關(guān)于Berger定理的推廣

常慧敏，黃宇敏

（山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山西 太原 030006）

0 引言

本文涉及的群均是有限群，有關(guān)群論和復(fù)特征標(biāo)理論的記號和概念分別來自[1]和[2]。設(shè)χ∈Irr(G)為群G的一個不可約復(fù)特征標(biāo)，如果存在真子群H

進(jìn)而，如果對任意正規(guī)子群N?G，均有χN=eθ，其 中e為 正 整 數(shù) 且θ∈Irr(N)，稱χ∈Irr(G)是擬本原的，稱e為χ關(guān)于正規(guī)子群N的分歧指數(shù)，記為eN(χ)。特征標(biāo)的本原性和擬本原性是從兩個不同的方向（誘導(dǎo)和限制）定義的，直觀上看似毫無關(guān)聯(lián)，但實(shí)際上二者卻有緊密的聯(lián)系。通過Clifford對應(yīng)觀察得，本原特征標(biāo)定是擬本原的。但反之不成立，顯然非交換單群的不可約特征標(biāo)均擬本原，但一般不都是本原的，例如交錯群A7。事實(shí)上，不可約特征標(biāo)均為本原的群，其結(jié)構(gòu)已經(jīng)被Hekster[9]給出了描述。著名的Berger定理斷言可解群的擬本原特征標(biāo)均為本原特征標(biāo)，這是可解群表示理論中很重要的結(jié)果，具有廣泛的應(yīng)用。但證明非常艱難，需要借助深刻的射影表示等技術(shù)。近年來擬本原特征標(biāo)的研究取得了很多進(jìn)展，例如，關(guān)于Hall子群上擬本原特征標(biāo)的擴(kuò)張問題[10]，關(guān)于擬本原特征標(biāo)的零點(diǎn)問題[11]，關(guān)于擬本原特征標(biāo)的置換公式問題[12]，以及關(guān)于擬本原特征標(biāo)的分解問題[13]。

然而，目前特征標(biāo)理論中的許多重大猜想，如McKay猜想和Alperin權(quán)猜想，在約化為驗(yàn)證單群的證明中，需要不斷地“消除”正規(guī)子群，通常采用的技術(shù)是把所研究的問題“放置”在一個正規(guī)子群的上方，通過對該正規(guī)子群的指數(shù)做歸納，最終歸結(jié)為擬單群的環(huán)境。因此，研究Berger定理的相對版本，即考查某個正規(guī)子群上方的不可約特征標(biāo)的相對本原性和相對擬本原性，是有意義的問題，可為攻克重要的特征標(biāo)問題提供有力的證明技術(shù)。特別地，本文提出的關(guān)于一個給定正規(guī)子群的相對本原特征標(biāo)和相對擬本原特征標(biāo)，均在特征標(biāo)三元組的同構(gòu)對應(yīng)下保持不變，這在應(yīng)用時(shí)非常方便。

下面我們給出特征標(biāo)的相對本原性和相對擬本原性的概念。

定義1設(shè)G為任意群，χ∈Irr(G)且L?G。

（1）稱χ是關(guān)于L的相對擬本原特征標(biāo)，簡稱為L-擬本原的，如果對任意的中間正規(guī)子群L≤N?G，均有χN是齊次的。

（2）稱χ是關(guān)于L的相對本原特征標(biāo)，簡稱為L-本原的，如果不存在中間的真子群L≤H

取L=1即得到通常的擬本原特征標(biāo)和本原特征標(biāo)的概念。同樣應(yīng)用Clifford對應(yīng)可知，L-本原的特征標(biāo)定是L-擬本原的（證明見本文引理7）。但反之并不成立，那么在何時(shí)成立呢？下述結(jié)果給出了回答。特別地，取L=1時(shí)得到的結(jié)論，還是Berger定理的一個加強(qiáng)，并且減弱了原先的可解群條件。

定理1設(shè)G是任意群，L?G，且χ∈Irr(G)為L-擬本原的。如果G/L為p-可解群，對每個素?cái)?shù)p|eL(χ)，則χ也是L-本原的。

本文也研究了Berger定理的π-版本，可類似地引入π-部分特征標(biāo)的相對本原和相對擬本原的概念，具體內(nèi)容可見第2節(jié)。

定理2設(shè)G為π-可分群，L?G，且φ∈Iπ(G)為L-擬本原。如果G/L為p-可解群，對每個素?cái)?shù)p|eL(φ)，則φ也是L-本原的。

取π為某個素?cái)?shù)的余集，可得到下述Brauer特征標(biāo)的相應(yīng)結(jié)論，關(guān)于該類特征標(biāo)所涉及的概念和性質(zhì)具體可參見[14]。

