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    FAST 主動反射面形狀調(diào)節(jié)的數(shù)值模擬

    2022-08-12 09:13:00徐文彬王天嬌
    高師理科學刊 2022年7期
    關(guān)鍵詞:主索拋物面饋源

    徐文彬,王天嬌

    (1.信陽學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院,河南 信陽 464000;2.信陽航空職業(yè)學院 航空管理學院,河南 信陽 464000)

    中國天眼——500 m 口徑球面射電望遠鏡(Five-hundred-meter Aperture Spherical radio Telescope,簡稱FAST),是我國具有自主知識產(chǎn)權(quán)的目前世界上單口徑最大、靈敏度最高的射電望遠鏡.它的落成啟用對我國在科學前沿實現(xiàn)重大原創(chuàng)突破,加快創(chuàng)新驅(qū)動發(fā)展具有重要意義[1].

    FAST 由主動反射面、信號接收系統(tǒng)(饋源艙)以及相關(guān)的控制、測量和支承系統(tǒng)組成.其中主動反射面系統(tǒng)是由主索網(wǎng)、反射面板、下拉索、促動器及支承結(jié)構(gòu)等主要部件構(gòu)成的一個可調(diào)節(jié)球面[2].主索網(wǎng)由柔性主索按照三角網(wǎng)格方式構(gòu)成,用于支承反射面板(含背架結(jié)構(gòu)),每個三角網(wǎng)格上安裝一塊反射面板,整個索網(wǎng)固定在周邊支承結(jié)構(gòu)上.主動反射面共有主索節(jié)點2 226 個,每個主索節(jié)點連接一根下拉索,下拉索下端與固定在地表的促動器連接,實現(xiàn)對主索網(wǎng)的形態(tài)控制[3].索網(wǎng)整體結(jié)構(gòu)、反射面板、主索網(wǎng)結(jié)構(gòu)及其連接見圖1.

    圖1 索網(wǎng)整體結(jié)構(gòu)、反射面板、主索網(wǎng)結(jié)構(gòu)及其連接

    主動反射面可分為基準態(tài)和工作態(tài)2 個狀態(tài).當處于基準態(tài)時,反射面是半徑約300 m,口徑為500 m的球面(基準球面);當處于工作態(tài)時,反射面的形狀被調(diào)節(jié)為一個300 m 口徑的近似旋轉(zhuǎn)拋物面(工作拋物面)[4].FAST 在觀測時的剖面見圖2,C點是基準球面的球心,饋源艙接收平面的中心只能在與基準球面同心的一個球面(焦面)上移動,兩同心球面的半徑差為F=0.466R(其中:R為基準球面半徑,稱為焦徑比).饋源艙接收信號的有效區(qū)域為直徑1 m 的中心圓盤[5].當 FAST 觀測某個方向的天體目標S時,饋源艙接收平面的中心被移動到直線SC與焦面的交點P處,調(diào)節(jié)基準球面上的部分反射面板,形成以直線SC為對稱軸、以P為焦點的近似旋轉(zhuǎn)拋物面,從而將來自目標天體的平行電磁波反射匯聚到饋源艙的有效區(qū)域內(nèi)[6].

    圖2 FAST 剖面

    1 反射面形狀調(diào)節(jié)模型

    模型的建立思路是根據(jù)FAST 的主動反射面在基準狀態(tài)下是球面,建立球面方程,在工作狀態(tài)下,依據(jù)觀測天體的位置在FAST 的正上方及饋源艙的焦徑比等條件,建立理想拋物面;隨著觀測天體的位置發(fā)生變化,理想拋物面也會隨著發(fā)生位置的改變[7],通過極坐標變換求得新的理想拋物面頂點坐標,根據(jù)理想拋物面的形狀、大小、焦徑比不發(fā)生變化,以及球面、拋物面具有對稱性等條件,將新理想拋物面投影區(qū)域內(nèi)各主索節(jié)點的位置平移至以原點為圓心的區(qū)域內(nèi),通過球面方程確定各主索節(jié)點的空間坐標,以促動器伸縮沿基準球面徑向趨向球心方向為正向,該徑向就是通過原點和主索節(jié)點的直線方程,將直線方程與理想拋物面方程聯(lián)立,即可求得拋物面上的交點,交點與主索節(jié)點的距離就是要求的各主索節(jié)點的伸縮量[8].

    1.1 理想拋物面的建立

    在基準狀態(tài)下,反射面是半徑為300 m,口徑為500 m 的球面,在工作狀態(tài)下,反射面的形狀是一個拋物面,從遠處發(fā)射出的沿直線傳播的信號經(jīng)過反射面反射匯聚到饋源艙中,也就是說饋源艙正好在拋物面的焦點處[9].假定待觀測天體位于基準球面的正上方(見圖3),由拋物面的焦點位置P(0,-0.466R)可確定拋物面方程[10],繞z軸旋轉(zhuǎn)可得到理想拋物面方程

    圖3 拋物面的剖面

    其中:p=2F=2×0.466×R;c=2pR;R=300.拋物面方程是由二維直角坐標系中的拋物線方程x2=2pz+c繞z軸旋轉(zhuǎn)后得到的三維空間的拋物面方程,c是指z軸方向上下平移的距離.

