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    去繁存質(zhì)聚焦核心
    ——由一道代數(shù)綜合題引發(fā)的教學(xué)思考及課堂設(shè)計(jì)

    2022-08-15 07:24:48筅浙江省杭州市觀成武林中學(xué)章亞娣
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2022年12期
    關(guān)鍵詞:最值圖象核心

    筅浙江省杭州市觀成武林中學(xué) 章亞娣

    1 引言

    中考代數(shù)綜合題往往已知條件比較多,如何找到問(wèn)題的本質(zhì)核心是解題教學(xué)的關(guān)鍵.但是對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō),從煩瑣復(fù)雜的題干中提取問(wèn)題的本質(zhì)還有不少的困擾,所以教師對(duì)這類問(wèn)題若只是分析解題過(guò)程,很多學(xué)生可以聽(tīng)懂,但是下次碰到類似的問(wèn)題時(shí)還是會(huì)出現(xiàn)“霧里看花,無(wú)從下手”的狀態(tài).在一次九年級(jí)統(tǒng)測(cè)中,數(shù)學(xué)試卷第22題的得分率不到20%,這個(gè)情況引起了筆者研究的興趣.下面以這道題為例,談?wù)劷忸}教學(xué)中如何幫助學(xué)生突破這類問(wèn)題的難點(diǎn),能夠從復(fù)雜的問(wèn)題情境中迅速抽離出問(wèn)題本質(zhì)核心,找到解決問(wèn)題的方法.

    2 試題呈現(xiàn)

    在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)二次函數(shù)y=ax2+bx-3a(a,b是實(shí)數(shù),a≠0).

    (1)判斷該函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù),并說(shuō)明理由.

    (2)若該函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在第二象限,且過(guò)點(diǎn)(1,1),當(dāng)a<b時(shí),求函數(shù)S=2a2-b的取值范圍.

    3 學(xué)生錯(cuò)因分析

    這是一道代數(shù)綜合題,第(1)問(wèn)幾乎所有的學(xué)生都能夠得分,但是第(2)問(wèn)有80%的學(xué)生能夠把特殊點(diǎn)(1,1)代入到函數(shù)的解析式中,得到a和b的關(guān)系,50%的學(xué)生能把S用含有a的代數(shù)式表示,20%的學(xué)生根據(jù)條件求出了a的取值范圍,最終能夠完全正確解完的只有15%.筆者通過(guò)和學(xué)生的交流,了解到學(xué)生存在以下三點(diǎn)困惑:

    (1)大部分學(xué)生找不到問(wèn)題的核心,不知道這類問(wèn)題如何解,對(duì)于題目中給出的三個(gè)條件和所求的結(jié)論不能建立彼此之間的關(guān)聯(lián)性,學(xué)生覺(jué)得無(wú)從下手,處于放棄狀態(tài).

    (2)題目中有兩個(gè)字母參數(shù),學(xué)生不能建立彼此之間的關(guān)聯(lián),對(duì)于幾個(gè)分散的已知條件,分別進(jìn)行了取值范圍的探索,不能整合成函數(shù)求自變量的取值范圍.

    (3)能找到問(wèn)題的核心是根據(jù)其中一個(gè)函數(shù)自變量的取值范圍確定函數(shù)值的范圍,但是對(duì)于將二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在第二象限這個(gè)條件轉(zhuǎn)化成不等式有困難.

    這些問(wèn)題都凸顯了學(xué)生解決這類問(wèn)題時(shí)缺乏清晰的思路,對(duì)于已知條件中一些干擾,不能找到問(wèn)題的本質(zhì)核心,這是學(xué)生解題受阻的關(guān)鍵因素,也是解題的突破口.在中考復(fù)習(xí)課堂設(shè)計(jì)中,筆者也在思考如何突破這些問(wèn)題并進(jìn)行了一些嘗試,以下是筆者針對(duì)學(xué)生存在的問(wèn)題進(jìn)行專題突破的課堂教學(xué)設(shè)計(jì).

    4 教學(xué)實(shí)施

    根據(jù)學(xué)生存在的思維障礙,設(shè)計(jì)以下六個(gè)環(huán)節(jié)進(jìn)行類比學(xué)習(xí),并逐步遞進(jìn).

