基于推理能力 探求最短路徑
——以“最短路徑問題”教學(xué)為例

湖北省武漢市將軍路中學(xué) 王 瓊

湖北省武漢市吳家山第三中學(xué) 萬建光

1 引言

最短路徑問題是八年級“軸對稱”一章章末的課題學(xué)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生探究線段的不等關(guān)系，這一內(nèi)容是初中數(shù)學(xué)教師的教學(xué)中濃墨重彩的一筆.關(guān)于最短路徑模型的應(yīng)用、拓展及變式的研究成果非常豐富，對求最值問題中點和線的各種情況的解題策略都有詳盡歸納，學(xué)生運用這些方法解題也能得心應(yīng)手.縱觀一些“最短路徑問題”的公開課，執(zhí)教者從經(jīng)典的將軍飲馬故事入手，讓學(xué)生經(jīng)歷建模、化歸、證明、應(yīng)用的學(xué)習(xí)過程，學(xué)生能夠熟練運用軸對稱解決最短路徑問題并進行遷移.課后仔細想一想，在這個過程中，執(zhí)教者往往凸顯解決問題過程中的化歸思想，而忽略了學(xué)生思維中的推理成分.在對問題進行推理的過程中只重視發(fā)展學(xué)生的演繹推理能力，而忽略合情推理能力的培養(yǎng).學(xué)生的作圖方法是通過模仿、操作和記憶來完成的，掩蓋了知識的發(fā)生、發(fā)展過程，限制了學(xué)生的推理能力發(fā)展.

當(dāng)然，人們發(fā)現(xiàn)知識的曲折過程不可能讓學(xué)生在有限的一節(jié)課時間親身體驗，但教師應(yīng)該在遵循學(xué)生認知規(guī)律的基礎(chǔ)上，精心設(shè)計教學(xué)活動，讓學(xué)生經(jīng)歷知識形成的關(guān)鍵性過程.

2 教學(xué)流程

活動1：初識路徑，建立模型.

問題1：如圖1，將軍從指揮部A地出發(fā)，到一條小河l邊飲馬，然后到河對岸的軍營B地，那么到河邊什么地方飲馬可使他走的路線全程最短？

圖1

(1)建立數(shù)學(xué)模型，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題“在直線l上找一點C，使AC+BC最短”；

(2)如何作圖：如圖2，連接AB交直線l于點C，點C即為所求；

圖2

(3)證明AC+BC最短：如圖2，運用“三角形的兩邊之和大于第三邊”或者“兩點之間線段最短”，這兩個結(jié)論實質(zhì)是一個道理；

(4)歸納圖中點和線的位置關(guān)系，并總結(jié)方法“化折為直”.

設(shè)計意圖：通過設(shè)計這個活動，讓學(xué)生運用已有的知識經(jīng)驗解決這個問題，并引導(dǎo)學(xué)生進行推理證明，將學(xué)生的直觀經(jīng)驗給出嚴謹?shù)倪壿嬜C明.同時，后面的兩個問題都可以化歸為這個模型，為學(xué)生后續(xù)推理提供依據(jù).

活動2：再識路徑，猜想證明.

問題2：如圖，牧馬人從A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地，牧馬人到河邊的什么地方飲馬，可使所走的路徑最短？

(1)觀察：幾何畫板演示，如圖3.

圖3

①在圖中拖動直線l的位置；

②拖動直線l上的點C，計算AC+BC的值.

如圖4，觀察在點C處取最小值時，直線AC和直線BC的位置關(guān)系是什么？

圖4

(2)猜想：如圖5，兩點“移”到直線l的異側(cè)得到最短路徑.

圖5

(3)嘗試作圖.

(4)如圖6，學(xué)生證明AC+BC最短.

圖6

(5)引導(dǎo)學(xué)生歸納：通過軸對稱作圖，將直線同側(cè)兩條線段化為直線異側(cè)兩條線段求得最短路徑.

設(shè)計意圖：通過幾何畫板演示，拖動直線l的位置，將問題1中的情境改變?yōu)橹本€同側(cè)兩點，與學(xué)生原有的認知產(chǎn)生沖突.繼續(xù)拖動點C在直線l上的位置，演示最短路徑時的位置，通過觀察直線AC和直線BC的位置關(guān)系，讓學(xué)生認識到，軸對稱在化歸過程中起到橋梁作用.學(xué)生通過觀察、猜想后獲得解決問題的方法，最后通過邏輯證明，讓學(xué)生深切體會到軸對稱變換的作用，即將直線同側(cè)兩點中的一點映射到另一側(cè)，而不改變路徑的總長度.

活動3：深悟方法，類比遷移.

問題3：(造橋選址問題)如圖7，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN.橋造在何處可使從A到B的路徑AMNB最短？(假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直)

圖7

圖8

(1)幾何畫板演示，觀察最短路徑AM+MN+NB時線段的位置關(guān)系和大小關(guān)系？

(2)如何轉(zhuǎn)化線段的位置構(gòu)成兩點之間線段最短基本模型？

設(shè)計意圖：類比問題2的探究過程，在拖動線段MN的過程中，找到最短路徑時的位置，觀察線段AM，MN和NB的位置關(guān)系和大小關(guān)系，學(xué)生很容易觀察到MN為定值，AM與BN平行，通過平移變換，將線段AM平移到線段A′N,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，線段MN平移到線段AA′；同理，將線段NB，平移到MB′,MN則平移到BB′.這樣，將問題3化歸為問題1的模型.雖然觀察到AM與BN平行，但在作圖過程中，應(yīng)該先將定值MN平移，構(gòu)造平行四邊形，完成線段轉(zhuǎn)化.這個過程中注意引導(dǎo)學(xué)生分清變換前后的對應(yīng)點和對應(yīng)線段，完成最后的證明.

