基于變形數(shù)據(jù)的古塔數(shù)學(xué)建模

秦春影

（南昌師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，江西 南昌 330032）

古代建筑具有很強的歷史和科研價值，今天很多的研究都需要借助古代建筑作為輔助，如一些史實的驗證，古文明的發(fā)展過程和歷史等.古塔因其特殊的結(jié)構(gòu)和作用而更加寶貴，流傳至今的古塔的保護十分重要，而充分了解古塔當(dāng)前的狀態(tài)是有效保護的前提條件.流傳至今的古塔受限于當(dāng)時的科學(xué)技術(shù)和建筑手段，或多或少存在一些問題[1-4]，如塔基所在地質(zhì)的不穩(wěn)定，這種情況下的古塔想保存下來非常不容易.對古塔的損害最常見的是地基的不均勻沉降，從而導(dǎo)致塔體傾斜甚至扭曲[5-6]；還有就是人為破壞（如戰(zhàn)爭等）和自然災(zāi)害[7]所導(dǎo)致的損壞，這些不同類型的破壞對古塔本身都會造成不同程度的損害，有些損害是不可修復(fù)的，還有些損害是可以修復(fù)的，或者說可以減緩對塔的損害.近年來，古塔的修復(fù)和保護工作受到社會的廣泛關(guān)注和重視，但是古塔的修復(fù)工作是一項系統(tǒng)性的工作，本身的復(fù)雜性遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出外界的想象，修復(fù)和保護的方法不科學(xué)甚至?xí)觿」潘钠茐模涌旃潘南?本文通過對已有數(shù)據(jù)的分析，對古塔各層的缺失數(shù)據(jù)進(jìn)行合理的填補和恢復(fù)，在此基礎(chǔ)上對各層的中心進(jìn)行定位，從而判斷古塔本身隨著時間按何種趨勢發(fā)生變化，為古塔的保護和修復(fù)提供科學(xué)依據(jù).

1 古塔缺失數(shù)據(jù)的插補

古塔的層中心對于古塔的修復(fù)和積護非常重要，但是由于年代久遠(yuǎn)，導(dǎo)致造成數(shù)據(jù)缺失較為嚴(yán)重.如何在包含缺失數(shù)據(jù)的情況下確定古塔的層中心是本研究關(guān)注的核心問題，而這里面最關(guān)鍵的問題之一就是對缺失數(shù)據(jù)的填補或恢復(fù)[8-10].以某古塔為例，收集到1986 年7 月，1996 年8 月，2009 年3 月和2011 年3 月對該塔的4 次測量數(shù)據(jù)，部分測量數(shù)據(jù)見表1.該古塔一共有13 層，表1 中只是提供了1986 年和1996年的第1 層的數(shù)據(jù)，共測量了8 個點的數(shù)據(jù)，其中x，y，z分別為每個測量點的坐標(biāo)，每一年的測量數(shù)據(jù)中還包括塔尖的4 個測量點的數(shù)據(jù)，限于篇幅，其余各層的數(shù)據(jù)以及2009 年和2011 年的數(shù)據(jù)不再列出.

表1 1986 年和1996 年第1 層的觀測數(shù)據(jù)

由于所給出的數(shù)據(jù)中缺少1986 年和1996 年第13 層的第5 個測量點的數(shù)據(jù)，缺少2009 年和2011 年塔尖的第2，3，4 個測量點的數(shù)據(jù)，因此，需要對缺失的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理.

對于1986 年和1996 年第13 層第5 個測量點的缺失數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)處理的出發(fā)點是：每一層的第5 個測量點之間應(yīng)該具有某種關(guān)系，分別繪出前12 層的第5 個測量點各個坐標(biāo)的散點圖，發(fā)現(xiàn)y坐標(biāo)、z坐標(biāo)分別近似在一條直線上，因此，可以做出假設(shè)，即第13 層的第5 個測量點的y坐標(biāo)、z坐標(biāo)也應(yīng)該分別在各自的直線上.x坐標(biāo)雖然不是在一條直線上，但是也可以通過類似的方法得到.這樣就可以得到1986 年和1996 年的第13 層的缺失數(shù)據(jù)（見表2）.

表2 1986 和1996 年第13 層補充缺失后的數(shù)據(jù)

對于2009 年和2011 年塔尖的第2，3，4 測量點的缺失數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)處理的出發(fā)點是：因為塔尖相對來說是面積比較小的一塊區(qū)域，所以可以假設(shè)這塊區(qū)域的各個測量點之間的相對位置不會隨著時間的變化而變化，即各測量點之間的相對位置是固定的.通過這種思路可以得到2009 年和2011 年塔尖的缺失數(shù)據(jù)，補充的缺失數(shù)據(jù)見表3.

表3 1986 和1996 年塔尖的數(shù)據(jù)

在對缺失數(shù)據(jù)補充完整后，可以繪出該古塔的三維立體圖，1986 年該古塔的三維立體圖見圖1.

圖1 1986 年該古塔的三維立體圖

由圖1 可以看出，每一層的8 個測量數(shù)據(jù)正好可以看作是古塔的8 個頂點，該古塔的每一層都是一個八邊形.對于每層層中心的計算問題，首先，假設(shè)該古塔是由均質(zhì)的物質(zhì)建成的，這樣才可能計算出該塔各層的中心；其次，通過對數(shù)據(jù)的分析可以發(fā)現(xiàn)，每一層8 個點的z坐標(biāo)很接近，因此假設(shè)這8個點是處在同一平面上，這樣各層中心的計算問題就轉(zhuǎn)化為計算由8個點構(gòu)成的八邊形的中心問題.由于這8個點構(gòu)成的平面可能不是正八邊形，因此，不能直接運用正八邊形的中心計算方法，這里考慮采用不規(guī)則平面圖形的中心計算方法.

