色玻璃凝聚理論中跑動(dòng)耦合常數(shù)效應(yīng)研究

向文昌， 王夢(mèng)亮*， 蔡燕兵， 周代翠

(1.貴州財(cái)經(jīng)大學(xué)金融物理重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 貴陽 550025； 2.華中師范大學(xué)粒子物理研究所， 武漢 430079)

色玻璃凝聚(Color Glass Condensate，CGC)有效理論通常被認(rèn)為是描述高溫高密QCD環(huán)境中強(qiáng)相互作用的最佳理論之一.領(lǐng)頭階(Leading Order，LO)CGC理論最早起源于20世紀(jì)90年代后期，主要是推導(dǎo)了描述膠子飽和物質(zhì)非線性演化的Balitsky-JIMWLK方程[1-5].Balitsky-JIMWLK方程是一個(gè)無窮級(jí)聯(lián)方程，無法直接用于唯象研究.在平均場(chǎng)近似下，Balitsky-JIMWLK方程將簡(jiǎn)化為一個(gè)閉合的演化方程，即Balitsky-Kovchegov(BK)方程[1，6].BK方程只對(duì)所有領(lǐng)頭對(duì)數(shù)項(xiàng)～αsln(1/xBj)進(jìn)行重求和，因此屬于LO方程，其精度不高，這里αs和xBj分別表示跑動(dòng)耦合常數(shù)和Bjorken變量.該方程能直接用于唯象研究，如描述HERA能區(qū)質(zhì)子結(jié)構(gòu)函數(shù)[7]、RHIC能區(qū)氘-金碰撞中帶電粒子的橫動(dòng)量分布[8]、LHC能區(qū)質(zhì)子-鉛碰撞和鉛-鉛碰撞中末態(tài)粒子的多重?cái)?shù)分布[9]等.然而，大量的研究表明LO CGC理論只能定性的描述實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，究其原因發(fā)現(xiàn)LO BK方程給出的偶極子散射振幅隨快度的演化速度過快，導(dǎo)致理論計(jì)算結(jié)果普遍大于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù).

近十幾年來，大量的研究致力于推廣LO CGC理論到次領(lǐng)頭階水平.一方面是由于LO CGC機(jī)制描述的實(shí)驗(yàn)觀測(cè)量也能采用DGLAP演化機(jī)制描述，如HERA能區(qū)電子-質(zhì)子深度非彈性散射(DIS)中幾何標(biāo)度效應(yīng)[10-11].高能核物理學(xué)家們還無法甄別到底是CGC機(jī)制還是DGLAP機(jī)制主導(dǎo)高能強(qiáng)子碰撞初期形成的部分子系統(tǒng)的演化，因此CGC有效場(chǎng)理論還沒有被高能核物理學(xué)家廣泛接受.另一方面是由于LO CGC理論精度水平還有待提高，低精度的LO CGC還無法對(duì)DIS中單舉約化截面以及相對(duì)論重離子碰撞中帶電粒子多重?cái)?shù)分布給出定量的描述，通常需要乘上一個(gè)常數(shù)因子才能解釋相關(guān)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù).以上兩點(diǎn)主要原因極大的推動(dòng)了CGC理論向次領(lǐng)頭階(Next-to-Leading Order，NLO)發(fā)展.

