單元整體觀(guān)點(diǎn)下數(shù)學(xué)教學(xué)的策略與思考
——以浙教版“1.1銳角三角函數(shù)”為例

浙江省杭州市富陽(yáng)區(qū)東洲中學(xué) 陸煒平 陳建國(guó) 壽云霞

1 引言

葉圣陶是著名教育家，他曾提到：教材僅僅只是授課的依據(jù)之一，要教得好，使學(xué)生受益，是要靠教師的整體把握和靈活教學(xué).可見(jiàn)，教師對(duì)于教什么、怎么教要有一個(gè)整體的認(rèn)識(shí).章建躍博士也提出，基于全面實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)育人目標(biāo)的教學(xué)，必須強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)內(nèi)容的整體性、方法的普適性、思想的一致性、邏輯的連貫性、思維的系統(tǒng)性.數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)也在“教材編寫(xiě)”的建議中指出，要注重知識(shí)的“生長(zhǎng)點(diǎn)”與“延伸點(diǎn)”來(lái)開(kāi)展數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)，應(yīng)注重知識(shí)的結(jié)構(gòu)體系和整體脈絡(luò)來(lái)開(kāi)展每堂課的教學(xué)，要處理好局部知識(shí)與整體知識(shí)的關(guān)系，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的整體性.

由此可見(jiàn)，單元整體教學(xué)，是要求教師對(duì)知識(shí)體系與邏輯有一個(gè)整體的把握，也就是站在數(shù)學(xué)全局的“高地”上，打破學(xué)生“只見(jiàn)樹(shù)木，不見(jiàn)樹(shù)林”的狹隘思維，培育學(xué)生大單元整體意識(shí)，有利于學(xué)生核心素養(yǎng)的養(yǎng)成.

2 教學(xué)策略與思考

筆者經(jīng)過(guò)多年的教學(xué)實(shí)踐，以浙教版“1.1銳角三角函數(shù)”教學(xué)為例，提出“明確單元目標(biāo)，把握課時(shí)教學(xué)體系關(guān)聯(lián)；聚焦知識(shí)體系，分解設(shè)計(jì)課時(shí)教學(xué)目標(biāo)；創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，動(dòng)態(tài)生成數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)；倡導(dǎo)辨析探討，建構(gòu)學(xué)習(xí)框架明晰思路”四個(gè)方面的教學(xué)策略并進(jìn)行實(shí)踐思考，對(duì)單元整體觀(guān)點(diǎn)下的數(shù)學(xué)教學(xué)頗有借鑒意義.

2.1 明確單元目標(biāo)，把握課時(shí)教學(xué)體系關(guān)聯(lián)

章建躍博士認(rèn)為，加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)整體性的認(rèn)識(shí)，要明確大單元和小單元目標(biāo)，從各知識(shí)的聯(lián)系性出發(fā)把握課時(shí)教學(xué)體系，聚焦關(guān)聯(lián)開(kāi)展教學(xué)設(shè)計(jì)、進(jìn)行課堂教學(xué)[1].汪宗興還在此基礎(chǔ)上提出數(shù)學(xué)整體觀(guān)分為“文化整體觀(guān)”和“學(xué)術(shù)整體觀(guān)”兩類(lèi)[2].可見(jiàn)，數(shù)學(xué)整體教學(xué)是以知識(shí)內(nèi)在邏輯聯(lián)系為起點(diǎn)，將數(shù)學(xué)方法、思想等置于課堂教學(xué)中心，為學(xué)生提供研究數(shù)學(xué)內(nèi)容的思路，培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)探索、自主構(gòu)建知識(shí)的能力.因此，明確單元目標(biāo)，把握課時(shí)教學(xué)體系關(guān)聯(lián)顯得尤為重要.

