基于連續(xù)近似的軌道共線公交線路優(yōu)化模型

劉 媛 羅孝羚

(重慶交通大學(xué)交通運(yùn)輸學(xué)院, 重慶 400074)(重慶交通大學(xué)重慶市交通運(yùn)輸工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 重慶 400074)

近年來(lái),軌道交通的發(fā)展極大改善了當(dāng)前城市交通擁堵情況,豐富了乘客的出行方式.然而,軌道交通站點(diǎn)位置選擇沒有充分考慮公交與軌道交通的銜接關(guān)系,導(dǎo)致軌道交通建成后出現(xiàn)原有公交線路布設(shè)不合理、部分乘客采用公交接駁軌道交通的換乘時(shí)間過(guò)長(zhǎng)等一系列問題.建成后的軌道交通站點(diǎn)具有不可調(diào)整性.因此,對(duì)于已經(jīng)建成的軌道交通線路,如何調(diào)整與其共線的公交線路,成為現(xiàn)在城市公交優(yōu)化尚需探索的新問題.

目前,針對(duì)公交線路優(yōu)化問題的研究中,根據(jù)優(yōu)化變量是否連續(xù)可以分為離散模型和連續(xù)模型2類.文獻(xiàn)[1-6]針對(duì)不同需求場(chǎng)景,采用離散決策變量研究公交線路優(yōu)化方法;文獻(xiàn)[7-10]對(duì)離散模型的算法進(jìn)行了探討;文獻(xiàn)[11-12]采用連續(xù)變量,分析連續(xù)公交線路優(yōu)化模型;文獻(xiàn)[13-17]根據(jù)不同場(chǎng)景,對(duì)現(xiàn)有的連續(xù)模型進(jìn)行拓展.與離散模型相比,連續(xù)模型優(yōu)化變量較少,故能夠獲得解析解.然而,上述研究都側(cè)重于探討公交線路的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法,沒有考慮新建軌道交通對(duì)于公交的影響.文獻(xiàn)[18]指出,軌道交通的引入會(huì)對(duì)原有的公交線路產(chǎn)生重要影響,需要有效協(xié)調(diào)2種交通方式的關(guān)聯(lián)關(guān)系,才能使公交系統(tǒng)高效運(yùn)營(yíng).文獻(xiàn)[19]結(jié)合實(shí)際規(guī)劃設(shè)計(jì)需要,提出了軌道共線段公交發(fā)車班次的優(yōu)化方法;文獻(xiàn)[20]研究了軌道交通共線的公交支線設(shè)計(jì)方法;文獻(xiàn)[21-22]分析了多種交通工具的公交線路設(shè)計(jì)方法.但這些模型均采用離散變量,導(dǎo)致模型求解困難且解的質(zhì)量不高.

針對(duì)離散模型存在的問題,本文使用連續(xù)變量,構(gòu)建了與軌道交通共線的公交線路優(yōu)化模型,繼而提出相應(yīng)的求解算法.

1 公交站點(diǎn)優(yōu)化模型

1.1 連續(xù)近似方法

確定公交站點(diǎn)位置的連續(xù)近似方法[23-26]是根據(jù)微積分的思想,將離散的站點(diǎn)位置用連續(xù)的站點(diǎn)密度來(lái)表示,從而將離散模型轉(zhuǎn)化為連續(xù)模型.獲得站點(diǎn)密度解后,采用積分法將公交站點(diǎn)的密度轉(zhuǎn)化為公交站點(diǎn)的具體位置.對(duì)公交站點(diǎn)密度進(jìn)行積分時(shí),若每次積分獲得一個(gè)整數(shù),則在積分區(qū)間布設(shè)一個(gè)公交站點(diǎn)(見圖1).圖中,δ(x)*為站點(diǎn)密度;R1和R2為積分整數(shù)區(qū)間的端點(diǎn);R為線路區(qū)間終端點(diǎn).積分區(qū)間的端點(diǎn)或中點(diǎn)即為所得站點(diǎn)位置,對(duì)應(yīng)方法分別為端點(diǎn)法和中點(diǎn)法.文獻(xiàn)[27]指出,采用中點(diǎn)法和端點(diǎn)法所得到的系統(tǒng)總成本相近.