在NLO-CGC理論發(fā)展方面，最初由Balitsky研究組[12]和Kovchegov-Weigert研究組[13]采用不同的重整化方案考慮夸克圈對(duì)膠子傳播子的修正貢獻(xiàn)，對(duì)所有階αsNf進(jìn)行重求和，分別推導(dǎo)并獲得了兩種版本的跑動(dòng)耦合常數(shù)效應(yīng)修正的Balitsky-Kovchegov演化方程(rcBK).值得注意的是這兩個(gè)rcBK方程具有相同的形式，但是演化核不同.rcBK方程的數(shù)值解顯示其給出的偶極子散射振幅隨快度的演化遠(yuǎn)小于LOBK方程給出的結(jié)果，由此表明次領(lǐng)頭階的跑動(dòng)耦合常數(shù)效應(yīng)極大的壓低了CGC物質(zhì)的演化速度.當(dāng)Albacete等人把rcBK方程用于描述HERA實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)時(shí)發(fā)現(xiàn)，在一定的誤差范圍內(nèi)rcBK方程能較好的給出定量的描述，而且不再需要乘上一個(gè)常數(shù)因子[14].此外，研究組在飽和區(qū)域解析地求解了rcBK方程，研究發(fā)現(xiàn)在飽和區(qū)域中Balitsky演化核和Kovchegov-Weigert演化核具有相同的表達(dá)形式，由此表明CGC演化方程在飽和區(qū)域中獨(dú)立于重整化方案[15].同時(shí)，還獲得了偶極子散射振幅的解析表達(dá)式，并發(fā)現(xiàn)散射振幅對(duì)快度的依賴從LO下的平方依賴變成了跑動(dòng)耦合常數(shù)下的線性依賴，表明了跑動(dòng)耦合常數(shù)效應(yīng)對(duì)CGC物質(zhì)演化有較強(qiáng)的壓低作用[16].

除夸克圈修正(跑動(dòng)耦合常數(shù)效應(yīng))外，膠子圈的貢獻(xiàn)也是一種非常重要的NLO修正.在考慮了夸克和膠子圈的貢獻(xiàn)后，Balitsky和Chirilli推導(dǎo)了一個(gè)完整的NLO BK演化方程[17].膠子圈修正不僅修改了方程的演化核，而且還改變了演化方程的形式(相較于LO BK方程)，因此使得NLO BK方程極其復(fù)雜.在BK形式表示的NLO演化方程發(fā)展的同時(shí)，Kovner等推導(dǎo)了NLO JIMWLK哈密頓量，并采用該哈密頓量重新推導(dǎo)出了NLO NK方程[18-20].NLO BK方程出現(xiàn)八年后，Lappi研究組才首次利用數(shù)值方法解出了該方程，并獲得了NLO偶極子散射振幅[21].但是其研究發(fā)現(xiàn)NLO BK方程給出的散射振幅對(duì)初始條件有很強(qiáng)的依賴關(guān)系，同時(shí)散射振幅會(huì)隨碰撞能量的增加而變成負(fù)值.這些非物理的結(jié)果表明NLO BK方程極其不穩(wěn)定，究其原因主要來自于演化核中大雙對(duì)數(shù)項(xiàng)的貢獻(xiàn).為了解決以上提到的不穩(wěn)定性問題，Iancu研究組考慮到連續(xù)部分子輻射過程中，輻射膠子壽命需滿足時(shí)序限制性條件，對(duì)大雙對(duì)數(shù)項(xiàng)進(jìn)行重求和[22].同時(shí)，也考慮了單對(duì)數(shù)項(xiàng)重求和的貢獻(xiàn)，得到了一個(gè)共線改進(jìn)的Balitsky-Kovchegov演化方程(ciBK方程).ciBK方程成功地解決了NLO BK方程不穩(wěn)定的問題.Albacete課題組和Iancu研究組在3種不同的跑動(dòng)耦合常數(shù)方案下，分別采用了ciBK方程研究了HERA實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，研究結(jié)果顯示ciBK方程給出了更好的理論描述[23-24](相較于LO-BK和rcBK方程).最近，Beuf等考慮到NLO影響因子對(duì)光子波函數(shù)的修正作用，采用3種不同的偶極子散射振幅，研究了DIS約化截面，結(jié)果顯示3種散射振幅給出了同等質(zhì)量的描述效果[25].仔細(xì)分析以上3個(gè)課題組的研究結(jié)果不難發(fā)現(xiàn)，他們?cè)跀M合實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)時(shí)都把一圈QCD表示的跑動(dòng)耦合常數(shù)表達(dá)式中的常數(shù)因子exp(-γE)當(dāng)作自由擬合參數(shù)C，其中γE～0.6.然而擬合結(jié)果顯示為了使偶極子散射振幅的演化速度與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的要求相一致，C的取值跨越了非常大的范圍(0.31～8050).由此可知偶極子散射振幅對(duì)跑動(dòng)耦合常數(shù)效應(yīng)較為敏感，也反應(yīng)出跑動(dòng)耦合常數(shù)效應(yīng)的重要性.