在初中階段，課程內(nèi)容設(shè)置是均勻而分散的.初中函數(shù)是代數(shù)式、方程與不等式三大概念的集成，主要是用于研究變量之間的依賴(lài)關(guān)系，大部分學(xué)者認(rèn)為變量從屬于辯證性概念，這也就要求學(xué)生學(xué)習(xí)并理解函數(shù)需達(dá)到辯證思維水平，因此在七年級(jí)學(xué)生概念形成水平較低時(shí)，教材僅安排了有理數(shù)計(jì)算、代數(shù)式、一元一次方程、二元一次方程組、分式等內(nèi)容為后續(xù)的函數(shù)概念出現(xiàn)做好充足的準(zhǔn)備.因此，教材中單元內(nèi)的內(nèi)容之間或者單元與單元之間的內(nèi)容編排與呈現(xiàn)都具有一定的邏輯性、系統(tǒng)性、關(guān)聯(lián)性.

實(shí)踐1 “銳角三角函數(shù)”的單元體系關(guān)聯(lián).

筆者從初高中教材及相應(yīng)課程標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行研究，繪制了有關(guān)三角函數(shù)的學(xué)習(xí)路徑和體系關(guān)聯(lián)(如圖1)，發(fā)現(xiàn)初中階段只涉及銳角三角函數(shù)，內(nèi)容簡(jiǎn)單具體、知識(shí)點(diǎn)較少，由于弧度制的產(chǎn)生，高中三角函數(shù)內(nèi)容增加很多.

圖1 初高中三角函數(shù)知識(shí)體系關(guān)聯(lián)

立足初中階段對(duì)三角函數(shù)內(nèi)容的要求，結(jié)合初高中教材中的差異，筆者制訂了“1.1銳角三角函數(shù)”單元目標(biāo)：經(jīng)歷銳角三角函數(shù)概念形成過(guò)程，探索并認(rèn)識(shí)sinA，cosA，tanA內(nèi)涵，掌握30°，45°，60°的三角函數(shù)值，能夠推導(dǎo)并應(yīng)用三角函數(shù)公式，會(huì)用計(jì)算器求某銳角的三角函數(shù)值；反之亦可，能用銳角三角函數(shù)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，體會(huì)三角形邊角關(guān)系可以轉(zhuǎn)化，理解三角函數(shù)的函數(shù)本質(zhì).

思考：銳角三角函數(shù)的單元目標(biāo)設(shè)計(jì)除參照初高中課程標(biāo)準(zhǔn)外，還根據(jù)初中階段的整塊函數(shù)內(nèi)容進(jìn)行了協(xié)調(diào)、整合.筆者認(rèn)為明確單元教學(xué)目標(biāo)首先需遵循數(shù)學(xué)的科學(xué)邏輯性、數(shù)學(xué)知識(shí)的系統(tǒng)性、學(xué)生對(duì)知識(shí)整合的接受度；其次要把握住知識(shí)發(fā)展的邏輯主線(xiàn)，找到知識(shí)網(wǎng)絡(luò)中關(guān)聯(lián)問(wèn)題的核心和紐帶，將單元主體知識(shí)逐漸展現(xiàn)在過(guò)程中.

2.2 聚焦知識(shí)體系，分解設(shè)計(jì)課時(shí)教學(xué)目標(biāo)

數(shù)學(xué)大單元知識(shí)體系的前提下，數(shù)學(xué)中所有的知識(shí)點(diǎn)都是一個(gè)個(gè)小整體，各知識(shí)點(diǎn)之間相互邏輯交錯(cuò)形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，而這網(wǎng)絡(luò)圖中的每個(gè)節(jié)點(diǎn)也就是看似分散的小知識(shí)點(diǎn)，每個(gè)知識(shí)點(diǎn)的產(chǎn)生都有其所依賴(lài)的知識(shí)體系、背景和結(jié)構(gòu).因此，了解知識(shí)的前后聯(lián)系，明白相應(yīng)知識(shí)點(diǎn)在整個(gè)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)中的地位，成為教師備好一堂課的首要條件，有助于區(qū)分單元整體觀(guān)點(diǎn)下的教學(xué)側(cè)重點(diǎn).聚焦知識(shí)體系，再分解設(shè)計(jì)課時(shí)教學(xué)目標(biāo)，能幫助學(xué)生形成牢固、清晰的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu).