活動4：全面梳理，反思推理.

(1)“兩點之間，線段最短”的依據(jù)是什么？

(2)我們?nèi)绾握业捷S對稱或平移的方法來轉(zhuǎn)化線段的？

(3)什么情形下用軸對稱的方法？什么情形下用平移的方法？

設(shè)計意圖：關(guān)注學(xué)生的推理活動過程，引導(dǎo)學(xué)生梳理解決最短路徑問題的知識準(zhǔn)備、方法探索、方法應(yīng)用及辨析過程，明確合情推理和演繹推理在推理過程中的作用.

3 教學(xué)分析

推理一般包括合情推理和演繹推理.在解決問題的過程中，兩種推理功能不同，相輔相成：合情推理用于探索思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論；演繹推理用于證明結(jié)論[1].國際學(xué)生評價項目(PISA2009)將推理能力分為三個水平：再現(xiàn)、聯(lián)系和反思[2].

3.1 建立模型，實現(xiàn)再現(xiàn)

建模的過程實質(zhì)上也是一個推理的過程，模型的建立為學(xué)生的推理提供“再現(xiàn)”的內(nèi)容.本節(jié)課中學(xué)生很容易運用已有知識和經(jīng)驗“兩點之間，線段最短”解決這個問題，通過這個模型解決后續(xù)問題.但是我們更應(yīng)該關(guān)注這個模型背后的數(shù)學(xué)思考.人教版初中數(shù)學(xué)教科書七年級上冊將這個結(jié)論定義為“一個基本事實”，本質(zhì)上是對這個結(jié)論的合情推理，而七年級的學(xué)生缺乏相應(yīng)的知識來證明這個結(jié)論.八年級的學(xué)生通過對三角形的知識學(xué)習(xí)過程，已具備一定的演繹推理能力，可以完成對這個結(jié)論的證明.這個模型的建立為學(xué)生后續(xù)的推理提供了依據(jù)，使學(xué)生推理過程中有能力對已有知識“再現(xiàn)”.

3.2 操作證明，辨析聯(lián)系

著名數(shù)學(xué)教育家斯滕伯格基于自身的教學(xué)實踐認為：培養(yǎng)推理能力的有效方式是將操作、實踐性思維與分析、概括性思維有機地結(jié)合起來[3].

合情推理強調(diào)動手操作、實驗探索等體驗性活動內(nèi)容.學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生應(yīng)當(dāng)有足夠的時間和空間經(jīng)歷觀察、實驗、猜測、計算、證明等活動過程.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，觀察、歸納、猜想這樣的學(xué)習(xí)方式常常被用于代數(shù)的計算法則和數(shù)式規(guī)律的探索中，幾何推理常常側(cè)重于邏輯證明.本課中，通過觀察幾何畫板演示并計算最短路徑的過程最終確定最短路徑時的位置，幫助學(xué)生積累經(jīng)驗，增強感知，發(fā)展直覺；通過觀察最短路徑時線段的位置關(guān)系獲得猜想，找到轉(zhuǎn)化線段位置的方法，讓學(xué)生感悟到知識的形成過程.

在實踐操作中探索得出的結(jié)論，需要用演繹推理的方式加以證明.教師要引導(dǎo)學(xué)生對猜想進行證明，并用語言清晰、有條理地表達自己的想法，做到言之有理，落筆有據(jù).

問題3的解決既是推理過程的重現(xiàn)，又是推理能力的提升.學(xué)生在已有解決問題2的經(jīng)驗基礎(chǔ)上，嘗試獨立進行推理，讓他們自己把握推理過程中的種種關(guān)系，從一個數(shù)學(xué)問題的解決過程中，掌握研究一類問題的方法，正是我們需要培養(yǎng)的數(shù)學(xué)思維品質(zhì).同樣通過演示操作確定思路，數(shù)學(xué)表達完成證明.此時，要引導(dǎo)學(xué)生進行辨析，避免學(xué)生再度使用軸對稱方法而誤入歧途.因此，在教學(xué)中，要重視引導(dǎo)學(xué)生對比情境之間的異同及相關(guān)模型、知識、方法之間的關(guān)聯(lián)，建立更準(zhǔn)確的“聯(lián)系”.

3.3 反思推理，形成方法

在教學(xué)中，教師應(yīng)重視引導(dǎo)學(xué)生對推理過程和推理結(jié)果兩個方面進行反思.通過思考“我們?nèi)绾握业捷S對稱或平移的方法來轉(zhuǎn)化線段”，即通過觀察、猜想探索方法，然后通過證明驗證方法的正確性，由此完成對推理過程的反思.通過思考“什么情形下用軸對稱的方法？什么情形下用平移的方法？”這個問題，總結(jié)點與線的位置關(guān)系與選取方法的聯(lián)系，對推理的結(jié)果進行反思.這個“反思”的過程，需要學(xué)生對整個推理活動進行總結(jié)和提煉，這個過程本身也是一個推理活動.

同時通過反思獲得推理的一般性方法，暴露推理過程的思維活動，為后續(xù)學(xué)習(xí)過程中的推理活動提供依據(jù).

推理能力的培養(yǎng)應(yīng)貫穿于整個數(shù)學(xué)教學(xué)過程中.在教學(xué)中，教師要充分發(fā)揮合情推理和演繹推理在思維過程中的作用，引導(dǎo)學(xué)生在推理活動過程中“大膽猜想，小心求證”，既重視學(xué)生思維結(jié)果的嚴密性，又要注重思維過程的探索性，更需要學(xué)生孜孜不倦地在嘗試中自主建構(gòu)，提升推理能力.