一道勻變速直線運(yùn)動(dòng)習(xí)題的7種解法剖析與思考

徐團(tuán)芬

(內(nèi)蒙古集寧一中)

1 問題的提出

物理教學(xué)和學(xué)習(xí)的重要目標(biāo)就是培養(yǎng)學(xué)生的思維能力,培養(yǎng)思維能力的有效方法之一是開展一題多解方法的訓(xùn)練.高中物理勻變速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律中,通常涉及勻變速直線運(yùn)動(dòng)的基本關(guān)系,包括速度時(shí)間關(guān)系vt＝v0＋at,位移時(shí)間關(guān)系x＝v0t＋,位移速度關(guān)系＝2ax,以及中間時(shí)刻速度等于平均速度等于初末速度平均值,即,中間位置瞬時(shí)速度和位移差公式Δx＝aT2這3個(gè)重要推論.對于初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng),還有諸如相等時(shí)間位移比、相等位移所用時(shí)間之比等連比表達(dá)式.由于基本規(guī)律和推論多而雜,勻變速直線運(yùn)動(dòng)問題往往有很多不同的解法,教師教學(xué)時(shí)要善于引導(dǎo)學(xué)生尋找多種不同的解法以拓展學(xué)生的視野,從而培養(yǎng)學(xué)生的思維能力.下面以筆者教學(xué)時(shí)遇到的一道勻變速直線運(yùn)動(dòng)習(xí)題為例,剖析7種解法的思路,供參考.

2 問題和解法

例質(zhì)點(diǎn)從靜止開始做勻加速直線運(yùn)動(dòng),在第3秒內(nèi)通過的位移為5m,求質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的加速度.

分析這是勻變速直線運(yùn)動(dòng)中一道常見的習(xí)題,從題給條件看,可以從勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移時(shí)間關(guān)系、位移速度關(guān)系、平均速度公式、圖像法、位移差法及初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)的比例式著手分析解答.

思路分析1因題目給出質(zhì)點(diǎn)在第3秒內(nèi)的位移是5m,首先易想到運(yùn)用勻變速直線運(yùn)動(dòng)位移時(shí)間關(guān)系式解答,但第3秒內(nèi)的初速度(即2s末的瞬時(shí)速度)未知,不宜直接套用位移時(shí)間關(guān)系研究,又因質(zhì)點(diǎn)從靜止開始運(yùn)動(dòng),即計(jì)時(shí)開始時(shí)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度為零,因而想到將第3秒內(nèi)的位移求解轉(zhuǎn)化為前3秒與前2秒內(nèi)的位移之差.

解法1位移時(shí)間關(guān)系之轉(zhuǎn)化研究段法

思路分析2若仍考慮運(yùn)用位移時(shí)間關(guān)系解答問題,但不想將第3秒這一研究段轉(zhuǎn)化為前3秒和前2秒這兩段之差處理,只就第3秒直接運(yùn)用位移時(shí)間關(guān)系解答,顯然缺少第3秒內(nèi)的初速度,此時(shí)可以考慮先運(yùn)用速度時(shí)間關(guān)系表示出第3秒內(nèi)的初速度,再套用位移時(shí)間公式直接研究第3秒這一時(shí)間段便可求出加速度.

解法2運(yùn)用位移時(shí)間關(guān)系與速度時(shí)間關(guān)系

設(shè)質(zhì)點(diǎn)在第3秒內(nèi)的初速度為v0,質(zhì)點(diǎn)加速度為a,則第2秒末的速度(第3秒的初速度)v0＝at.第3秒內(nèi)由位移時(shí)間關(guān)系得

聯(lián)立各式并將t＝2s,t′＝1s,x第3秒＝5m 代入,得加速度a＝2m·s－2.

思路分析3若考慮在第3秒內(nèi)運(yùn)用位移速度公式處理問題,則必定要將第3秒內(nèi)的初末速度用加速度表示,又已知質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至第3秒初末的時(shí)間,因而可以運(yùn)用速度時(shí)間關(guān)系式得出第3秒內(nèi)的初末速度,再將此速度代入位移速度公式即可解決問題.

解法3運(yùn)用位移速度公式與速度時(shí)間公式

設(shè)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的加速度為a,質(zhì)點(diǎn)在2秒末、3秒末的速度分別為v2秒末、v3秒末,0～2s時(shí)間內(nèi)由速度時(shí)間公式得v2秒末＝at.0～3s時(shí)間內(nèi)由速度時(shí)間公式得v3秒末＝at′.

小結(jié)以上三種思路和解法是從勻變速直線運(yùn)動(dòng)的速度時(shí)間關(guān)系、位移時(shí)間關(guān)系和位移速度關(guān)系這三種基本關(guān)系出發(fā),利用三種基本關(guān)系當(dāng)中的一種或兩種組合搭配解決問題.

