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    意外的解法引起的思考

    2022-08-12 03:37:14湖北省武漢市七一中學(xué)馬仕雄
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2022年12期
    關(guān)鍵詞:過點中點平行四邊形

    湖北省武漢市七一中學(xué) 馬仕雄

    1 引言

    幾何類比探究題一般作為整個試卷的幾何壓軸題,試題設(shè)置層層遞進,逐步深入,往往以常見的幾何模型為背景探索一個基本結(jié)論,然后類比探究到較為復(fù)雜或缺失某些條件的圖形,利用解題積累的經(jīng)驗,運用或構(gòu)造數(shù)學(xué)模型解決問題.這類題考查從特殊到一般、類比思想,考查邏輯推理、幾何直觀、想象能力、創(chuàng)新精神等.在一次中考模擬測試中,學(xué)生對一道類比探究型的解法引起了筆者的思考.

    2 試題呈現(xiàn)

    (1)【特殊發(fā)現(xiàn)】如圖1,AB⊥BC于點B,CD⊥BC于點C,連接BD,過點A作AF⊥BD,交BD于點E,交BC于點F,若BF=1,BC=3,則AB·CD=;

    圖1

    (2)【類比探究】如圖2,在線段BC上存在點E,F(xiàn),連接AF,DE交于點H,若∠ABC=∠AHD=∠ECD,求證:AB·CD=BF·CE;

    圖2

    (3)【解決問題】如圖3,在等腰△ABC中,AB=AC=4,E為AB中點,D為AE中點,過點D作直線DM∥BC,在直線DM上取一點F,連接BF交CE于點H,使∠FHC=∠ABC,問:DF·BC是否為定值?若是,請求出定值;若不是,請說明理由.

    圖3

    3 試題解答

    解:(1)3;

    (3)因為AB=AC,DF∥BC,所以∠ACB=∠ABC=∠ADM=∠AMD,于是AM=AD.又因為AB=AC=4,E為AB中點,D為AE中點,所以AE=2,AM=AD=1,AC=4.因為∠FHC=∠ABC,所以∠ACB=∠FHC,即∠EBH+∠HBC=∠HBC+∠BCE,得∠EBH=∠BCE.同理可得∠ACE=∠HBC.

    解法1:如圖4,在DA的延長線上取點S,使∠S=∠ADF.由AB=AC,DM∥BC,可得:∠ADM=∠AMD=∠ABC=∠ACB=∠FMC=∠S.

    圖4

    所以SB·BE=SD·AB.

    依題意得AD=DE=1,BE=2,所以2SB=4SD,即SB=2SD.

    所以SD=BD=3,從而SB=6.

    則SF·BC=6×2=12,即DF·BC=12.

    解法2:如圖5,延長CE于點S,使ES=CE,連接BS,AS,則四邊形ASBC為平行四邊形.過點F作FT∥AB交BC于點T,則四邊形FDBT為平行四邊形,∠FHC=∠ABC,∠SBC+∠ACB=∠ABC+∠FTC=∠FHC+∠SHF=180°,所以∠SBC=∠FTB=∠SHF,所以△BSC∽△TBF,所以BS·FT=BT·BC,又BS=AB=4,BD=FT=3,所以BS·FT=DF·BC=12.

    圖5

    圖6

    圖7

    圖8

    圖9

    圖10

    4 教學(xué)思考

    4.1 強化類比思路

    顯然,解法1和解法2是命題者希望看到的方法,但在實際測試中班上48人中有35人做出了第(3)問,而用解法1和解法2的學(xué)生只有9人.這一現(xiàn)象引起了筆者的思考,為什么學(xué)生沒有按命題者設(shè)計的思路思考問題呢?題目要類比什么?怎樣用類比來探究問題?可以發(fā)現(xiàn),類比的不僅是幾何模型,還有證題方法和解題思路.解決問題的關(guān)鍵在于模型的識別,要找出待解決的問題和幾何模型的相同點與不同點,待解決的問題中有沒有此幾何模型中的基本特征,如果有,結(jié)論是什么?如果沒有,缺什么?需構(gòu)造什么?如何構(gòu)造?這就需要學(xué)生發(fā)揮想象力,展開聯(lián)想.為此在原題的基礎(chǔ)上設(shè)計了一道補償練習(xí)題訓(xùn)練學(xué)生類比探究的思路.

    圖11

    (2)如圖12,在等邊△ABC中,點E,D分別在邊AB,BC上,連接AD,CE交于點V,且AE=BD,過點D作DF∥AC交CE的延長線于點F,若BD=1,CD=3,求DF的長.

    圖12

    圖13

    圖14

    4.2 培養(yǎng)解題習(xí)慣

    在教學(xué)中應(yīng)加強學(xué)生的閱讀能力和解題意識的培養(yǎng).注重審題、閱讀習(xí)慣的培養(yǎng),解題時不要孤立地去思考問題,應(yīng)將思維過程基于基本模型識別和應(yīng)用之上,注重問題的前后關(guān)聯(lián),運用類比思想簡化解題思路.這個過程需要教師的引導(dǎo),更需要學(xué)生的領(lǐng)悟.

    對于類比探究型的幾何綜合題的教學(xué),教師要選取切合學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū),而且導(dǎo)向性明確的試題,讓學(xué)生能合理、自然地類比探究,在潛移默化中提升思維能力.Z

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