結(jié)合學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理，一個(gè)單元的課時(shí)不宜過(guò)長(zhǎng)、內(nèi)容不宜過(guò)多，在保證單元內(nèi)容完整性的前提下，通常需要對(duì)子單元做進(jìn)一步的劃分，如圖2中的單元整體觀(guān)點(diǎn)下的路徑圖.同樣，子單元的進(jìn)一步劃分也不能破壞單元內(nèi)容的整體性，并且要有明確的一般觀(guān)念為統(tǒng)領(lǐng).由此，教師要在單元目標(biāo)的統(tǒng)領(lǐng)下，聚焦知識(shí)體系，分解設(shè)計(jì)課時(shí)教學(xué)目標(biāo)，提煉出每一課時(shí)相應(yīng)的數(shù)學(xué)核心知識(shí)，并圍繞課時(shí)設(shè)計(jì)課堂活動(dòng).

圖2 單元設(shè)計(jì)路徑示意圖

實(shí)踐2 分解“銳角三角函數(shù)”的課時(shí)目標(biāo).

相比于之前所學(xué)習(xí)的一次函數(shù)、二次函數(shù)等基礎(chǔ)函數(shù)，銳角三角函數(shù)比較特殊，它的變量是角度而不是具體的某一個(gè)值，函數(shù)表達(dá)式更不是簡(jiǎn)單的有關(guān)y和x的關(guān)系式，而是新引進(jìn)了sinA，cosA，tanA標(biāo)記符號(hào)，使得學(xué)生在學(xué)習(xí)三角函數(shù)時(shí)，并不能很好地將其與前面幾塊函數(shù)內(nèi)容相聯(lián)系.另外，在平常的教學(xué)過(guò)程中，很多老師可能會(huì)忽視其函數(shù)的本質(zhì)，讓學(xué)生熟記正弦、余弦、正切名稱(chēng)及對(duì)應(yīng)概念，知道怎么求就好了，甚至未將其納入函數(shù)內(nèi)容.

根據(jù)以上兩點(diǎn)分析結(jié)合現(xiàn)實(shí)教學(xué)情況，分解設(shè)計(jì)課時(shí)教學(xué)目標(biāo).如本起始課的課時(shí)目標(biāo)如下：讓學(xué)生經(jīng)歷并發(fā)現(xiàn)在直角三角形中，當(dāng)銳角固定時(shí)，其對(duì)邊與鄰邊、對(duì)邊與斜邊、鄰邊與斜邊的比值都是固定的，形成銳角三角函數(shù)的概念，初步理解三角函數(shù)的本質(zhì)，sinx實(shí)質(zhì)是y=sinx，并能據(jù)此進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算應(yīng)用.

思考：為了使學(xué)生對(duì)相同知識(shí)在其不同的認(rèn)知水平分別進(jìn)行不同程度的挖掘，教材各課程內(nèi)容在不同時(shí)間段需有螺旋上升的呈現(xiàn)，教師要對(duì)課程目標(biāo)有清晰的認(rèn)識(shí)，對(duì)內(nèi)在關(guān)聯(lián)性強(qiáng)、共同特征多的知識(shí)內(nèi)容進(jìn)行整合、重組.在單元教學(xué)有了方向后，再逐步分解設(shè)計(jì)課時(shí)教學(xué)，充分發(fā)揮單元教學(xué)與課時(shí)教學(xué)的功能互補(bǔ)作用.

2.3 創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，動(dòng)態(tài)生成數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)

研究數(shù)學(xué)知識(shí)總是由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，由一般到特殊.三角函數(shù)概念是以角度為自變量，比值為因變量的基本函數(shù)，是對(duì)函數(shù)概念的一種升華.這類(lèi)函數(shù)與學(xué)生之前所學(xué)函數(shù)卻有著很大區(qū)別，三角函數(shù)沒(méi)有固定解析式，概念更加抽象，學(xué)生理解難度也相應(yīng)提升.

當(dāng)學(xué)生經(jīng)歷了直觀(guān)想象的過(guò)程后，學(xué)生對(duì)知識(shí)不再是機(jī)械記憶，而是把每一個(gè)符號(hào)意義化，從而深度理解知識(shí)的本質(zhì)屬性，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí).因此，三角函數(shù)的教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)當(dāng)緊密結(jié)合圖形，不斷在三角形的結(jié)構(gòu)中強(qiáng)調(diào)概念，而不是脫離實(shí)際，憑空背誦定義.在問(wèn)題情境的創(chuàng)設(shè)中，需選擇較為典型的圖形，通過(guò)變式，循序漸進(jìn)地“講解”知識(shí)點(diǎn)，動(dòng)態(tài)生成數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì).讓學(xué)生的深度學(xué)習(xí)發(fā)生在不知不覺(jué)之中，有利于培育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

實(shí)踐3 新授課導(dǎo)入.

