類比探究透本質(zhì)，數(shù)形結(jié)合雙翼飛
——“二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)（3）”的教學(xué)設(shè)計(jì)與反思

筅江蘇省張家港市塘市初級(jí)中學(xué) 陳麗黎

1 問(wèn)題提出

數(shù)學(xué)教育家波利亞曾說(shuō)過(guò)：“一個(gè)認(rèn)真想把數(shù)學(xué)作為他終身事業(yè)的學(xué)生必須學(xué)習(xí)論證的推理；這是他的專業(yè)，也是他那門學(xué)科的特殊標(biāo)志.然而為了取得真正的成就，他還必須學(xué)習(xí)合情推理；這是他創(chuàng)造性工作所賴以進(jìn)行的那種推理.”自新課改以來(lái)，數(shù)學(xué)教學(xué)從傳統(tǒng)的“知識(shí)本位”向“能力本位”過(guò)渡，合情推理逐步滲透到數(shù)學(xué)教材并成為數(shù)學(xué)“四基”的核心與重點(diǎn)，為學(xué)生的理性精神和科學(xué)意識(shí)的培養(yǎng)起到了非常重要的作用.類比是初中數(shù)學(xué)中最基本的數(shù)學(xué)思想之一，也是合情推理的主要組成部分，類比思想的應(yīng)用有利于學(xué)生認(rèn)識(shí)聯(lián)系、獲取聯(lián)系，是培養(yǎng)學(xué)生推理能力、提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)的關(guān)鍵途徑之一.筆者在執(zhí)教蘇科版教材九年級(jí)下冊(cè)第五章第3節(jié)“二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)”時(shí)，基于引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷操作、觀察、思考的過(guò)程，創(chuàng)設(shè)多個(gè)學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)，讓學(xué)生從“數(shù)”“形”兩個(gè)視角開展類比研究，建構(gòu)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的知識(shí)網(wǎng)絡(luò).

2 教學(xué)案例分析

2.1 教學(xué)目標(biāo)

（1）讓學(xué)生利用描點(diǎn)法正確作出函數(shù)y=ax2+k和函數(shù)y=a（x+h）2的圖象.

（2）理解并掌握二次函數(shù)y=ax2+k和y=a（x+h）2的圖象性質(zhì)及它們與函數(shù)y=ax2的關(guān)系.

（3）經(jīng)歷操作、探究、歸納和概括二次函數(shù)y=ax2+k和y=a（x+h）2的圖象性質(zhì)及它們與函數(shù)y=ax2的關(guān)系，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想和從特殊到一般的研究方法，培養(yǎng)學(xué)生觀察和分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.

（4）經(jīng)歷操作、觀察和交流等過(guò)程，獲得問(wèn)題研究的策略，體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)，從而發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)的內(nèi)涵.

2.2 教學(xué)回顧及意圖

2.2.1溫故知新，承前啟后

問(wèn)題1二次函數(shù)y=ax2（a≠0）的圖象是什么？

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)回憶二次函數(shù)y=ax2（a≠0）的相關(guān)性質(zhì)，幫助學(xué)生建立新知識(shí)和舊知識(shí)之間的聯(lián)系，探索二次函數(shù)問(wèn)題新的研究方向.這一學(xué)習(xí)流程為類比學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)，也為下面學(xué)習(xí)新的二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)積累經(jīng)驗(yàn).2.2.2規(guī)范作圖，合情推理，實(shí)現(xiàn)由“數(shù)”到“形”的跨越

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)描點(diǎn)法繪制y=x2+1，y=x2-2的圖象，以小組為單位交流分享，發(fā)現(xiàn)圖象的特征，產(chǎn)生共鳴.學(xué)生經(jīng)歷畫圖過(guò)程，教師引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、比較、類比討論圖象“形態(tài)”“走勢(shì)”，讓學(xué)生學(xué)會(huì)用函數(shù)的解析式解釋其圖象的特征，逐步培養(yǎng)學(xué)生分析、概括和思辨能力.

2.2.3創(chuàng)設(shè)問(wèn)題，滲透思想，促進(jìn)以“形”助“數(shù)”的轉(zhuǎn)化

問(wèn)題3y=x2+1，y=x2-2的圖象是拋物線嗎？

在學(xué)生獨(dú)立思考、小組討論后，設(shè)置如下追問(wèn).

追問(wèn)1：二次函數(shù)y=x2+1，y=x2-2的圖象位置有什么變化？

追問(wèn)2：你能從表格（如表1）中每組數(shù)對(duì)和函數(shù)圖象位置變化的角度解釋一下你的發(fā)現(xiàn)嗎？

表1

追問(wèn)3：利用類比的思想，說(shuō)說(shuō)二次函數(shù)y=x2+1和y=x2的圖象性質(zhì)發(fā)生了怎樣的變化.

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生觀察表格中函數(shù)值的變化，結(jié)合描點(diǎn)過(guò)程，發(fā)現(xiàn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置和拋物線的平移變化關(guān)系.三個(gè)追問(wèn)不僅使學(xué)生已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)得到深化，還能利用類比思想感受到函數(shù)圖象的變化，讓函數(shù)的性質(zhì)更形象、更直觀，學(xué)生獲得研究新問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn).數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，需要用“感性直觀”與“知性探究（精神）”結(jié)合方法，適當(dāng)滲透合情推理.

2.2.4學(xué)以致用，鞏固新知

練習(xí)1：已知函數(shù)y=-3x2+5圖象的開口______，對(duì)稱軸為_____，頂點(diǎn)坐標(biāo)為______，當(dāng)x_____時(shí)，y隨x的增大而減??；當(dāng)x=______時(shí)，y有最_____值，為______.

