高斯白噪聲下非對稱單穩(wěn)態(tài)能量采集系統(tǒng)的隨機(jī)響應(yīng)分析

劉迪，胡美

（山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山西 太原 030006）

0 引言

由于壓電振動能量采集裝置可將周圍環(huán)境中廢棄的動能轉(zhuǎn)化為電能，因此其動力學(xué)行為吸引了越來越多的關(guān)注。研究發(fā)現(xiàn)，相對于線性系統(tǒng)這種僅適用于窄頻的固有頻率，非線性系統(tǒng)能有效地提高固有頻率，進(jìn)而表現(xiàn)出更好的能量采集效果[1]，其非線性動力學(xué)響應(yīng)分析成了研究熱點(diǎn)。

非線性系統(tǒng)由于參數(shù)不同，可表現(xiàn)出單穩(wěn)、雙穩(wěn)等豐富的動力學(xué)現(xiàn)象?；谶@些現(xiàn)象，國內(nèi)外研究者發(fā)展了不同的能量采集模型，并分析其動力學(xué)行為。Stanton等[2]分析了雙穩(wěn)態(tài)非線性振子的動力學(xué)響應(yīng)。Abdelkefi等[3]討論了直接諧和激勵下非線性壓電耦合對能量采集性能的影響。趙健等[4]用多尺度法研究了非線性微幅受迫磁性能量采集器的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，并用Runge-Kutta法驗證了方法的有效性。李海濤等[5]用Melnikov方法分析了雙穩(wěn)態(tài)壓電能量系統(tǒng)的分岔和混沌等非線性行為，為弱非線性雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的參數(shù)設(shè)計提供了指導(dǎo)。Xu等[6]使用標(biāo)準(zhǔn)隨機(jī)平均法研究了雙穩(wěn)態(tài)能量采集系統(tǒng)的隨機(jī)響應(yīng)。

大量關(guān)于非線性壓電能量采集的研究都是針對系統(tǒng)具有對稱勢能函數(shù)的情況。而在實(shí)際的操作中，由于裝置的制作誤差及工作環(huán)境的改變都會導(dǎo)致其系統(tǒng)勢能函數(shù)非中心對稱，進(jìn)而使動力學(xué)行為發(fā)生本質(zhì)改變。Wang等[7]用細(xì)致平衡法研究了非對稱多穩(wěn)態(tài)能量采集器的隨機(jī)響應(yīng)。Daqaq等[8]利用統(tǒng)計線性化和有限元法發(fā)現(xiàn)了非對稱單穩(wěn)態(tài)和雙穩(wěn)態(tài)能量采集系統(tǒng)在白噪聲作用下其平均輸出功率呈現(xiàn)出相反的表現(xiàn)。Zhou等[9]用諧波平衡法和Jacobi矩陣對非對稱三穩(wěn)態(tài)能量采集器進(jìn)行了動力學(xué)分析。

然而，目前針對具有非對稱勢能函數(shù)的能量采集系統(tǒng)的研究大多是基于數(shù)值模擬方法[10-14]，無法從本質(zhì)上揭示非對稱能量采集系統(tǒng)的各個物理量對系統(tǒng)的動力學(xué)行為的影響。而基于平均原則[15]的隨機(jī)平均法由于能解析地獲得非線性隨機(jī)系統(tǒng)的響應(yīng)受到了廣泛關(guān)注，最近這種方法被進(jìn)一步發(fā)展并應(yīng)用到具有對稱勢能函數(shù)的壓電能量采集系統(tǒng)的研究上[16-17]。因此本文針對三次非線性壓電能量采集系統(tǒng)，基于坐標(biāo)變換的擬保守隨機(jī)平均法，建立了隨機(jī)激勵下的具有非對稱單穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的FPK方程，并求解其相應(yīng)的穩(wěn)態(tài)概率密度，進(jìn)而得到均方電壓和平均輸出功率的表達(dá)式。通過直接Monte Carlo模擬驗證了本文提出方法的有效性，隨后進(jìn)一步研究了非對稱單穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)在高斯白噪聲激勵下的穩(wěn)態(tài)隨機(jī)響應(yīng)。

1 非對稱單穩(wěn)態(tài)能量采集系統(tǒng)

考慮高斯白噪聲下的非對稱單穩(wěn)態(tài)能量采集系統(tǒng)

其中δ(τ)是一個狄拉克函數(shù)；τ是相關(guān)時間。系統(tǒng)（1）的勢能函數(shù)為U(X)=1 2X2+1 3αX3+1 4βX4，由圖1可知α的增加將導(dǎo)致勢能函數(shù)U(X)的不對稱程度的增加。

圖1 β=1時α對勢能函數(shù)的形狀和對稱度的影響Fig.1 Influence ofαon the shape and symmetry of the potential function forβ=1

2 等效非對稱單穩(wěn)態(tài)能量采集系統(tǒng)

圖2 （a）最小位移AH1；（b）最大位移AH2Fig.2 (a)Minimum displacementAH1;(b)Maximum displacementAH2