本論文將基于LOBK方程和ciBK方程，結(jié)合HERA能區(qū)電子-質(zhì)子DIS約化截面相關(guān)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，著重研究4種不同的跑動(dòng)耦合常數(shù)方案對(duì)偶極子散射振幅的影響，即母偶極子大小、最小偶極子尺度、快速收斂和Balitsky 4種方案.在將C限定在其理論值附近變化和讓C完全自由變化兩個(gè)情況下研究跑動(dòng)耦合常數(shù)對(duì)偶極子散射振幅的影響，發(fā)現(xiàn)讓C完全自由變化時(shí)所有跑動(dòng)耦合常數(shù)方案給出了幾乎同等的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)描述效果(χ2/d.o.f～1.15).然而，當(dāng)限定C的變化范圍在其理論值附近時(shí)，母偶極子大小和最小偶極子尺度方案無法對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)給出合理的描述，究其原因是此時(shí)散射振幅隨快度的演化速度過快，而跑動(dòng)耦合常數(shù)效應(yīng)又沒有提供足夠多的壓低量來抵消過快的演化速度，從而導(dǎo)致理論計(jì)算結(jié)果大于實(shí)驗(yàn)觀測(cè)值.在限定C的變化范圍下，快速收斂和Balitsky方案給出了較好的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)描述效果，尤其是采用Balitsky方案擬合得到的C值與理論計(jì)算值非常接近，由此也間接表明了Balitsky方案可能是一種優(yōu)選方案.值得注意的是在極限運(yùn)動(dòng)學(xué)條件下Balitsky方案將簡(jiǎn)化為最小偶極子方案，即Balitsky方案包含了部分最小偶極子方案的內(nèi)容.

1 偶極子演化方程

為了引入一些基本物理量的記號(hào)，本節(jié)將首先介紹偶極子隨快度演化(或能量演化)的領(lǐng)頭階Balitsky-Kovchegov方程；然后回顧共線改進(jìn)的Balitsky-Kovchegov方程.這兩個(gè)方程將在后面的研究中用于描述HERA能區(qū)相關(guān)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù).

1.1 領(lǐng)頭階Balitsky-Kovchegov方程

在高能情況下，考慮一個(gè)由夸克—反夸克對(duì)組成的偶極子與強(qiáng)子靶發(fā)生散射(圖1).假定該散射過程滿足程函近似，即意味著夸克的橫向坐標(biāo)(x)和縱向坐標(biāo)(y)在散射過程中保持不變，該過程的散射矩陣可以用兩條Wilson線的關(guān)聯(lián)函數(shù)表示：

圖1 偶極子與靶發(fā)生相互作用的費(fèi)曼圖

(1)

這里，〈…〉Y表示在快度Y一定時(shí)對(duì)靶膠子場(chǎng)的平均，Y為偶極子與靶之間的相對(duì)快度：

(2)

式中，s和Q0分別為質(zhì)心系能量的平方和靶的典型飽和動(dòng)量.方程(1)中的U為時(shí)序Wilson線，可以表示為：

(3)

式中，A+(x-，x)為靶中的膠子場(chǎng).