問(wèn)題1：如圖3，求出下面三角形中未知的角和邊.

圖3

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)學(xué)生熟悉的特殊直角三角形引入，復(fù)習(xí)了直角三角形中特殊銳角與邊長(zhǎng)的關(guān)系，為接下來(lái)邊角關(guān)系的學(xué)習(xí)埋下了伏筆，使得直角三角形中的新舊知識(shí)連接更為自然，相較于實(shí)際問(wèn)題導(dǎo)入，學(xué)生學(xué)習(xí)更輕松.

問(wèn)題2：從上題可得，特殊直角三角形中，已知一特殊角與邊，求其他邊我們通常利用比值，請(qǐng)問(wèn)直角三角形的兩邊之比有哪些情況呢，假設(shè)右圖4的Rt△ABC中∠A固定，以此為例.

圖4

師：通過(guò)觀(guān)察，我們可以發(fā)現(xiàn)前三種與后三種有什么關(guān)系？

生：后三種邊的比分別是前三種的倒數(shù).

問(wèn)題3：請(qǐng)你利用上述概念，分別求出上圖3中∠A的正弦、余弦、正切值，并觀(guān)察其特征.

師：基于以上發(fā)現(xiàn)，如果已知角的大小固定為45°或者60°，相似變換三角形，對(duì)應(yīng)的比值會(huì)改變嗎？

追問(wèn)1：那角的大小改成30°呢，結(jié)論會(huì)改變嗎？再改為20°，10°呢？你有怎樣的猜想？

追問(wèn)2：確定一個(gè)∠A，sinA確定嗎？∠A與sinA是怎樣的關(guān)系？

設(shè)計(jì)意圖：從學(xué)生計(jì)算過(guò)邊角關(guān)系的直角三角形，體會(huì)當(dāng)銳角確定時(shí)其對(duì)應(yīng)兩邊之比確定這一結(jié)論，從特殊到一般，容易探索到問(wèn)題本質(zhì).不斷創(chuàng)設(shè)地追問(wèn)，能動(dòng)態(tài)地引導(dǎo)學(xué)生深入理解三角函數(shù)的知識(shí)本質(zhì).

思考：重新建構(gòu)教材時(shí)，在單元目標(biāo)、課時(shí)目標(biāo)的引領(lǐng)下，往往需將知識(shí)的導(dǎo)出環(huán)節(jié)分成幾個(gè)步驟，使課堂的探究步步遞進(jìn)，層層深入.站在學(xué)生的角度，將他們置于動(dòng)態(tài)的知識(shí)鏈中，使知識(shí)的推動(dòng)延伸跟隨學(xué)生的思維而動(dòng)，同時(shí)學(xué)生的思維也隨著知識(shí)的展開(kāi)不斷深化.

2.4 倡導(dǎo)辨析探討，建構(gòu)學(xué)習(xí)框架明晰思路

單元整體觀(guān)點(diǎn)下數(shù)學(xué)教學(xué)就應(yīng)該讓學(xué)生能夠構(gòu)建學(xué)習(xí)框架、明晰探索思路，這是有效發(fā)展學(xué)生思維的平臺(tái)和載體，也是尋找解決方法解決問(wèn)題的關(guān)鍵環(huán)節(jié).因此，單元整體教學(xué)在學(xué)后思考與探討上應(yīng)該給予學(xué)生足夠的空間與時(shí)間，倡導(dǎo)學(xué)生充分參與思考與辨析.

實(shí)踐4 學(xué)后探討.