3 擬保守隨機(jī)平均法

4 數(shù)值結(jié)果和隨機(jī)分析

為了驗證第3節(jié)給出的基于坐標(biāo)變換的擬保守隨機(jī)平均法的有效性，以及分析系統(tǒng)各個物理量變化對均方輸出電壓的影響程度，給定系統(tǒng)參數(shù)c=0.02，α=1.5，β=1，κ=0.5，λ=0.1 和噪聲強(qiáng)度S0=0.01。系統(tǒng)位移和速度的聯(lián)合概率密度函數(shù)如圖3所示，圖3（a）是通過擬保守隨機(jī)平均法得到的結(jié)果，此結(jié)果與直接Monte Carlo數(shù)值模擬的結(jié)果相一致（見圖3（b）），這證明了基于坐標(biāo)變換的擬保守隨機(jī)平均法的有效性。圖4給出了位移和速度的邊際概率密度函數(shù)圖像，其中線條表示由本文所提出方法獲得的解析結(jié)果，星號為Monte Carlo數(shù)值模擬的結(jié)果，通過對比可以看出兩個結(jié)果相吻合，這再次表明了本文所提出的擬保守隨機(jī)平均法可以用于研究非對稱單穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的隨機(jī)響應(yīng)問題。

圖3 位移和速度的聯(lián)合概率密度函數(shù)p(X，X?)。（a）解析結(jié)果；（b）Monte Carlo結(jié)果Fig.3 Joint PDF of the displacement and velocityp(X,X?).(a)analytical result;(b)MC result

圖4 （a）位移X的邊際概率密度函數(shù)p(X)；（b）速度X?的邊際概率密度函數(shù)p(X?)Fig.4 (a)The marginal PDFp(X)of the displacementX;(b)The marginal PDFp(X?)of the velocityX?

圖5和圖6給出了不同物理量對均方電壓的影響，并通過Monte Carlo模擬驗證了解析結(jié)果，圖中線條表示解析結(jié)果，圓圈表示Monte Carlo數(shù)值模擬的結(jié)果。其中，圖5為噪聲強(qiáng)度S0、阻尼系數(shù)c、非對稱度α和三次非線性系數(shù)β對均方電壓的影響，可以發(fā)現(xiàn)噪聲強(qiáng)度S0和非對稱度α的增加均會引起均方輸出電壓的增加。但是，隨著阻尼系數(shù)c和三次非線性系數(shù)β的增加，均方電壓會迅速的減少。通過平均輸出功率和均方輸出電壓的線性關(guān)系可以得到，非對稱度和噪聲強(qiáng)度有利于提高非對稱單穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)收集能量的效率，而阻尼系數(shù)和三次非線性系數(shù)對系統(tǒng)的能量收集性能會起到阻礙作用。圖6為參數(shù)λ和機(jī)電耦合系數(shù)κ對均方電壓的影響，可以發(fā)現(xiàn)參數(shù)λ和耦合系數(shù)κ的增加都會導(dǎo)致均方電壓的減少。

圖5 （a）噪聲強(qiáng)度S0對均方電壓E[V2]的影響；（b）阻尼系數(shù)c對均方電壓E[V2]的影響；（c）非對稱度α對均方電壓E[V2]的影響；（d）三次非線性系數(shù)β對均方電壓E[V2]的影響Fig.5 (a)Dependence of the MSOVE[V2]on the excitation intensityS0;(b)dependence of the MSOVE[V2]on the damping coefficientc;(c)dependence of the MSOVE[V2]on the asymmetry degreeα;(d)dependence of the MSOVE[V2]on the cubic nonlinearity coefficientβ

圖6 （a）參數(shù)λ對均方電壓E[V2]的影響；（b）機(jī)電耦合系數(shù)κ對均方電壓E[V2]的影響Fig.6 (a)Dependence of MSOVE[V2]on the parameterλ;(b)dependence of MSOVE[V2]on the electromechanical coupling coefficientκ

5 結(jié)論

本文的目的是研究高斯白噪聲下非對稱單穩(wěn)態(tài)能量采集系統(tǒng)的隨機(jī)響應(yīng)。首先，通過引入坐標(biāo)變換，應(yīng)用擬保守隨機(jī)平均法得到了關(guān)于總能量的It?隨機(jī)微分方程，并在Markov近似下得到其相應(yīng)的FPK方程。接著，通過求解FPK方程獲得了其穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)的解析表達(dá)式，進(jìn)而獲得系統(tǒng)的均方輸出電壓和平均輸出功率。然后，利用一個實(shí)例驗證了該研究方法的有效性。通過對比分析在不同的噪聲強(qiáng)度以及非對稱度下系統(tǒng)的均方輸出電壓，發(fā)現(xiàn)噪聲強(qiáng)度及非對稱度的增加都可以導(dǎo)致均方電壓的增加，提高系統(tǒng)的能量采集效率。然而，在對不同的阻尼系數(shù)以及三次非線性系數(shù)下系統(tǒng)的均方輸出電壓進(jìn)行對比分析，發(fā)現(xiàn)這兩個物理量的增加會引發(fā)均方電壓的減少，對能量采集效率起到抑制作用。最后，采用Monte Carlo方法進(jìn)一步數(shù)值驗證了上述分析結(jié)果的準(zhǔn)確性。相關(guān)研究結(jié)果不僅為單穩(wěn)態(tài)能量采集系統(tǒng)的設(shè)計及應(yīng)用提供了一定的理論指導(dǎo)，并為后續(xù)非對稱雙穩(wěn)態(tài)能量采集系統(tǒng)的研究方法提供了思路。