    基準狀態(tài)下的球面方程為

    在xoz平面內(nèi),拋物線與圓在點x=±150處有2個交點,也就是說,在x?[-150,150]內(nèi)是所求的拋物線,這個區(qū)域以外,拋物線會在圓的下方,不是將要求的區(qū)域.繞z軸旋轉(zhuǎn)后形成的拋物面,在以(0,0)點為圓心,半徑為300 m 的圓內(nèi)形成所要求的拋物面(見圖4).

    圖4 各主索節(jié)點通過調(diào)節(jié)形成的理想拋物面

    1.2 反射面板調(diào)節(jié)模型的建立

    當待觀測天體S從正上方移動到其他位置時,具體方位用方位角α和仰角β來表示,天體在正上方時確定的理想拋物面,稱為初始位置的理想拋物面.

    確定新的理想拋物面頂點坐標,將主索節(jié)點坐標(0,0,-300.4)作為初始工作拋物面的頂點坐標,新的頂點坐標通過球面的參數(shù)方程得到,即

    式中:α1,β1分別為拋物面頂點坐標的初始位置與x軸,z軸的夾角;r為頂點坐標到原點的距離.

    通過計算,理想拋物面的頂點坐標為(-49.320 0,-36.889 4,-294.018 5),由于饋源艙接收平面的中心只能在基準球面同心的一個球面(焦面)上移動,兩同心球面的半徑差為F=0.466R(其中R為基準球面半徑,稱為焦徑比),拋物面的頂點位置發(fā)生變化,但拋物面的形狀、大小、焦距等不會發(fā)生變化,只是拋物面的對稱軸以原點為固定點,分別與x軸,z軸形成α,β夾角.紅色點為在基準球面上要調(diào)節(jié)為工作拋物面的主索節(jié)點(見圖5a).所以,求新的工作拋物面各主索節(jié)點的伸縮量,可以通過將這些節(jié)點的x,y坐標值分別平移49.32,36.889 4 m,至以原點為圓心,口徑相同的一個圓內(nèi)(見圖5b).

    圖5 基準球面上的主索節(jié)點形成工作拋物面的位置坐標

    以紅色點中任一點K(x0,y0)為例,平移之后的新點坐標M(x1,y1)為

    由式(2)求得M(x1,y1)在基準球面上對應(yīng)的z1值,,以點M(x1,y1,z1)與原點(0,0,0)為徑向,可確定一條直線

    該直線方程與拋物面方程(式(1))有2個交點,其中一個z值大于零,舍去,小于零的那個點為要求的z點,也就是主索節(jié)點的坐標N(x2,y2,z2),點M,N間的距離為,即為從基準球面調(diào)整為工作拋物面時該主索節(jié)點的伸縮量,同樣也是點K(x0,y0,z0)處主索節(jié)點的伸縮量(見圖6).

    圖6 新拋物面的剖面示意圖

    2 數(shù)值結(jié)果

    中國天眼的主動反射面共有主索節(jié)點 2 226 個,反射面板4 300 塊,所有主索節(jié)點的坐標和編號,促動器下端點(地錨點)坐標、基準態(tài)時上端點(頂端)的坐標,以及促動器對應(yīng)的主索節(jié)點編號等數(shù)據(jù),來源于2021 年高教社杯全國大學生數(shù)學建模競賽A 題的附件中.

    工作態(tài)時,反射面的形狀被調(diào)節(jié)為一個 300 m 口徑的近似旋轉(zhuǎn)拋物面(工作拋物面),在這個區(qū)域內(nèi)共有710 個主索節(jié)點,通過Matlab 程序計算,可求解出該區(qū)域內(nèi)所有主索節(jié)點的伸縮量.由于數(shù)據(jù)較大,這里只顯示以新工作拋物面頂點坐標為圓心,口徑為300 m 的區(qū)域內(nèi)一小部分主索節(jié)點的編號及伸縮量(見表1,已按從小到大排序).

    表1 口徑為50 m 的區(qū)域內(nèi)主索節(jié)點的編號及伸縮量 m

    最小伸縮量的節(jié)點編號為D27,最小伸縮量為0.001 073 785 m,是最接近新工作拋物面頂點坐標的主索節(jié)點,有約1 mm 的調(diào)整;最大伸縮量的節(jié)點編號為D186,伸縮量為0.694 403 584 m.中國天眼各主索節(jié)點下方促動器的徑向伸縮范圍為-0.6~+0.6 m,伸縮范圍為1.2 m.數(shù)據(jù)結(jié)果顯示,該區(qū)域內(nèi)的主索節(jié)點伸縮量均在可伸縮范圍內(nèi).

    新位置下的工作拋物面剖面圖見圖7(a 為整個區(qū)間的剖面圖,x?[-197.2831,97.812 9],b~d 為小區(qū)間的放大圖).

    圖7 不同區(qū)間新拋物面的剖面示意圖

    3 結(jié)語

    將中國天眼主動反射面的形狀調(diào)節(jié)問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學模型,就是球面上有一個拋物面,以球面的圓心為定點,拋物面的頂點在球面上運動,難點在于主動反射面是由小的反射面板組成,相當于球面上離散的點,反射面板在運動的過程中形狀、大小不發(fā)生變化,相當于離散的點之間的距離不會變.在這些條件的限制下,該模型借助Matlab 程序,能很好地計算出天體在任意方位下,理想拋物面的頂點坐標、反射面300 m口徑內(nèi)的主索節(jié)點編號、各促動器的伸縮量等數(shù)值.

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