探討1：今天學(xué)習(xí)的銳角三角函數(shù)，反映哪個(gè)變量與變量之間的關(guān)系？自變量與因變量分別是什么？

探討2：以前我們學(xué)習(xí)的函數(shù)有哪些？它們的一般表達(dá)式是什么？研究與學(xué)習(xí)的思路是什么？如：y=2x+1和sinx的研究框架你能用思維導(dǎo)圖的形式畫(huà)出來(lái)嗎？

探討3：為什么我們今天學(xué)習(xí)的是銳角三角函數(shù)，你覺(jué)得還有什么三角函數(shù)？

探討4：既然銳角三角函數(shù)強(qiáng)調(diào)是銳角，按照函數(shù)的一般研究思路“背景—概念—圖象與性質(zhì)—應(yīng)用”，我們會(huì)應(yīng)用在哪些方面？

探討5：由于初中階段學(xué)習(xí)與研究三種三角函數(shù)，即sinx，cosx，tanx，那么今后(比如在高中)你覺(jué)得還會(huì)研究哪些內(nèi)容？

…………

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)對(duì)比性、過(guò)程性、開(kāi)放性的學(xué)后探討，代替知識(shí)羅列般的小結(jié)，促使學(xué)生進(jìn)行有深度、有廣度、有價(jià)值的思考，初步建構(gòu)起學(xué)習(xí)框架.從而明晰研究思路，引導(dǎo)形成結(jié)構(gòu)性的知識(shí)和方法鏈，領(lǐng)悟單元整體觀(guān)點(diǎn)下的學(xué)習(xí)策略，培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)探索的能力和整體建構(gòu)知識(shí)點(diǎn)的意識(shí)[3].

思考：數(shù)學(xué)整體性單元教學(xué)的核心在于把同類(lèi)研究對(duì)象、相似的研究?jī)?nèi)容整合在一起，形成具有思想一致性的學(xué)習(xí)單元，而單元之間又形成環(huán)環(huán)相扣、邏輯連貫的“單元鏈”，旨在讓學(xué)生收獲“研究對(duì)象在變，思想方法不變，研究套路不變”的切實(shí)體驗(yàn).銳角三角函數(shù)是架構(gòu)“數(shù)”與“形”的重要工具，三角函數(shù)的“形”不僅僅指代函數(shù)圖象，更重要的是聯(lián)系了三角形特別是直角三角形中的邊角關(guān)系，是真正意義上數(shù)形結(jié)合的集中體現(xiàn).

從研究方法看，三角函數(shù)沒(méi)有一次函數(shù)那樣具有一般性和代表性，但其研究路徑與學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)同樣也可以仿照之前的函數(shù)學(xué)習(xí)展開(kāi)推進(jìn).銳角三角函數(shù)作為浙教版最后一塊函數(shù)內(nèi)容倘若未進(jìn)行完美收尾，變成一塊獨(dú)立的知識(shí)，將不利于學(xué)生形成整體的知識(shí)結(jié)構(gòu)，因此在研究方法上需要不斷向一次函數(shù)靠攏，有助于學(xué)生學(xué)習(xí)方法和經(jīng)驗(yàn)遷移.

3 結(jié)束語(yǔ)

單元整體教學(xué)的提出破除了“一課一備”“一課一學(xué)”教學(xué)模式的局面，以課標(biāo)與教材為基礎(chǔ)，從數(shù)學(xué)邏輯結(jié)構(gòu)出發(fā)，聚焦合適知識(shí)結(jié)構(gòu)，明確目標(biāo)重點(diǎn)，是備好課的先決條件.教師用系統(tǒng)、聯(lián)系的觀(guān)點(diǎn)看待課時(shí)教學(xué)，關(guān)注數(shù)學(xué)知識(shí)的整合設(shè)計(jì)，關(guān)注學(xué)生探究的完整過(guò)程，這是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有效途徑.

上述課例的開(kāi)展僅是關(guān)于初中銳角三角函數(shù)的探究，仍有許多值得深入思考的問(wèn)題，比如單元目標(biāo)確立依據(jù)需要回溯或延伸到何種程度，在前后知識(shí)的關(guān)聯(lián)教學(xué)過(guò)程中時(shí)間又當(dāng)如何把控，期待能有更多的同行積極實(shí)踐，共同探討，期待我們的孩子能學(xué)會(huì)思考、愛(ài)上數(shù)學(xué).