在平均場(chǎng)近似下，散射矩陣Sxy(Y)隨快度的演化滿足BK方程[1，6]：

[Sxz(Y)Szy(Y)-Sxy(Y)]，

(4)

在大Nc極限下，方程(4)描述了母偶極子(x，y)隨著快度的增加劈裂成兩個(gè)子偶極子(x，z)和(z，y)的過程，演化核KLO(x，y，z)表示劈裂的幾率：

(5)

通常把方程(4)右邊的第一項(xiàng)叫做“實(shí)”項(xiàng)，它描述兩個(gè)子偶極子同時(shí)與靶發(fā)生相互作用，因此它也是非線性項(xiàng).方程(4)右邊的第二項(xiàng)通常稱為“虛”項(xiàng)，它描述母偶極子在相互作用過程中沒有被分解而是存活下來的概率.值得注意的是，在方程(4)只對(duì)領(lǐng)頭對(duì)數(shù)進(jìn)行了重求和，并假定了跑動(dòng)耦合常數(shù)不變，因此方程(4)屬于領(lǐng)頭演化方程.

利用散射矩陣和散射振幅之間的關(guān)系：

S=1-N，

(6)

把LO BK方程可以改寫成散射振幅表示：

N(r2，Y)-N(r，Y)-N(r1，Y)N(r2，Y)].

(7)

式中，r=x-y，r1=x-z，r2=z-y分別代表母偶極子和兩個(gè)子偶極子橫向尺度大小.方程(7)將便于對(duì)其求數(shù)值解.

1.2 共線改進(jìn)的Balitsky-Kovchegov方程

當(dāng)同時(shí)考慮到夸克圈和膠子圈的貢獻(xiàn)時(shí)，可以得到一個(gè)描述偶極子隨快度演化的完整NLO BK方程[17]：

[S(r1，Y)S(r2，Y)-S(r，Y)]+

[S(r1，Y)S(r3，Y)S(r′2，Y)-S(r1，Y)S(r2，Y)]+

[S(r′1，Y)S(r2，Y)-S(r1，Y)S(r2，Y)]，

(8)

其演化核：

(9)

(10)

(11)

這里采用了記號(hào)r′1=x-z′，r′2=y-z′和r3=z-z′.方程(9)中的b和μ分別代表β函數(shù)的系數(shù)和重整化標(biāo)度.由引言部分的介紹可知，NLO BK方程的解對(duì)初始條件具有很強(qiáng)的依賴性，同時(shí)該方程的解會(huì)隨著快度的增加出現(xiàn)負(fù)值，這些非物理意義的結(jié)果表明NLO BK方程不穩(wěn)定，究其原因發(fā)現(xiàn)方程的不穩(wěn)定性來自于NLO BK方程的演化核中大雙對(duì)數(shù)項(xiàng)的影響，即方程(9)中的最后一項(xiàng).為了使NLO BK方程穩(wěn)定，Iancu等人采用了一種新穎的方法對(duì)所有大雙對(duì)數(shù)項(xiàng)和單對(duì)數(shù)項(xiàng)進(jìn)行重求和，得到了一個(gè)共線改進(jìn)的演化方程(ciBK)[22，24]：

[S(r1，Y)S(r2，Y)-S(r，Y)]，

(12)

其中，共線改進(jìn)的演化核：

Kci(r，r1，r2)=KSTL×KDLA，

(13)

單橫向?qū)?shù)演化核KSTL為：

(14)

雙對(duì)數(shù)近似演化核KDLA為：

(15)

2 跑動(dòng)耦合常數(shù)

根據(jù)膠子傳播子的Schwinger-Dyson方程的研究以及格點(diǎn)QCD結(jié)果表明：在坐標(biāo)空間中，在r很大的紅外區(qū)間，跑動(dòng)耦合常數(shù)將會(huì)趨向常數(shù)αfreeze(本文取0.7)[26]；而在r很小的紫外情況下，基于強(qiáng)相互作用“漸近自由”的屬性，耦合常數(shù)趨于0.因此，采用一圈精度的跑動(dòng)耦合常數(shù)表達(dá)式：