圖1 公交站點(diǎn)位置確定方法示意圖

1.2 模型假設(shè)

為了便于模型的建立,首先進(jìn)行如下假設(shè):

1) 乘客以出行時(shí)間最小化為目標(biāo),選擇相應(yīng)的出行路徑.乘客在出行過(guò)程中,可以選擇單一交通方式的路徑,也可以選擇組合交通方式路徑.組合交通方式包括公交換乘軌道、軌道換乘公交以及公交換乘軌道再換乘公交.

2) 優(yōu)化區(qū)域內(nèi)的公交客流是外生的,即客流不隨公交系統(tǒng)設(shè)計(jì)的變動(dòng)而變化.

3) 優(yōu)化區(qū)域內(nèi)均能布設(shè)公交站點(diǎn).但在實(shí)際優(yōu)化中,站點(diǎn)位置可以根據(jù)實(shí)際需求進(jìn)行調(diào)整[28].

1.3 軌道交通共線公交線路優(yōu)化模型

1.3.1 目標(biāo)函數(shù)

公交線路的優(yōu)化目標(biāo)為系統(tǒng)總成本最小.公交系統(tǒng)總成本包括運(yùn)營(yíng)成本和乘客出行時(shí)間成本2個(gè)部分,其目標(biāo)函數(shù)可表示為

(1)

式中,Z為系統(tǒng)總成本;Co為運(yùn)營(yíng)成本;Cp為乘客出行時(shí)間成本;μ為時(shí)間價(jià)值系數(shù),用于將運(yùn)營(yíng)成本轉(zhuǎn)化為時(shí)間成本.

公交系統(tǒng)的運(yùn)營(yíng)成本可細(xì)分為基于運(yùn)營(yíng)時(shí)間的運(yùn)營(yíng)成本Ct、基于運(yùn)營(yíng)里程的運(yùn)營(yíng)成本Cl以及站點(diǎn)設(shè)施設(shè)備建設(shè)和維護(hù)成本Cs.以單方向的公交運(yùn)營(yíng)為例,各成本項(xiàng)可分別表示為

(2)

(3)

(4)

式中,πt、πl(wèi)、πs分別為單位時(shí)間運(yùn)營(yíng)成本系數(shù)、單位里程運(yùn)營(yíng)成本系數(shù)和單個(gè)站點(diǎn)建設(shè)及維護(hù)成本系數(shù);hb和δb(x)分別為發(fā)車間隔和位置x處的公交站點(diǎn)密度;L為線路總長(zhǎng)度;Vb(x)為位置x處考慮站點(diǎn)延誤的公交運(yùn)行速度,且

(5)

式中,τ0、τb、τa分別為公交車輛的站點(diǎn)固定停靠時(shí)間、乘客平均上車和下車時(shí)間;vb為公交行駛速度;Bb(x)和Ab(x)分別為位置x處的公交上車密度和下車密度.

乘客出行時(shí)間成本可細(xì)分為步行時(shí)間成本Ca、等待時(shí)間成本Cw、在車旅行時(shí)間成本Cv以及換乘懲罰時(shí)間成本Cf.乘客可以選擇公交或軌道出行,定義m為乘客交通方式的選擇標(biāo)識(shí),r和b分別為軌道和公交選擇標(biāo)識(shí),即m∈{r,b},各成本項(xiàng)可分別表示為

(6)

(7)

(8)

(9)

式中,bm(x)和am(x)分別為位置x處不考慮換乘的交通方式m的乘客上車密度和下車密度;λr-b(x)和λb-r(x)分別為位置x處從軌道交通換乘至公交和從公交換乘至軌道交通的客流密度;κm(x)為位置x處交通方式m的到站或離站時(shí)間;κζ(x)為位置x處乘客的換乘時(shí)間;Bm(x)為位置x處交通方式m的乘客上車密度;hm為交通方式m的發(fā)車間隔;om(x)為位置x處交通方式m的在車客流量;Vm(x)為位置x處考慮站點(diǎn)延誤的交通方式m的運(yùn)行速度;ξ為換乘懲罰系數(shù).