推論1設(shè)G為p-可解群，其中p為任意素?cái)?shù)，L?G，且φ∈IBr(G)為L-擬本原。如果G/L為q-可解群，對每個素?cái)?shù)q|eL(φ)，則φ也是L-本原的。

1 預(yù)備知識

在證明本文主要結(jié)果時(shí)，需要用到下述基本結(jié)論，即文獻(xiàn)[15]中推論4.2。

本文主要借助Isaacs的π-理論中所給出的π-部分特征標(biāo)[16]，通過對集合π的適當(dāng)選取，π-部分特征標(biāo)可對應(yīng)到復(fù)特征標(biāo)和Brauer特征標(biāo)，從而達(dá)到如此兩種經(jīng)典特征標(biāo)的統(tǒng)一。

Iπ-特征標(biāo)的Clifford定理和Clifford對應(yīng)如下，即文獻(xiàn)[16]中推論5.7和定理5.11。

引理3設(shè)G是π-可分群，φ∈Iπ(G)。如果N?G，則φ在N上的不可約分解為

其中e為正整數(shù)，θi∈Iπ(N)兩兩不同，構(gòu)成一個G-共軛軌道，并且et整除 |G：N|。進(jìn)而，如果|G：N|為π'-數(shù)，則e=1。

引理4設(shè)G是π-可分群，N?G且θ∈Iπ(N)。令T=Gθ為θ在G中的慣性群，則通過特征標(biāo)的誘導(dǎo)在如下兩個集合之間可定義一個雙射

特 別 地 ，如 果φ∈Iπ(G|θ)，則 存 在 唯 一 的μ∈Iπ(T|θ)，使得μ既在θ上方又在φ的下方。

假設(shè)φ=χ0∈Iπ(G)，其中χ∈Irr(G)，不可約復(fù)特征標(biāo)χ就稱為Iπ-特征標(biāo)φ的一個提升。顯然，對應(yīng)同一個φ∈Iπ(G)，它的提升可以有很多。如何挑選“好”的提升，即具有某種穩(wěn)定性的提升，這是一個特別值得深入探討的課題。目前Isaacs 給出了Iπ(G)的一種典范的Bπ-提升，即群G中一類特殊的不可約復(fù)特征標(biāo)集合Bπ(G)通過π-限制χ?χ0給出了集合Bπ(G)和Iπ(G)之間的一個一一對應(yīng)。在2∈π時(shí)，使用關(guān)于群G和素?cái)?shù)集合π的一個特定的域自同構(gòu)得到如下識別Bπ-特征標(biāo)的辦法，即[16]中定理5.2。

引理5設(shè)G為π-可分群，2∈π，并且τ為關(guān)于G和π的域自同構(gòu)。如果χ∈Irr(G)，則χ∈Bπ(G)當(dāng)且僅當(dāng)χτ=χ且χ0∈Iπ(G)。

但當(dāng)2?π時(shí)，上述關(guān)于域自同構(gòu)的技術(shù)失效，不能識別出Bπ-特征標(biāo)。為了克服這個技術(shù)難題，Dade提出了Iπ-特征標(biāo)一種新的自然的提升。在[17]和[18]中，Isaacs正式命名該種典范提升為Dπ-提升，也就是說通過映射χ?χ0在集合Dπ(G)和Iπ(G)之間構(gòu)造了一個一一對應(yīng)。對任意子群H≤G和θ∈Irr(H)，定義θ到G的π-誘 導(dǎo)θπG=(δ(G，H)θ)G，其 中δ(G，H)為π-標(biāo)準(zhǔn)符號特征標(biāo)。注意到G0中元素均為奇數(shù)階，容易驗(yàn)證 (δ(G，H))0=1。

下面是Dade給出的關(guān)于Dπ-特征標(biāo)的深刻結(jié)果，見[18]中定理E。

引理6設(shè)G為π-可分群且2?π，如果H≤G，θ∈Irr(H)和χ∈Irr(G)，使 得θπG=χ，那 么θ∈Dπ(H)當(dāng)且僅當(dāng)χ∈Dπ(G)。

2 主要結(jié)果及其證明

先證明相對本原性蘊(yùn)含著相對擬本原性，然后再討論逆命題何時(shí)也成立。為了統(tǒng)一表述復(fù)特征標(biāo)和Brauer特征標(biāo)中的相對本原性和相對擬本原性，我們考慮該問題的π-部分特征標(biāo)版本，下述為相關(guān)定義（取L=1得到π-部分特征標(biāo)的本原和擬本原的概念）。