(16)

從NLO BK方程(8)的演化核(9)中可以看出跑動(dòng)耦合常數(shù)可能會(huì)使單對(duì)數(shù)項(xiàng)變得很大，如當(dāng)r?1/μ或r?1/μ時(shí)，第一個(gè)單對(duì)數(shù)項(xiàng)就會(huì)趨于很大的值.因此，高能核物理學(xué)家們需要恰當(dāng)?shù)倪x取μ來消除這些潛在的大對(duì)數(shù)結(jié)果.通常情況下μ的選取不是唯一的，在微擾QCD中一般采用硬標(biāo)度來確定跑動(dòng)耦合常數(shù).本文將采用4種不同的方案來選取μ，盡可能使得潛在的大對(duì)數(shù)項(xiàng)被抵消掉.

1) 在最早的研究中，通常認(rèn)為QCD跑動(dòng)耦合常數(shù)是母偶極子橫向尺度大小的函數(shù)[12]，通常稱為母偶極子大小方案：

(17)

式中，rpd代表母偶極子橫向大小，pd為parent dipole的縮寫.后來的研究發(fā)現(xiàn)，雖然母偶極子大小方案避免了大對(duì)數(shù)項(xiàng)，但是該方案很難對(duì)HERA實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)給出較好的描述.

2) Balitsky和Chirilli在推導(dǎo)NLO BK方程時(shí)發(fā)現(xiàn)跑動(dòng)耦合常數(shù)應(yīng)該是最小偶極子橫向大小的函數(shù)而非母偶極子橫向大小的函數(shù)[16-17]，通常稱為最小偶極子尺度方案：

(18)

式中，rmin=min{r，r1，r2}代表最小偶極子的橫向大小.在所有的運(yùn)動(dòng)學(xué)區(qū)域中，該方案都能成功得消除大對(duì)數(shù)項(xiàng)的貢獻(xiàn).

(19)

從方程(19)可知，當(dāng)三個(gè)偶極子中的任意一個(gè)遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于其他兩個(gè)時(shí)，快速收斂方案將化簡(jiǎn)成最小偶極子尺度方案.

4)在唯象研究中，高能核物理學(xué)家們大多采用Balitsky推導(dǎo)rcBK方程的方案[24]，通常稱為Balitsky方案：

(20)

在極端運(yùn)動(dòng)學(xué)極限下，方程(20)也將化簡(jiǎn)為最小偶極子尺度方案.

3 數(shù)值結(jié)果

本節(jié)采用HERA能區(qū)電子-質(zhì)子散射中約化截面的相關(guān)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，研究不同跑動(dòng)耦合常數(shù)方案的優(yōu)缺點(diǎn).根據(jù)Mueller偶極子模型，電子將輻射出虛光子，然后虛光子與質(zhì)子發(fā)生深度非彈性散射，其截面可以表示為[27]：

(21)

(22)

(23)

(24)

采用約化截面(24)式擬合HERA實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù).為了計(jì)算(24)式，首先需要計(jì)算(21)式中的偶極子散射振幅N(r，Y).

第一節(jié)中介紹的偶極子演化方程(7)和(12)，加上第二節(jié)中跑動(dòng)耦合常數(shù)(16)，已經(jīng)具備了求解偶極子散射振幅的所有基礎(chǔ).由于偶極子演化方程是極其復(fù)雜的積分微分方程，很難從中得到解析的偶極子散射振幅.本文將采用之前研究中開發(fā)的數(shù)值算法求解方程(7)和(12)，獲取數(shù)值形式的偶極子散射振幅[28-30].本文采用GNU科學(xué)計(jì)算程序庫(GSL)中的榮格庫塔方法求解方程(7)和(12).把偶極子放在網(wǎng)格上，并把它平均分成512個(gè)離散點(diǎn).同時(shí)假定偶極子散射振幅不依賴于碰撞參數(shù)，即N=N(|r|，Y).在數(shù)值解方程過程中有部分點(diǎn)沒有落在網(wǎng)格上，將采用樣條插值的方法計(jì)算它們的值.此外，采用帶跑動(dòng)耦合常數(shù)效應(yīng)的McLerran-Venugopalan(rcMV)模型作為偶極子演化方程所需的初始條件[31]：