2 古塔層中心的計算

根據(jù)平面解析幾何相關(guān)的知識可知，如果三角形是由均勻材料做成的，那么幾何中心也就是質(zhì)量中心.它的中心坐標(biāo)是3個頂點的坐標(biāo)算術(shù)平均值.也就是說，如果頂點a，b，c的坐標(biāo)分別為（x a,ya），（x b,yb），（x c,yc），那么該三角形的幾何中心的坐標(biāo)為

根據(jù)假設(shè)，古塔是由均勻材料構(gòu)成的，因此可以使用式（1）來計算中心.

這里每一層測量了8 個點，由這8 個點構(gòu)成的八邊形可以看成是由幾個簡單基本圖形組合而成的，在計算它們的中心時，可先將其分割為幾塊基本圖形，計算機出每塊圖形的形心位置（x i,yi）與面積Ai，然后利用形心計算公式求出整體的中心位置.

不規(guī)則平面圖形的中心坐標(biāo)公式為

通過對數(shù)據(jù)的分析可以發(fā)現(xiàn)，每一層上的8 個點的坐標(biāo)按順序連接可以連成一個八邊形.以1986 年第1 層數(shù)據(jù)為例進(jìn)行說明（其它各年、各層的數(shù)據(jù)可以按類似的方法來處理）.1986 年第1 層8 個點的投影圖見圖2.

圖2 1986 年第1層8個點的投影

將這個八邊形進(jìn)行分割，分割的圖形是由6個三角形構(gòu)成，這樣，就可以按照前面介紹的方法來計算各層的中心.

圖3 分割后的1986 年第1 層8 個點的投影

分別計算出這6個三角形的中心，然后利用式（1）將這個中心進(jìn)行合成，合成得到的坐標(biāo)即為整個圖形中心的坐標(biāo).

設(shè)8個點的坐標(biāo)分別為（xi,yi）,i=1,2,…,8.先計算出6個三角形的面積，若已知3個頂點的坐標(biāo)（xa,ya）,（xb,yb）,（xc,yc），則三角形的面積計算公式為

根據(jù)式（1）（3）計算出各個三角形的中心坐標(biāo)和面積，然后利用式（2）對6個三角形的中心進(jìn)行合成得到各層的中心坐標(biāo)（x,y,z），其中各層的中心坐標(biāo)中z值取8個點z坐標(biāo)的平均值.

1986 年各層的中心和塔尖的中心坐標(biāo)見表4，其余年份的各層的中心及塔尖的中心坐標(biāo)可以使用相同的方法計算得到.

表4 1986 年各層的中心坐標(biāo)

通過這種方法，建立起相應(yīng)的數(shù)學(xué)計算公式，在適當(dāng)?shù)募僭O(shè)條件下，只要給出每層的8個測量點的坐標(biāo)，編制程序，就可以直接計算出每層的中心坐標(biāo).

在解決了確定古塔各層中心的基礎(chǔ)上，接下來就根據(jù)各層的中心及塔尖中心的偏移情況來計算整個塔身的傾斜、扭曲和彎曲等情況.假設(shè)在理想狀態(tài)下，古塔的各層中心是在一條垂直的直線上，如果隨著時間的變遷，古塔各層的中心還在一條直線上，但是這條直線與垂線有一個夾角，這種情況古塔就是發(fā)生了傾斜，夾角越大，傾斜越嚴(yán)重；如果古塔各層的中心組成了一條類似于C 形的曲線，則古塔發(fā)生了彎曲；如果古塔各層的中心組成了一條類似于S 形的曲線，則古塔發(fā)生了扭曲，當(dāng)然，這只是直觀上的分析，具體要判斷古塔到底發(fā)生了何種變形[11-13]，還需要借助數(shù)學(xué)上相應(yīng)的評價指標(biāo)來判斷.通過對古塔的變形，可以預(yù)測未來古塔的變形趨勢，在此基礎(chǔ)上，可以提出對該古塔的修復(fù)和保護方案.

3 結(jié)語

通過對古塔不同年份測量數(shù)據(jù)的分析，在一定的假設(shè)基礎(chǔ)上，對缺失的數(shù)據(jù)進(jìn)行了相應(yīng)的處理.古塔各層測量數(shù)據(jù)中的缺失數(shù)據(jù)處理是重要的步驟，如果缺失數(shù)據(jù)部分處理不好或者不處理直接刪除，都會給整個分析的準(zhǔn)確性帶來較大的損失，進(jìn)而影響到古塔當(dāng)前狀態(tài)及變形趨勢的預(yù)測，對提出古塔的修復(fù)和保護方案產(chǎn)生負(fù)面影響[14-15].另外，各層的中心計算是在必要的假設(shè)之上的，合理和必要的假設(shè)對于數(shù)學(xué)建模問題的解決也是很重要的[16].因此，對于古塔變形狀態(tài)的分析必須充分考慮實際情況和測量數(shù)據(jù)的特點來綜合考慮分析方案，這樣分析的結(jié)果才能對古塔的修復(fù)和保護真正起到參考作用.