    4.1 面向全體,復(fù)習(xí)回顧,鞏固基礎(chǔ)

    任務(wù)1:(1)已知二次函數(shù)y=-(x+14)(x-50),則函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_____.

    (2)已知二次函數(shù)y=2x2-6x+6,當(dāng)x≤1時(shí),函數(shù)y的最小值為_(kāi)_____.

    (3)已知二次函數(shù)y=2(x-1)2+8,若x的取值范圍是-2≤x≤3,則y的取值范圍為_(kāi)_____.

    問(wèn)題1:求二次函數(shù)的最值有幾種方法?

    問(wèn)題2:我們根據(jù)自變量的取值范圍如何確定函數(shù)值的取值范圍?

    設(shè)計(jì)意圖:題組設(shè)計(jì)聚焦核心知識(shí),問(wèn)題驅(qū)動(dòng)激活學(xué)生思維,引導(dǎo)學(xué)生自主建構(gòu)關(guān)于求函數(shù)最值及根據(jù)變量的取值范圍求函數(shù)值的知識(shí)結(jié)構(gòu)圖如圖1.

    圖1

    4.2 適度變形,逐步綜合

    任務(wù)2:(1)已知y=2x-1,且0≤x≤3.令s=xy,則當(dāng)x=______時(shí),函數(shù)s有最小值為_(kāi)_____,函數(shù)s的取值范圍是______.

    (2)已知二次函數(shù)y=x2+bx的對(duì)稱軸為直線x=1,若關(guān)于x的一元二次方程x2+bx-s=0在-3≤x≤7的范圍內(nèi)有解,求s的取值范圍.

    問(wèn)題1:你能用含x的代數(shù)式表示s嗎?

    問(wèn)題2:根據(jù)x的取值范圍怎么求s的最值和取值范圍?

    問(wèn)題3:和任務(wù)1相比,這兩類問(wèn)題有什么聯(lián)系和區(qū)別?

    設(shè)計(jì)意圖:從自變量取值范圍確定、函數(shù)表達(dá)式確定到自變量取值范圍確定,函數(shù)表達(dá)式待定,通過(guò)有效問(wèn)題串引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的核心是函數(shù)的增減性,雖然題目的綜合性逐步增強(qiáng),但是解決問(wèn)題的方法只是比前面的問(wèn)題多了一個(gè)步驟,利用題目中給出的等量關(guān)系,消去字母系數(shù),并列出函數(shù)表達(dá)式,然后根據(jù)題目條件,求出函數(shù)值的取值范圍.

    4.3 深度思考,找關(guān)聯(lián),建模型

    任務(wù)3:(1)已知非負(fù)數(shù)a,b,c滿足a+b=2,c-3a=4,設(shè)S=a2+b+c的最大值為m,最小值為n,求m-n的值.

    (2)拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)過(guò)點(diǎn)(-1,0),(0,2),且頂點(diǎn)在第一象限,設(shè)S=4a2+2b+c,求S的取值范圍.

    問(wèn)題1:和任務(wù)2相比,任務(wù)3有什么變化?

    問(wèn)題2:如何用含a的代數(shù)式表示S?

    問(wèn)題3:確定a的取值范圍需要滿足哪些條件?為什么?

    問(wèn)題4:根據(jù)a的取值范圍,如何確定S的最大值和最小值?

    問(wèn)題5:你能說(shuō)出解決問(wèn)題的基本步驟嗎?

    設(shè)計(jì)意圖:本環(huán)節(jié)繼續(xù)將三個(gè)任務(wù)緊密結(jié)合,由任務(wù)2的自變量取值范圍確定、函數(shù)表達(dá)式待定到自變量取值范圍待定、函數(shù)表達(dá)式待定,并且對(duì)自變量取值范圍的確定需要綜合不等式、函數(shù)圖象和性質(zhì),繼續(xù)利用有效問(wèn)題串引導(dǎo)學(xué)生聚焦問(wèn)題本質(zhì)核心是根據(jù)函數(shù)自變量取值范圍確定函數(shù)值的范圍,所以問(wèn)題解決的步驟是確定函數(shù)的表達(dá)式,求自變量的取值范圍,這樣可以使學(xué)生認(rèn)識(shí)到問(wèn)題的核心.在這里問(wèn)題4是難點(diǎn),特別是第(2)問(wèn),要根據(jù)圖象頂點(diǎn)在第一象限確定關(guān)于a的不等式,難點(diǎn)的突破需要結(jié)合函數(shù)圖象和二次函數(shù)的基本性質(zhì).同時(shí)通過(guò)問(wèn)題設(shè)置引導(dǎo)學(xué)生找到解決問(wèn)題的基本方法,建構(gòu)問(wèn)題解決流程圖如圖2.

