半?yún)?shù)廣義線性模型最大似然估計的弱相合性

趙 瑛

（遼寧開放大學(xué)，遼寧沈陽 110034）

0 引言

半?yún)?shù)廣義線性模型是由Green和Yandell[1]等一些作者提出來的，相比于通常的廣義線性模型，其處理問題更靈活。半?yún)?shù)廣義線性模型既含有參數(shù)的線性形式，又含有變量的非參數(shù)形式。在半?yún)?shù)廣義線性模型（SGLMS）中，響應(yīng)變量 Y∈R，協(xié)變量 （X，Z）∈［c，d］p×1×［0，1］，滿足給定（X，Z） 時條件期望：

其中，θ∈Θ，ρ∈Ψ。Θ?RP是一個非空開集，Ψ是從［0，1］到R的光滑函數(shù)的集合，而h是一個從R到R的光滑函數(shù)。給定（X，Z）時，Y的條件密度設(shè)為指數(shù)族形式：

式中，Γ和Φ是R的非空子集，b（φ）是R上的實函數(shù)，協(xié)變量（X，Z）的聯(lián)合分布函數(shù)G（x，z）未知。

假設(shè)（θ，ρ） 是未知參數(shù)，在估計未知參數(shù)θ的同時，也需要估計半?yún)?shù)ρ，基于未知參數(shù)θ的性質(zhì)，利用 ξ=（X，Z，Y） 的獨立同分布的樣本ξj=（Xj，Zj，Yj），j=1，2，…，n，得到半?yún)?shù)的最大似然估計量，并且在一定條件下證明其一致弱相合性。

1 最大似然估計

在SGLMS模型中，Y的數(shù)學(xué)期望μ（φ） 通過 h 與半?yún)?shù) XTθ+ρ（Z）相聯(lián)系，即

為了表達(dá)μ（φ）結(jié)構(gòu)，假設(shè)均值μ的逆變換存在，φ=a（XTθ+ρ（Z）），其中 a=μ-1·h。又設(shè) M為R的一個子集，使得對所有的（X，Z）∈［c，d］p×1×［0，1］，θ∈Θ，ρ∈Ψ，有 XTθ+ρ（Z）∈M，則a∶M?R→R，而且Φ=a（M）。

假設(shè)Φ是自然參數(shù)空間的非空凸子集，而自然參數(shù)空間是具有有限范數(shù) exp（b（φ））=∫exp（φTy）dλ1（y）的所有φ構(gòu)成[2]。因此在Φ內(nèi)，Y的所有階矩都存在，而且b（φ）的所有階導(dǎo)數(shù)也存在，且

為了討論Y的各階矩，需對X、Z的矩進(jìn)行限制（當(dāng)X，Z為非隨機(jī)變量時，下面的假定當(dāng)然成立）。

假定對 k=1，2，…，p+1 和任意 θ，ρ（Z），

用條件期望重新表達(dá)（3），則有

特別對k=1，得

其中Kni（·）=K（（Zi-·）/hn）是帶寬hn＞0的通常概率核。

利用普通核估計代替條件期望，得半?yún)?shù)部分 ρ（z）的矩形核估計量為ρM（z）=ρM（z，θ） 方程關(guān)于r的解。

2 定理的證明

Severini和Wong[3]提出的最大似然方法，可以構(gòu)造半?yún)?shù)部分的估計量，并得到了一致收斂的速度，同時證明了

對任意γ＞0成立。其中，q＞2是一個正整數(shù)，使得統(tǒng)計量ρθ，ML的q階矩存在。同時也證明了估計量的導(dǎo)數(shù)具有相同的收斂速度。

基于半?yún)?shù)部分的一致弱相合估計的存在性，并將Forrester等人[4]的結(jié)果一般化，研究估計量的收斂速度。

為方便起見，引入如下符號：

3 結(jié)論

這里把Severini和Wong定理中比較苛刻的條件換成了平凡的Lipschitz條件，而且我們得到的結(jié)果與Severini和Wong給出的結(jié)果比較[5-6]，更具有可操作性，并且則進(jìn)結(jié)論（15），即一步討論了ρ的導(dǎo)數(shù)的最大似然估計的一致弱相合性。