根據(jù)假設(shè)條件,乘客總是選擇出行時(shí)間最短的路徑.定義I為乘客出行路徑標(biāo)識(shí),且I∈{r1,b1,br,rb,brb}.其中,r1、b1分別表示僅采用軌道或公交的出行路徑;br、rb、brb分別表示采用公交接駁軌道、軌道接駁公交以及公交接駁軌道再接駁公交的出行路徑.

對(duì)于采用公交出行的乘客,出行時(shí)間包含步行時(shí)間、等待時(shí)間和在車旅行時(shí)間,可表示為

(10)

式中,Tb1(x,y)為從位置x處到位置y處采用公交出行的時(shí)間;κb(x)、κb(y)分別為乘客從起點(diǎn)到公交站點(diǎn)的步行時(shí)間和從公交站點(diǎn)到最終目的地的步行時(shí)間;Vb(u)為位置u處考慮站點(diǎn)延誤的公交運(yùn)行速度.

出行路徑除了包含2種交通方式的出行時(shí)間外,還包括換乘時(shí)間和換乘懲罰時(shí)間.如采用公交接駁軌道交通,乘客出行時(shí)間可表示為

(11)

式中,Tbr(x,y)為乘客從位置x處到位置y處采用公交換乘軌道交通的出行時(shí)間;hr為軌道交通發(fā)車間隔;Vr(u) 為位置u處考慮站點(diǎn)延誤的軌道交通運(yùn)行速度.

1.3.2 模型約束條件

模型約束條件包括公交發(fā)車間隔約束和車輛載客能力約束,可表示為

(12)

max(ob(x))hb≤Kb

(13)

1.3.3 客流分配

根據(jù)假設(shè)條件,乘客總是選擇出行時(shí)間最小的出行方式.因此,不同出行路徑的客流可表示為

λI(x,y)∈λ(x,y)

TI(x,y)=min{Tr1(x,y),Tb1(x,y),Tbr(x,y),

Trb(x,y),Tbrb(x,y)}

(14)

式中,λ(x,y)為位置x處到位置y處的客流密度;λI(x,y)、TI(x,y)分別為位置x處到位置y處選擇路徑I的客流密度和出行時(shí)間;Tr1(x,y)、Trb(x,y)、Tbrb(x,y)分別為從位置x處到位置y處選擇路徑r1、rb和brb的出行時(shí)間.

2 模型求解算法

2.1 解析解推導(dǎo)

(15)

(16)

考慮約束條件(12)和(13),參考文獻(xiàn)[27],可得最優(yōu)解為

(17)

(18)

2.2 迭代求解算法

獲得解析解的表達(dá)式后,設(shè)計(jì)了一種迭代求解算法,以獲得相應(yīng)的數(shù)值解.其中,上層決策優(yōu)化變量,下層決策客流分配.模型的求解步驟如下:

① 依據(jù)約束條件,設(shè)置初始解和初始分配的客流.

② 根據(jù)式(17),更新站點(diǎn)密度的數(shù)值解.

③ 根據(jù)式(18),更新發(fā)車間隔的數(shù)值解.

④ 判斷所更新的發(fā)車間隔和站點(diǎn)密度是否已經(jīng)收斂(即發(fā)車間隔和站點(diǎn)密度的迭代誤差和小于設(shè)定值ε),如果已經(jīng)收斂則轉(zhuǎn)入步驟⑤,否則轉(zhuǎn)步驟②.

