意外的解法引起的思考

湖北省武漢市七一中學(xué) 馬仕雄

1 引言

幾何類比探究題一般作為整個試卷的幾何壓軸題，試題設(shè)置層層遞進，逐步深入，往往以常見的幾何模型為背景探索一個基本結(jié)論，然后類比探究到較為復(fù)雜或缺失某些條件的圖形，利用解題積累的經(jīng)驗，運用或構(gòu)造數(shù)學(xué)模型解決問題.這類題考查從特殊到一般、類比思想，考查邏輯推理、幾何直觀、想象能力、創(chuàng)新精神等.在一次中考模擬測試中，學(xué)生對一道類比探究型的解法引起了筆者的思考.

2 試題呈現(xiàn)

(1)【特殊發(fā)現(xiàn)】如圖1，AB⊥BC于點B，CD⊥BC于點C，連接BD，過點A作AF⊥BD，交BD于點E，交BC于點F，若BF=1，BC=3，則AB·CD=；

圖1

(2)【類比探究】如圖2，在線段BC上存在點E，F(xiàn)，連接AF，DE交于點H，若∠ABC=∠AHD=∠ECD，求證：AB·CD=BF·CE；

圖2

(3)【解決問題】如圖3，在等腰△ABC中，AB=AC=4，E為AB中點，D為AE中點，過點D作直線DM∥BC，在直線DM上取一點F，連接BF交CE于點H，使∠FHC=∠ABC，問：DF·BC是否為定值？若是，請求出定值；若不是，請說明理由.

圖3

3 試題解答

解：(1)3；

(3)因為AB=AC，DF∥BC，所以∠ACB=∠ABC=∠ADM=∠AMD，于是AM=AD.又因為AB=AC=4，E為AB中點，D為AE中點，所以AE=2，AM=AD=1，AC=4.因為∠FHC=∠ABC，所以∠ACB=∠FHC，即∠EBH+∠HBC=∠HBC+∠BCE，得∠EBH=∠BCE.同理可得∠ACE=∠HBC.

解法1：如圖4，在DA的延長線上取點S，使∠S=∠ADF.由AB=AC，DM∥BC，可得：∠ADM=∠AMD=∠ABC=∠ACB=∠FMC=∠S.

圖4

所以SB·BE=SD·AB.

依題意得AD=DE=1，BE=2，所以2SB=4SD，即SB=2SD.

所以SD=BD=3，從而SB=6.

則SF·BC=6×2=12，即DF·BC=12.

解法2：如圖5，延長CE于點S，使ES=CE，連接BS，AS，則四邊形ASBC為平行四邊形.過點F作FT∥AB交BC于點T，則四邊形FDBT為平行四邊形，∠FHC=∠ABC，∠SBC+∠ACB=∠ABC+∠FTC=∠FHC+∠SHF=180°，所以∠SBC=∠FTB=∠SHF，所以△BSC∽△TBF，所以BS·FT=BT·BC，又BS=AB=4，BD=FT=3，所以BS·FT=DF·BC=12.

圖5

圖6

圖7

圖8

圖9

圖10

4 教學(xué)思考

4.1 強化類比思路

顯然，解法1和解法2是命題者希望看到的方法，但在實際測試中班上48人中有35人做出了第(3)問，而用解法1和解法2的學(xué)生只有9人.這一現(xiàn)象引起了筆者的思考，為什么學(xué)生沒有按命題者設(shè)計的思路思考問題呢？題目要類比什么？怎樣用類比來探究問題？可以發(fā)現(xiàn)，類比的不僅是幾何模型，還有證題方法和解題思路.解決問題的關(guān)鍵在于模型的識別，要找出待解決的問題和幾何模型的相同點與不同點，待解決的問題中有沒有此幾何模型中的基本特征，如果有，結(jié)論是什么？如果沒有，缺什么？需構(gòu)造什么？如何構(gòu)造？這就需要學(xué)生發(fā)揮想象力，展開聯(lián)想.為此在原題的基礎(chǔ)上設(shè)計了一道補償練習(xí)題訓(xùn)練學(xué)生類比探究的思路.

圖11

(2)如圖12，在等邊△ABC中，點E，D分別在邊AB，BC上，連接AD，CE交于點V，且AE=BD，過點D作DF∥AC交CE的延長線于點F，若BD=1，CD=3，求DF的長.

圖12

圖13

圖14

4.2 培養(yǎng)解題習(xí)慣

在教學(xué)中應(yīng)加強學(xué)生的閱讀能力和解題意識的培養(yǎng).注重審題、閱讀習(xí)慣的培養(yǎng)，解題時不要孤立地去思考問題，應(yīng)將思維過程基于基本模型識別和應(yīng)用之上,注重問題的前后關(guān)聯(lián)，運用類比思想簡化解題思路.這個過程需要教師的引導(dǎo)，更需要學(xué)生的領(lǐng)悟.

對于類比探究型的幾何綜合題的教學(xué)，教師要選取切合學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)，而且導(dǎo)向性明確的試題，讓學(xué)生能合理、自然地類比探究，在潛移默化中提升思維能力.Z