淺析類比思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

筅江蘇省江陰高新區(qū)實驗中學(xué) 陳丹潔

1 引言

數(shù)學(xué)是一門海納百川的基礎(chǔ)學(xué)科，我們雖不奢求能理解與掌握其所有的知識，但我們可在自身已有認知的基礎(chǔ)上，將一些陌生的問題轉(zhuǎn)化成我們所熟悉的內(nèi)容，類比思想則是實現(xiàn)這一轉(zhuǎn)化常用的一種方法［1］.

類比思想是指根據(jù)兩個或兩類具有相似性質(zhì)的事物推斷出它們可能存在的其他類似之處的思想，因有明確的對比分析的對象，因而可省略大量研究所需耗費的成本［1］.它在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中對聯(lián)系新知識和舊知識具有橋梁的作用，又對猜想的形成起到較好的推動作用.

2 運算類比，理清算理

運算能力不僅是一種重要的數(shù)學(xué)能力，還對物理、化學(xué)等學(xué)科的學(xué)習(xí)有著直接的影響.運算過程體現(xiàn)了學(xué)生的邏輯思維過程，在運算中運用類比，能將算理的本質(zhì)暴露于學(xué)生的思維中，讓學(xué)生更加快速、簡便地掌握運算方法，提高運算效率，達到靈活應(yīng)用的程度.

案例1：“有理數(shù)除法運算”的教學(xué).

課前，筆者展示一個式子：（-4）×（-2）=8.

師：根據(jù)運算法則，我們可以將此式發(fā)生怎樣的變化？

生1：根據(jù)運算法則，可將乘法轉(zhuǎn)化為除法，即8÷（-4）=-2.

師：很好，這就是將有理數(shù)的乘法轉(zhuǎn)化為除法的過程，8÷（-4）=-2這個式子中，8為被除數(shù)，-4為除數(shù)，根據(jù)我們以往學(xué)過的運算規(guī)則，該怎么將除法運算轉(zhuǎn)變?yōu)槌朔ㄟ\算？

有理數(shù)的除法規(guī)則通過類比的方式昭然揭曉，學(xué)生在類比中也欣然接受了有理數(shù)除法運算的這種本質(zhì)特征.為了鞏固與檢驗學(xué)生對這個算理的理解與掌握程度，教師可設(shè)計一些常規(guī)題供學(xué)生練習(xí).

以類比思想幫助學(xué)生掌握運算規(guī)則的過程，不僅僅是讓學(xué)生掌握一種運算方法，更重要的是教會學(xué)生解決一類題的思想方法，這種數(shù)學(xué)思想的形成對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)具有重要的促進作用.因此，類比思想在運算中的應(yīng)用值得每個師生重點關(guān)注.有效地掌握這種方法，可以讓學(xué)習(xí)變得輕松，在提高學(xué)生運算能力的同時，幫助學(xué)生獲得良好的數(shù)學(xué)思維能力.

3 概念類比，啟發(fā)思維

概念或定理等是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，每個概念并非是獨立存在的知識點，它們之間有一定的內(nèi)在聯(lián)系［2］.教學(xué)中，我們可充分利用這種聯(lián)系，通過類比的方式幫助學(xué)生弄清每個概念和定理的性質(zhì).一旦理清了各自的性質(zhì)，就能很好地聯(lián)系新知與舊知.因此，類比過程又是聯(lián)系新知與舊知的橋梁.

案例2：“相交線與平行線”的教學(xué).

為了讓學(xué)生從根本上理解相交線的性質(zhì)，筆者采用了實踐操作與小組合作學(xué)習(xí)相結(jié)合的方式進行教學(xué)引導(dǎo).引導(dǎo)過程中，筆者添加了類比的教學(xué)手段，以幫助學(xué)生明晰相交線所涉及的定理為形成與發(fā)展解題能力奠定基礎(chǔ).具體如下：

師：如圖1，在a，b兩根木條的中間釘一顆釘子，讓這兩根木條能圍繞這顆釘子自由轉(zhuǎn)動.

圖1

學(xué)生操作.

師：現(xiàn)在請各組將自己所完成的作品，抽象成平面圖形，并思考所形成的圖形中會出現(xiàn)幾個小于180°的角.

生1：如圖2，根據(jù)實際情況，我們組畫出了四個小于180°的角，分別用∠1、∠2、∠3與∠4表示.

圖2

師：很好！如果我們將這四個角進行任意組對，能組幾對？

生2：根據(jù)之前學(xué)過的排序規(guī)律，四個角可以組成3+2+1=6（種）組合.

師：現(xiàn)在請各組分別將這6種組合寫出來，并根據(jù)每一對的位置關(guān)系進行分類，看看能分成幾類，并說明理由.

組1：相鄰的角分別有：∠1、∠2，∠2、∠3，∠3、∠4，∠4、∠1，共4組.

組2：相對的角分別有：∠1、∠3，∠2、∠4，共2組.

組3：具有公共邊的角分別有：∠1、∠2，∠2、∠3，∠3、∠4，∠4、∠1，共4組.

組4：沒有公共邊的角分別有：∠1、∠3，∠2、∠4，共2組.