⑤ 根據(jù)發(fā)車間隔和站點(diǎn)密度,更新分配結(jié)果.

⑥ 迭代收斂性檢查.如果已經(jīng)達(dá)到整個(gè)問題的收斂條件,即更新分配結(jié)果前后的發(fā)車間隔和站點(diǎn)密度的迭代誤差和小于設(shè)定值ε,則輸出結(jié)果,否則轉(zhuǎn)步驟②.

3 算例分析

以如圖2所示的重慶3#軌道交通線路及與之共線的公交349路所構(gòu)成的公交走廊為例,對(duì)共線的公交站點(diǎn)位置和公交線路的發(fā)車頻率進(jìn)行優(yōu)化.重慶3#軌道線路總長(zhǎng)約為67 km,包含45個(gè)軌道站點(diǎn);重慶349路公交線路總長(zhǎng)約為17 km,包含26個(gè)公交站點(diǎn);軌道交通和公交線路共線路段約為8 km.案例中共線段公交站點(diǎn)及軌道站點(diǎn)的分布見圖2.與軌道交通共線的公交線路可能包含多條,但對(duì)于公交走廊而言,多條公交線路服務(wù)等價(jià)于發(fā)車頻率增加的單條公交線路服務(wù).因此,案例中僅以一條公交線路為例,對(duì)所提方法進(jìn)行驗(yàn)證.

圖2 現(xiàn)有3#軌道交通線路與349路公交站點(diǎn)分布圖

根據(jù)共線路段的早高峰離散客流,擬合連續(xù)客流密度,結(jié)果見圖3.擬合方法是根據(jù)站間距離,將基于站點(diǎn)的客流轉(zhuǎn)化為基于位置的客流密度,然后采用面擬合工具,將離散的客流擬合為連續(xù)光滑的密度曲面.

圖3 離散公交客流擬合結(jié)果

3.1 參數(shù)取值

模型參數(shù)設(shè)置參考文獻(xiàn)[22-29].軌道交通平均站點(diǎn)?？繒r(shí)間為30 s,其余各參數(shù)取值為:vw=2 km/h,vb=25 km/h,vr=60 km/h,τ0=30 s,τa=2 s,τb=2 s,hmin=1.5 min,ξ=30 s,Kb=80 人/輛,μ=35 元/h,πt=123 元/(站·h),πl(wèi)=4.13 元/(輛·km),πs=6.37 元/(站·h),ε=0.01.

3.2 試驗(yàn)結(jié)果

圖4為現(xiàn)有公交線路與優(yōu)化后公交線路的站點(diǎn)布局及其擬合密度,其中站點(diǎn)位置由中點(diǎn)法獲得.由圖可知,優(yōu)化后的公交站點(diǎn)比當(dāng)前公交站點(diǎn)數(shù)量更多.

圖4 優(yōu)化前后公交站點(diǎn)及其擬合密度曲線

表1對(duì)比了優(yōu)化前后的運(yùn)營(yíng)總成本、乘客出行總成本以及系統(tǒng)總成本.為統(tǒng)一單位,表中的成本項(xiàng)均采用由時(shí)間價(jià)值系數(shù)μ轉(zhuǎn)化成的時(shí)間成本.由表可知,優(yōu)化后雖然運(yùn)營(yíng)總成本增加了11.82%,但乘客出行總成本降低了32.54%,故系統(tǒng)總成本降低了27.14%.由此說(shuō)明,優(yōu)化后的公交系統(tǒng)運(yùn)營(yíng)效率更高.

表1 優(yōu)化前后的公交服務(wù)各指標(biāo)對(duì)比

為證明所提方法的有效性,對(duì)比了未考慮和考慮軌道交通條件下公交系統(tǒng)的優(yōu)化結(jié)果(見表2).由表可知,在未考慮軌道交通的情況下,優(yōu)化后的公交線路運(yùn)營(yíng)總成本和乘客出行總成本均更高.由此說(shuō)明,對(duì)于由軌道交通和公交所構(gòu)成的系統(tǒng),需要從系統(tǒng)層面進(jìn)行優(yōu)化,而不能單獨(dú)優(yōu)化其中的某一種服務(wù).

