln，＝ln復(fù)合而成.由鏈?zhǔn)椒▌t可知，

5 舉例應(yīng)用

注：復(fù)合函數(shù)＝ln（1-）由初等函數(shù)＝ln，＝1-復(fù)合而成.

6 實施有效教學(xué)監(jiān)督

教學(xué)質(zhì)量監(jiān)控是指監(jiān)控組織成員（教務(wù)處督導(dǎo)、同行教師、班級學(xué)生）通過對教學(xué)質(zhì)量的持續(xù)監(jiān)督，在分析整理教學(xué)工作質(zhì)量、教學(xué)成果質(zhì)量等方面信息的基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)可能存在的問題，對教學(xué)行為及時調(diào)控，以穩(wěn)定和提高教學(xué)質(zhì)量.

以復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的教學(xué)設(shè)計為例，利用兩次統(tǒng)計檢驗學(xué)生對該教學(xué)內(nèi)容的掌握程度.例1 講解結(jié)束后，給出評分細則，讓學(xué)生進行自我評分，然后教師統(tǒng)計學(xué)生得分情況，詳情見表1.從統(tǒng)計表中，可知班級共有47 位學(xué)生，有8 位學(xué)生獲得6 分，占比17.02%，12 位學(xué)生獲得4 分，占比25.53%，該題滿分是6 分，平均分是3.34 分，有57.447%的學(xué)生超過平均分，與教學(xué)計劃中預(yù)期的平均分4 分存在一定的差距，這里就不再分析原因了.

表1 班級主觀題自測評分統(tǒng)計表

在講解例2 過程中，讓學(xué)生選擇5 種換元法中正確的數(shù)量是多少，共設(shè)4 個選項，分別是0 項、1 項、3 項和5 項，學(xué)生答題的結(jié)果詳見表2.從表中看出，47 人的班級中有6 人選擇正確，有41 人選錯答案，選擇正確的占班級人數(shù)的12.766%，平均分是0.638 分，有12.766%的人超過平均分.顯然，學(xué)生對換元法的掌握不夠牢固，需要加強換元法的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力.

表2 班級選擇題評分統(tǒng)計表

（選擇題設(shè)置的分數(shù)是5 分）

教學(xué)過程中，我們可以在例1 的解法（四）、例2 復(fù)合函數(shù)的分解方面引導(dǎo)學(xué)生獨立思考，模仿解題思路，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新性能力，把知識轉(zhuǎn)化為解決問題的能力.因此，在教學(xué)中，學(xué)生對教學(xué)內(nèi)容的理解情況，將會是老師進行下一步教學(xué)至關(guān)重要的信息，所以在教學(xué)中教師必須要及時利用準(zhǔn)確的、多方位的、多角度的信息反饋，引導(dǎo)學(xué)生主動探究，進行教學(xué)方法、教學(xué)手段的改革.

7 小 結(jié)

本文通過課堂習(xí)題的訓(xùn)練，找出復(fù)合函數(shù)分解的準(zhǔn)則，引入換元法輔助學(xué)生理解一元函數(shù)的微分不變性，并掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式.教師應(yīng)當(dāng)結(jié)合布置的課后作業(yè)、習(xí)題訓(xùn)練，開展循序漸進的教學(xué)，鞏固學(xué)生的基礎(chǔ)知識，多留一些時間給學(xué)生思考，找規(guī)律，自我消化，讓學(xué)生能夠掌握數(shù)學(xué)思想方法，切不可為了完成教學(xué)進度而早早結(jié)束本節(jié)教學(xué)內(nèi)容.教師應(yīng)當(dāng)盡可能多地對學(xué)生的作業(yè)進行批改以及檢查，利用反饋信息，有針對性地調(diào)整教學(xué)計劃.在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、教學(xué)過程中，要重視培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力，讓學(xué)生用自己的思維，勇于解決數(shù)學(xué)問題，實現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用.