N(r，Y0)=

(25)

表1 ciBK情形下C2自由變化時(shí)擬合參數(shù)表

表2 ciBK情形下限定C2變化范圍時(shí)擬合參數(shù)表

為了進(jìn)一步解釋在不限定C2的變化范圍時(shí)，4種跑動(dòng)耦合常數(shù)方案均給出了對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)合理的描述，而限定C2的變化范圍時(shí)，上述4種方案中前兩種無法合理的描述實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，后兩種給出了合理的描述，采用表1和表2中的擬合參數(shù)畫出了散射振幅隨偶極子橫向大小的變化關(guān)系，見圖2.圖2(b)顯示了不限定C2變化范圍的情形，從圖可以看出在三個(gè)不同快度下(Y=0、6和12)，由4種跑動(dòng)耦合常數(shù)方案計(jì)算得到的散射振幅分別相互聚集在一起，也即在同一快度時(shí)4種散射振幅近似相等.從表面上看，4種不同的跑動(dòng)耦合常數(shù)方案應(yīng)該導(dǎo)出不同大小的散射振幅.然而，對(duì)于同一快度得到它們的大小幾乎相同.分析4種散射振幅近似相等的原因，發(fā)現(xiàn)主要來自于C2的貢獻(xiàn)，通過改變C2的值能使4種不同的跑動(dòng)耦合常數(shù)方案給出近似相等的耦合常數(shù)值.圖2的左邊給出了限定自由參數(shù)C2在其理論值周圍變化的情況，從圖可以看出對(duì)于同一快度散射振幅大致可以分成兩組，一組是快速收斂和Balitsky方案給出近似相同大小的散射振幅，另一組是母偶極子大小和最小偶極子尺度方案給出近似相同大小的散射振幅，且前面一組小于后面一組，即前面一組對(duì)散射振幅的壓低大于后一組，由此也解釋了前面一組方案給出實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)合理描述的原因.此外，研究發(fā)現(xiàn)在擬合中限定了C2的變化范圍，從而無法通過調(diào)整C2的值來使得四種耦合常數(shù)的值近似相等，所以導(dǎo)致同一快度下散射振幅不相同，進(jìn)而致使母偶極子大小和最小偶極子尺度方案無法對(duì)HERA實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)給出較好的描述.

(a) 限定C2在理論值附近變化的結(jié)果；(b) C2自由變化的結(jié)果

圖3中給出了不限定C2的變化范圍時(shí)約化截面的理論計(jì)算值與HERA實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的比較情況.這里選取了九組不同的虛度值(Q2)對(duì)應(yīng)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，從圖中可以看出對(duì)所有的Q24種跑動(dòng)耦合常數(shù)方案都給出了較好的描述.圖4給出了限定C2的變化在其理論值周圍的情況，從圖中可以看出快速收斂(紅色圓)和Balitsky(藍(lán)色三角)方案能對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行較好的描述，而母偶極子大小(綠色方框)和最小偶極子尺度(黃色三角)方案在較大Q2時(shí)無法較好的描述實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù).上述結(jié)果與表1和表2中的χ2/d.o.f完全一一對(duì)應(yīng).此外，考慮到C2的取值應(yīng)接近其理論值，由表1、表2、圖3和圖4可知Balitsky方案可能是描述HERA實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的優(yōu)選方案.