定 義 2設(shè)G為π-可 分 群 ，φ∈Iπ(G)且L?G。

（1）稱φ是關(guān)于L的相對擬本原特征標(biāo)，簡稱為L-擬本原的，如果對任意的中間正規(guī)子群L≤N?G，均有φN是齊次的。

（2）稱φ是關(guān)于L的相對本原特征標(biāo)，簡稱為L-本原的，如果不存在中間的真子群L≤H

使用Iπ-特征標(biāo)的Clifford對應(yīng)（即引理4）不難證明。

引理 7設(shè)G為π-可 分 群 ，φ∈Iπ(G)且L?G。如果φ是L-本原的，則φ也是L-擬本原的。

證明任取L≤N?G，根據(jù)引理3，可令φ在N上的不可約分解為

其中e為正整數(shù)，t=|G：Gθ1|。通過Iπ-特征標(biāo)的Clifford對應(yīng)知，存在μ∈Iπ(Gθ1)使得φ=μG。因?yàn)棣帐荓-本原的，所以Gθ1=G，從而t=1。因此φN=eθ1，表明φ是L-擬本原的。

因?yàn)镮π-特征標(biāo)的本原性和擬本原性，通常需要通過提升為復(fù)特征標(biāo)來研究，所以下面我們先考慮一個相對擬本原的復(fù)特征標(biāo)何時(shí)也是相對本原的。因?yàn)镚的每個非本原特征標(biāo)χ∈Irr(G)均可從極大子群誘導(dǎo)，所以在考察其擬本原性時(shí)，下述結(jié)論是很基本的，其意義在于明確指出了兩個正規(guī)子群L和M，使得χ在其上的限制χL和χM，至少有一個是非齊次的。也就是說，在特征標(biāo)限制不可約的條件下，非本原特征標(biāo)一定是非擬本原的，所得結(jié)論是[2]中定理11.34的一個加強(qiáng)。

引理8設(shè)G為p-可解群，p為任意一個素?cái)?shù)，H為G的極大子群且|G：H|為p的冪。假設(shè)χ∈Irr(G)和ξ∈Irr(H)，滿 足χ=ξG。 如 果ξL∈Irr(L)，其中L=CoreG(H)，則下述結(jié)論至少有一個成立：

（1）χL是非齊次的。

（2）χM是非齊次的，其中K/L，M/K均為G的主因子。

證明如果H?G，則L=H。根據(jù)ξG=χ∈Irr(G)知，ξ在G中的慣性群Gξ=L，從而χL非齊次，此時(shí)結(jié)論（1）成立。

不妨設(shè)H?G，顯然L

此時(shí)，不難看出CG(K/L)≥K，事實(shí)上CG(K/L)=K。這是因?yàn)椋河^察可知

[CG(K/L)∩H，K]≤L≤CG(K/L)∩H，表明K正規(guī)化CG(K/L)∩H，同時(shí)CG(K/L)∩H?H，所 以CG(K/L)∩H?HK=G。如果CG(K/L)>K，那么CG(K/L)∩H>L產(chǎn)生矛盾，故CG(K/L)=K。

由L

記φ=ξL∈Irr(L)，假設(shè)（1）和（2）均不成立，那么φ是χL的唯一不可約分量?？闪瞀恰蔍rr(M)是χM的唯一不可約分量。再令J=M∩H，并且δ=ξJ，選取θ∈Irr(K)為η在K上的一個不可約分量，如圖1所示。

圖1 特征標(biāo)位置關(guān)系Fig.1 Position relations of characters

因?yàn)棣?1)=φ(1)整除θ(1)，而η(1)整除χ(1)，故從

推出η(1)/θ(1)整除 |G：H|，從而也是p的冪，但η(1)/θ(1) 顯然整除p'- 數(shù)|M：K|，只有η(1)/θ(1)=1，即ηK=θ。

上述表明θ是χ在K上的唯一不可約分量，則Gθ=G。根據(jù)下降定理可知θ與φ關(guān)于K/L出現(xiàn)下述三種情形之一：θL=φ，φK=θ或者完全分歧。如果θL=φ，根據(jù)引理1可知，χH=ξ，與ξG=χ矛盾。如果φK=θ，則Kφ=L與Gφ=G矛盾。因此θ與φ關(guān)于K/L是完全分歧的。

注意到δM=(ξJ)M=(ξG)M=χM=eη為齊次誘導(dǎo)，其中e為正整數(shù)，計(jì)算次數(shù)可知

觀察可得

故上述不等式全取等號。根據(jù)[2，引理2.29]得，第一個不等式取等號當(dāng)且僅當(dāng)η(M?J)=0。同理，對每個g∈G均有η(M?Jg)=0。根據(jù)M/K是G-主因子，不難驗(yàn)證，從而η(M?L)=0，更有η(M?K)=0。此時(shí)我們有 1=[θ，θ]=[ηK，ηK]=|M：K|，矛盾。

有了上述準(zhǔn)備，我們可證明本文定理1。

借助定理1，可證明本文定理2。