    圖2

    4.4 深度挖掘,類比推廣

    任務(wù)4:若二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a,b,c是實(shí)數(shù),a≠0)的圖象的頂點(diǎn)在第一象限,且過(guò)點(diǎn)(0,1)和(-1,0),求S=a+b-c的取值范圍.

    設(shè)計(jì)意圖:在明晰了解決問(wèn)題的思路以后,進(jìn)行類比推廣,讓學(xué)生感受到任務(wù)4和任務(wù)3的關(guān)聯(lián)性.這類問(wèn)題是難點(diǎn),需要在課堂上教師慢慢引導(dǎo),并結(jié)合一定量的解題練習(xí)加深學(xué)生對(duì)模型的理解.

    4.5 回顧總結(jié),積累思維經(jīng)驗(yàn)

    (1)我們完成的四個(gè)任務(wù)最核心的知識(shí)點(diǎn)是什么?(2)從任務(wù)1到任務(wù)4,四個(gè)任務(wù)之間有什么關(guān)系?(3)問(wèn)題解決的基本步驟是什么?

    設(shè)計(jì)意圖:通過(guò)具體的小結(jié)引導(dǎo)學(xué)生從核心知識(shí)出發(fā),感受綜合題逐步產(chǎn)生的過(guò)程,每一個(gè)已知條件設(shè)置的知識(shí)關(guān)聯(lián)性,思考總結(jié)梳理問(wèn)題解決的一般方法,能夠自主建構(gòu)函數(shù)模型解決問(wèn)題.

    4.6 課堂檢測(cè),感悟得失

    (1)已知實(shí)數(shù)x,y,a滿足x+3y+a=4,x-y-3a=0.若-1≤a≤1,求2x+y的取值范圍.

    (2)已知a,b,m為非正數(shù),且滿足a-m+2=-2m+b=2,則m的取值范圍是______,代數(shù)式-3m2+12m+2的最大值為_(kāi)_____.

    (3)拋物線y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù),a≠0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,0)和點(diǎn)B(0,-2),且拋物線的對(duì)稱軸在y軸的左側(cè),求a-b的取值范圍.

    設(shè)計(jì)意圖:通過(guò)課堂檢測(cè)可以及時(shí)了解和反饋本節(jié)課學(xué)習(xí)的效果,及時(shí)獲得矯正信息,利用學(xué)生反饋信息再次進(jìn)行分析、處理,也可以反思課堂設(shè)計(jì)的得失.

    5 設(shè)計(jì)說(shuō)明

    5.1 有效的問(wèn)題串,體現(xiàn)教師的引導(dǎo)和幫助

    本節(jié)課將函數(shù)求取值范圍的每一類問(wèn)題綜合成一個(gè)貫穿課堂始終的大任務(wù),每個(gè)任務(wù)都利用問(wèn)題串把知識(shí)關(guān)聯(lián)起來(lái),激發(fā)學(xué)生的自主探索精神.筆者認(rèn)為,教師在備課中對(duì)問(wèn)題的預(yù)設(shè)是教學(xué)的生命線,以問(wèn)題為驅(qū)動(dòng),讓課堂教學(xué)從淺層接受向深層的探究式轉(zhuǎn)變,師生之間形成學(xué)習(xí)共同體,讓學(xué)生在知識(shí)學(xué)習(xí)中成長(zhǎng)和發(fā)展,把握問(wèn)題的本質(zhì)核心,實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)的目標(biāo).