表2 考慮和未考慮軌道交通的優(yōu)化結(jié)果對(duì)比

3.3 靈敏度分析

3.3.1 客流倍數(shù)

圖5給出了不同客流條件下的優(yōu)化結(jié)果.從圖中可以看出,隨著客流倍數(shù)的增加,逐漸形成較大的出行規(guī)模,促使平均公交站點(diǎn)距離和發(fā)車間隔減小,從而使乘客步行時(shí)間以及乘客等待時(shí)間減少,人均成本節(jié)省率增加.

(a) 人均成本節(jié)省率

3.3.2 站點(diǎn)建設(shè)和維護(hù)成本

圖6給出了不同站點(diǎn)建設(shè)成本條件下的優(yōu)化結(jié)果.由圖可知,隨著公交站點(diǎn)建設(shè)和維護(hù)成本的增加,所提方法的人均成本節(jié)省率逐漸降低.究其原因在于,公交站點(diǎn)建設(shè)和維護(hù)成本增加會(huì)導(dǎo)致公交站點(diǎn)數(shù)量減少,公交站間距離增大,從而使乘客步行距離增加,還會(huì)使公交接駁功能被削弱,越來(lái)越多的乘客直接步行前往軌道交通站點(diǎn),導(dǎo)致公交客流量減少,公交車輛的發(fā)車間隔時(shí)間增大,人均成本節(jié)省率降低.

(a) 人均成本節(jié)省率

3.3.3 速度參數(shù)

圖7為公交車輛不同速度時(shí)的優(yōu)化結(jié)果.從圖中可以看出,隨著速度的增加,人均成本節(jié)省率以及平均公交站間距離呈先上升后下降然后緩慢上升的趨勢(shì).究其原因在于,速度較小時(shí),公交的接駁優(yōu)勢(shì)不明顯,乘客采用公交接駁軌道的比例較低;隨著速度的增加,接駁優(yōu)勢(shì)逐漸明顯,人均成本節(jié)省率也隨之增加;但隨著速度的進(jìn)一步增加,公交車輛的速度與軌道交通的速度差距越來(lái)越小,公交的接駁功能逐漸弱化,2種交通工具之間形成客流競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系,使得系統(tǒng)的人均成本節(jié)省率逐漸下降;公交速度越來(lái)越快,即使2種交通工具形成競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系乘客也能從速度較快的公交中受益,因此系統(tǒng)的人均成本節(jié)省率逐漸增大.結(jié)果表明,在由2種不同交通工具形成的系統(tǒng)中,某種交通工具的功能與其速度密切相關(guān),需要進(jìn)行合理優(yōu)化,以提高系統(tǒng)的運(yùn)營(yíng)效率.

(a) 人均成本節(jié)省率

4 結(jié)論

1) 相比于傳統(tǒng)的離散建模方法,采用連續(xù)近似的方法對(duì)與軌道交通共線的公交線路進(jìn)行優(yōu)化具有能夠獲得解析解的優(yōu)點(diǎn),從而有效解決模型求解困難的問題.

2) 本文構(gòu)建的軌道交通共線公交線路優(yōu)化模型考慮了乘客到達(dá)站點(diǎn)的時(shí)間,克服了離散模型難以考慮乘客站點(diǎn)到離時(shí)間的缺點(diǎn).

3) 不同于單一公交系統(tǒng)的優(yōu)化方法,本文考慮了當(dāng)前我國(guó)軌道交通和公交共線的實(shí)際情況,將兩者作為一個(gè)系統(tǒng)進(jìn)行建模,刻畫了乘客在該系統(tǒng)中的出行選擇行為,實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)最優(yōu)方案的設(shè)計(jì).