師：非常好！從剛剛大家的分析看，角相鄰，且一條邊為公共邊，另一條邊互為反向延長線的角的度數(shù)和是180°，分別有∠1、∠2，∠2、∠3，∠3、∠4，∠4、∠1，共4組，我們稱這類角互為鄰補角；而角的位置相對，且兩條邊都互為反向延長線的分別有：∠1、∠3，∠2、∠4，共2組，此類角我們稱為對頂角.從以上環(huán)節(jié)看，鄰補角和對頂角分別需要具備怎樣的條件？

生3：首先要有兩條直線相交的條件.

生4：在兩直線相交的條件下，有一個公共頂點，但是沒有公共邊的兩個角互為對頂角；有一個公共的頂點和一條公共邊的兩個角互為鄰補角.

師：太棒了！我聽到你們用了“互為”這個詞，為什么？

生5：只有在談?wù)搩蓚€角之間的關(guān)系時，才稱得上互為.如圖2，∠2、∠4互為對頂角，而∠3、∠4則互為鄰補角.

本片段中，教師引導(dǎo)學(xué)生自主實踐、探索、觀察、發(fā)現(xiàn)角與角之間的位置關(guān)系，根據(jù)不同的分類方法獲得不同的數(shù)學(xué)定理.這種方式不僅讓學(xué)生親身經(jīng)歷、體驗了鄰補角與對頂角概念的形成過程，還讓學(xué)生在鄰補角與對頂角的對比中明晰了各自的本質(zhì).這種方式不僅訓(xùn)練了學(xué)生合作交流的能力，還有效地滲透了數(shù)學(xué)中常用的分類討論思想，培養(yǎng)了學(xué)生的類比思想.

4 解題類比，遷移能力

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)除了要發(fā)展學(xué)習(xí)者的智力水平與個人能力，最直接的表現(xiàn)就是解題能力的培養(yǎng)［3］.在以中、高考為晉級制度的今天，應(yīng)試雖不是最主要的教育目的，卻是學(xué)生進入高等學(xué)府的重要路徑，解題能力的高低決定了學(xué)生未來受教育的層次.為此，筆者在例題教學(xué)中，常運用類比的方式，鼓勵學(xué)生在已有的認知水平上進行類比分析，以實現(xiàn)知識的正遷移，從而提高各項數(shù)學(xué)能力.

眾所周知，每個知識點衍生而成的試題品種繁多，題型多樣，若想用傳統(tǒng)的題海戰(zhàn)術(shù)應(yīng)付中、高考，簡直是癡人說夢，比登天還難.筆者研究了近些年各地的中考試題，發(fā)現(xiàn)試題常出常新，每年都會出現(xiàn)新穎的問題.為此，我們唯有教會學(xué)生解題方法，通過一道題輻射到與它類似的一類題，在類比中真正地實現(xiàn)知識的遷移，達到觸類旁通的教學(xué)目的.

案例3：“一元一次方程”的解題教學(xué).

首先與學(xué)生一起探討解一元一次方程遵循的規(guī)則或步驟.（1）去分母.對于含有分母的方程，應(yīng)先在方程的兩側(cè)同時乘或除以各個分母的最小公倍數(shù)，特別要注意的是，不含分母的項也要同時乘或除以這個數(shù).（2）去括號.與之前所學(xué)過的運算規(guī)則一樣，按照小、中、大括號的順序分別去除，此過程中，需特別留意括號前是負數(shù)的情況，注意符號的變化.（3）移項.尤其注意符號的變化.（4）合并同類項.（5）將未知數(shù)的系數(shù)化為1.以上為常規(guī)解題步驟，但遇到特殊情況的時候，可特殊對待.

原題：解一元一次方程：6+3x=2+5x.

本題比較簡單，主要是為了讓學(xué)生體驗解方程的步驟與過程.與以上解題步驟一一對應(yīng)來看，本方程中不存在分母、括號，因此可省略掉前兩個步驟.本題中，等號左、右兩邊都有未知數(shù)，需執(zhí)行步驟（3），移項為3x-5x=2-6，接下來合并同類項，合并后為：-2x=-4.隨后化簡系數(shù)可得x=2.

此題與例題相比，難度稍有增加.經(jīng)創(chuàng)新后的方程，對照解題步驟，五個步驟一個都不能少.學(xué)生在與原題的類比中一一對照解題步驟進行解題，筆者在巡查中發(fā)現(xiàn)學(xué)生解題的正確率很高，只有個別學(xué)生在去分母環(huán)節(jié)中忘記常數(shù)項同時乘最小公倍數(shù)6，導(dǎo)致錯誤的發(fā)生，其他大部分學(xué)生解題過程清晰，結(jié)論正確.

總之，采取怎樣的教學(xué)方法能快速幫助學(xué)生突破思維的障礙與知識的重點與難點問題，值得我們每個教師思考與探索.類比思想的運用，對概念、定理、性質(zhì)、解題等的教學(xué)都有良好的促進作用，它對激發(fā)學(xué)生的探究欲，開啟學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，建構(gòu)新知等，都有重要的影響.因此，我們應(yīng)根據(jù)教學(xué)實際，選擇相應(yīng)的教學(xué)方式，從真正意義上實現(xiàn)“減負增效”的教學(xué)效果.