練習(xí)2：將二次函數(shù)y=-3x2+5的圖象向上平移4個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為_____.

設(shè)計(jì)意圖：鞏固所學(xué)二次函數(shù)y=ax2+k的圖象和性質(zhì)，滲透以“形”助“數(shù)”思想，讓學(xué)生體會(huì)到學(xué)以致用的成功感.

2.2.5類比學(xué)習(xí)，無(wú)師自通

活動(dòng)2：在同一直角坐標(biāo)系中，分別畫出二次函數(shù)y=x2，y=（x+3）2，y=（x-2）2的圖象，你有何發(fā)現(xiàn)？

問(wèn)題4二次函數(shù)y=（x+3）2，y=（x-2）2的圖象是拋物線嗎？

追問(wèn)：這兩個(gè)圖象與y=x2的圖象存在怎樣的位置關(guān)系？

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生有了研究函數(shù)y=ax2+k的圖象的經(jīng)驗(yàn)，利用列表、描點(diǎn)、連線很快能解決上述問(wèn)題.通過(guò)觀察圖象，從運(yùn)動(dòng)變化的角度，學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)函數(shù)y=（x+3）2，y=（x-2）2的圖象與y=x2的圖象之間的位置關(guān)系，但如何從“數(shù)”的特征到“形”的變化的角度解釋呢？一方面，當(dāng)函數(shù)值相等時(shí)，y=（x+3）2和y=x2自變量的值都相差3，從圖形上看，y=（x+3）2圖象上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)都在y=x2的圖象基礎(chǔ)上向左平移了3個(gè)單位；另一方面，教師把表格進(jìn)行錯(cuò)位平移，學(xué)生更加容易認(rèn)清上述圖象之間的關(guān)系.通過(guò)這樣的教學(xué)，我們希望學(xué)生能豁然開朗，知識(shí)的形成水到渠成，學(xué)生也能進(jìn)一步感受數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.

3 教學(xué)思考

3.1 立足原有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，借助動(dòng)手操作，完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)

新課程標(biāo)準(zhǔn)指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)必須建立在學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上.”［1］這就要求我們?cè)趥湔n時(shí)，認(rèn)真研究學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)、認(rèn)知水平和發(fā)展水平，適時(shí)地滲透合情推理，用發(fā)展的觀點(diǎn)看待學(xué)生，以學(xué)定教.在本課的教學(xué)中，學(xué)生通過(guò)溫故知新環(huán)節(jié)復(fù)習(xí)鞏固了二次函數(shù)y=ax2（a≠0）的圖象性質(zhì)，在此基礎(chǔ)上，我們充分尊重和關(guān)注學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)，通過(guò)列表、作圖直觀感悟二次函數(shù)y=ax2+k和y=a（x+h）2的圖象性質(zhì)及它們與函數(shù)y=ax2的關(guān)系，有效、合理、自然地把學(xué)生帶入“最近發(fā)展區(qū)”，促使學(xué)生在自主學(xué)習(xí)、自主探究、合作交流中提升和完善認(rèn)知結(jié)構(gòu).

3.2 問(wèn)題化教學(xué)串聯(lián)課堂，聚焦核心關(guān)鍵，幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

作為數(shù)學(xué)教師，僅僅“授之以漁”是不夠的，學(xué)生是課堂教學(xué)的主體，教師是課堂教學(xué)的組織者、合作者、引導(dǎo)者.因此，教師要不斷引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察問(wèn)題，用數(shù)學(xué)思維思考問(wèn)題，進(jìn)一步用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)問(wèn)題，用數(shù)學(xué)方法解決問(wèn)題.在本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)中，以問(wèn)題串形式的教學(xué)改變了過(guò)去那種教師教、學(xué)生聽的模式，所有的教學(xué)活動(dòng)都是以學(xué)生的學(xué)習(xí)需求為前提，學(xué)生主動(dòng)參與，向?qū)W生滲透學(xué)習(xí)和研究一個(gè)新函數(shù)時(shí)，采用類比、從特殊到一般的方法，收集、整合信息，聚焦核心關(guān)鍵，即從“數(shù)”（函數(shù)解析式）的角度認(rèn)識(shí)、理解并分析函數(shù)性質(zhì)，從“形”（函數(shù)的圖象）的角度直觀感受和刻畫函數(shù)的性質(zhì)，不斷積累數(shù)學(xué)活動(dòng)體驗(yàn).

3.3 注重?cái)?shù)學(xué)思想方法滲透，通過(guò)實(shí)踐活動(dòng)，促使學(xué)生內(nèi)化知識(shí)與技能

本節(jié)課教學(xué)中，既有教師的適時(shí)引導(dǎo)，又有學(xué)生的獨(dú)立思考和合作交流，學(xué)生在動(dòng)手操作、動(dòng)眼觀察、動(dòng)腦思考的實(shí)踐活動(dòng)中，感悟“函數(shù)”和“函數(shù)圖象”間的對(duì)應(yīng)關(guān)系本質(zhì)是“數(shù)”和“形”的對(duì)應(yīng)關(guān)系，體會(huì)“數(shù)”決定“形”，“形”刻畫“數(shù)”，為后續(xù)研究二次函數(shù)y=a（x+h）2+k的圖象性質(zhì)積淀了學(xué)習(xí)方法.這些經(jīng)驗(yàn)的積累和數(shù)學(xué)思想的感悟，無(wú)形中提高了學(xué)生的解題能力，最重要的是通過(guò)自己的思考，內(nèi)化數(shù)學(xué)知識(shí)與技能得到，并且慢慢地成了學(xué)生的一種數(shù)學(xué)素養(yǎng)［2］.