思路分析4勻變速直線運(yùn)動(dòng)中,若給出某段時(shí)間內(nèi)的位移,則在這段時(shí)間內(nèi)中間時(shí)刻的瞬時(shí)速度便可輕松求出,再運(yùn)用速度時(shí)間公式便可解出質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的加速度.

解法4中間時(shí)刻速度等于平均速度法

設(shè)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的加速度為a,質(zhì)點(diǎn)在第3秒內(nèi)的位移為x,質(zhì)點(diǎn)在2.5秒末的速度為v2.5秒末,由第3秒內(nèi)的平均速度等于中間時(shí)刻瞬時(shí)速度得v2.5s末＝＝＝5m·s－1.再由0～2.5s時(shí)間內(nèi)速度時(shí)間公式得v2.5秒末＝at′,將v2.5秒末＝5m·s－1,t′＝2.5s代入,解得加速度a＝2m·s－2.

思路分析5勻變速直線運(yùn)動(dòng)中,平均速度不僅等于中間時(shí)刻瞬時(shí)速度,還等于初末速度的平均值,即,因第3秒內(nèi)的位移已知,故第3秒內(nèi)的平均速度可以求出,因而只要將第3秒的初末速度表示成加速度代入式子便可求出加速度.

解法5平均速度法

設(shè)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的加速度為a,第3秒內(nèi)的位移為x,第3秒這一時(shí)間段內(nèi)的初末速度分別為v2秒末、v3秒末,由速度時(shí)間公式得v2秒末＝at1,v3秒末＝at2.

由平均速度公式得第3秒內(nèi)位移

聯(lián)立各式并將t1＝2s,t2＝3s,t3＝1s和x＝5m代入,可得加速度a＝2m·s－2.

思路分析6眾所周知,速度—時(shí)間圖像與時(shí)間軸圍成的圖形面積表示物體運(yùn)動(dòng)的位移大小.因而可以在繪制勻變速直線運(yùn)動(dòng)的速度—時(shí)間圖像基礎(chǔ)上通過相應(yīng)面積的大小等于位移大小的方法尋找答案.

解法6圖像法

設(shè)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的加速度大小為a,因v-t圖像的斜率表示加速度的大小,故2秒末、3秒末對應(yīng)的瞬時(shí)速度分別表示成v2、v3,由質(zhì)點(diǎn)做勻加速直線運(yùn)動(dòng)易畫出如圖1 所示的速度—時(shí)間圖像.根據(jù)圖中陰影部分梯形面積等于第3s內(nèi)位移5 m,可得x＝×1＝5,解得加速度a＝2m·s－2.

圖1

小結(jié)從形式上看,解法5和解法6分別運(yùn)用了公式法和圖像法,但兩種解法的本質(zhì)非常接近.只不過解法5借助公式得出,解法6借助圖像表示,從這個(gè)角度看,兩種解法是統(tǒng)一的.

思路分析7因質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的初速度為零,且題目給出第3s內(nèi)位移為5m,故可以通過初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)的相關(guān)比例式得出第1秒內(nèi)的位移,再結(jié)合位移時(shí)間關(guān)系研究第1秒即可求出加速度.

解法7比例式加位移時(shí)間關(guān)系

設(shè)質(zhì)點(diǎn)在第1 秒內(nèi)、第3 秒內(nèi)的位移分別為x第1秒、x第3秒,質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的加速度為a,質(zhì)點(diǎn)在第1秒內(nèi)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t,則由初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)在連續(xù)相等的時(shí)間內(nèi)位移之比為1∶3∶5∶…,可得x第1秒∶x第3秒＝1∶5.

第1秒內(nèi)由位移時(shí)間關(guān)系得x第1秒＝.

由以上兩式并將x第3秒＝5 m,t＝1s代入,可得加速度a＝2m·s－2.

3 思考

從上述的解法分析可知,一道簡單的勻變速直線運(yùn)動(dòng)習(xí)題竟然有多種不同的解法,且各有特色,有些偏重于基本關(guān)系的應(yīng)用,有些快捷巧妙.多種解法既較好地鞏固了勻變速直線運(yùn)動(dòng)基本規(guī)律和推論的應(yīng)用,同時(shí)又發(fā)展了學(xué)生的發(fā)散思維能力,開闊了學(xué)生的視野.但我們在追求多種解法、巧妙解法的同時(shí),不能忘了根本之法,即勻變速直線運(yùn)動(dòng)的基本規(guī)律,這些基本規(guī)律才是解決勻變速直線運(yùn)動(dòng)問題的根本之法.我們要大力提倡這些基本規(guī)律的應(yīng)用,強(qiáng)調(diào)通式、通法和通解,那些所謂的推論,只有在一定的條件下方能成立,切不可弄巧成拙,本末倒置.

(完)