圖3 不同虛度時(shí)四種跑動(dòng)耦合常數(shù)方案下，約化截面隨x的變化(在擬合時(shí)，沒有限定自由參數(shù)C2的范圍)

圖4 不同虛度時(shí)四種跑動(dòng)耦合常數(shù)方案下，約化截面隨x變化(限定自由參數(shù)C2在其理論值附近變換C2～0-1)

為了驗(yàn)證LO情形下是否可以通過調(diào)節(jié)C2的值從達(dá)到壓低偶極子散射振幅的目的，采用LO BK方程，結(jié)合4種不同的跑動(dòng)耦合常數(shù)方案，擬合了同一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，相應(yīng)的擬合參數(shù)見表3.從表3可以看出，無論C2取什么樣的值，LO BK方程都無法對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)給出合理的描述.此外，由于母偶極子大小跑動(dòng)耦合常數(shù)方案自身精度水平不高，加上LO BK方程也只考慮到了領(lǐng)頭對(duì)數(shù)近似下的重求和貢獻(xiàn)，因此采用LO BK方程擬合實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)時(shí)無法得到合理的收斂結(jié)果.由此表明，只簡(jiǎn)單的把LO BK方程中的跑動(dòng)耦合常數(shù)當(dāng)作變量，而沒有從pQCD原理出發(fā)通過計(jì)算NLO夸克圈(跑動(dòng)耦合常數(shù)效應(yīng))的貢獻(xiàn)，是不可能從實(shí)質(zhì)上提高CGC理論的精度.

表3 LO BK情形下限定C2變化范圍時(shí)擬合參數(shù)表

4 結(jié)論

本文首先回顧了LO BK方程和ciBK方程，然后介紹了四種跑動(dòng)耦合常數(shù)方案，通過理論分析可知快速收斂和Balitsky方案在一定的極限下可以簡(jiǎn)化成最小偶極子尺度方案.由此說明快速收斂和Balitsky方案包含了部分最小偶極子方案的內(nèi)容，這可能也是在擬合HERA實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)過程的中發(fā)現(xiàn)快速收斂和Balitsky方案優(yōu)于最小偶極子尺度方案的一個(gè)重要原因.此外，在偶極子模型框架下采用ciBK方程，并結(jié)合4種跑動(dòng)耦合常數(shù)方案擬合了HERA能區(qū)光子-質(zhì)子散射中約化截面，研究了4種跑動(dòng)耦合常數(shù)方案的優(yōu)越性.結(jié)果顯示在不限定自由參數(shù)C2的取值范圍時(shí)，4種方案對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)給出了相同質(zhì)量的描述.分析其原因發(fā)現(xiàn)，對(duì)于同一快度通過調(diào)整C2的取值，可以使得4種跑動(dòng)耦合常數(shù)方案對(duì)應(yīng)的4個(gè)散射振幅具有近似相同的值.然而，當(dāng)限定自由參數(shù)C2的取值范圍在其理論值周圍時(shí)，發(fā)現(xiàn)只有快速收斂和Balitsky方案能對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行合理的描述(其他兩種方案計(jì)算出的約化截面偏離了實(shí)驗(yàn)測(cè)量值)，尤其是Balitsky方案不僅給出合理的χ2/d.o.f～1.15值，而且其給出C2～0.326的值也非常接近理論值0.3.由此可知Balitsky方案可能是描述HERA實(shí)驗(yàn)室數(shù)據(jù)優(yōu)選的跑動(dòng)耦合常數(shù)方案.為了顯示跑動(dòng)耦合常數(shù)效應(yīng)對(duì)偶極子演化方程的重要影響作用，在LO BK方程中假定跑動(dòng)耦合常數(shù)是一個(gè)變化量，從而簡(jiǎn)單且粗略的引入跑動(dòng)耦合常數(shù)效應(yīng)對(duì)偶極子散射振幅的修正.研究顯示這種方法無法提高LO BK方程對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的描述效果，可見簡(jiǎn)單的引入跑動(dòng)耦合常數(shù)修正的方法無法從實(shí)質(zhì)上提高偶極子散射振幅的精度.