    5.2 逐步遞進(jìn)的任務(wù),著眼于學(xué)生“最近發(fā)展區(qū)”

    蘇聯(lián)教育學(xué)家維果斯基的“最近發(fā)展區(qū)理論”認(rèn)為:教學(xué)應(yīng)著眼于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū),為學(xué)生提供有難度的內(nèi)容,調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性,發(fā)揮其潛能,超越其最近發(fā)展區(qū)達(dá)到下一個(gè)發(fā)展階段的水平.本節(jié)課從函數(shù)最核心、最基本的最值和函數(shù)值取值范圍引入,通過(guò)層層遞進(jìn)的任務(wù)設(shè)計(jì),鼓勵(lì)學(xué)生在問(wèn)題解決中學(xué)習(xí)、在問(wèn)題解決中探索,激發(fā)他們對(duì)問(wèn)題解決的深層理解,從而通過(guò)問(wèn)題解決使學(xué)生建構(gòu)起問(wèn)題解決的基本方法和核心知識(shí).

    5.3 每個(gè)環(huán)節(jié)及時(shí)歸納總結(jié),將知識(shí)結(jié)構(gòu)化

    心理學(xué)研究表明,個(gè)體解決問(wèn)題的能力高低取決于個(gè)人所獲得的有關(guān)知識(shí)的多少及其性質(zhì)和組織結(jié)構(gòu),學(xué)生對(duì)知識(shí)的學(xué)習(xí)只有實(shí)現(xiàn)概念化、條件化、結(jié)構(gòu)化、策略化之后,才能真正促進(jìn)問(wèn)題的解決.本復(fù)習(xí)課上,給予學(xué)生充分的時(shí)間對(duì)函數(shù)求最值和函數(shù)值的取值范圍探索方法進(jìn)行思考和整理,建構(gòu)知識(shí)結(jié)構(gòu)圖,在綜合性問(wèn)題解決后讓學(xué)生思考問(wèn)題解決的一般方法,使得學(xué)生在頭腦中形成清晰的、穩(wěn)定的、可遷移的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)圖,能夠加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的應(yīng)用檢索能力,使其具備在復(fù)雜的情境下也能迅速剝離出問(wèn)題的本質(zhì)核心,迅速找到問(wèn)題解決的方法.

    5.4 類比學(xué)習(xí)促進(jìn)深度學(xué)習(xí)

    鄭毓信教授曾指出數(shù)學(xué)就是要讓學(xué)生“數(shù)學(xué)地思考問(wèn)題,用數(shù)學(xué)的眼睛看世界”.而用數(shù)學(xué)的思維思考問(wèn)題、用數(shù)學(xué)的眼睛看世界的基本方法之一就是“類比”.比較才知事物之間的聯(lián)系和區(qū)別,才能認(rèn)識(shí)事物的本質(zhì).本節(jié)復(fù)習(xí)課上,從二次函數(shù)的最值和取值范圍的求解類比學(xué)習(xí)反比例函數(shù)和一次函數(shù),深入思考如何根據(jù)已知條件確定自變量的取值范圍,再根據(jù)自變量的取值范圍確定函數(shù)的最值或者函數(shù)的取值范圍,由單純“問(wèn)題解決”到“數(shù)學(xué)地思維”,提升學(xué)生的思維品質(zhì).

    5.5 尋找典型問(wèn)題及突破點(diǎn),提高復(fù)習(xí)效率

    本課設(shè)計(jì)的緣起是因?yàn)橐坏来鷶?shù)綜合題,問(wèn)題呈現(xiàn)的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)中最本質(zhì)的增減性,題目綜合性強(qiáng),屬于常見(jiàn)考題,學(xué)生得分率低.對(duì)學(xué)生錯(cuò)誤原因進(jìn)行仔細(xì)分析以后,思考如何尋找突破點(diǎn),引導(dǎo)學(xué)生先做減法,看到問(wèn)題最本質(zhì)的核心,在課堂的設(shè)計(jì)中,再做加法,問(wèn)題的綜合程度是逐步增加的,讓學(xué)生感受試題命制的過(guò)程,聚焦核心知識(shí),提高復(fù)習(xí)效率,并且引導(dǎo)學(xué)生自主建構(gòu)問(wèn)題解決的基本模型.W

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