考慮非線性模型不確定性的航天器高橢圓軌道自主相對運動控制

張科文，潘柏松

(1.浙江工業(yè)大學 機械工程學院，浙江 杭州 310023； 2.浙江工業(yè)大學 特種裝備制造與先進加工技術教育部重點實驗室，浙江 杭州 310023)

0 引言

近年來，越來越多的空間自動化技術研究涉及推進器和控制系統(tǒng)在多目標對象中的應用，包括航天器群星座以及編隊自主飛行技術等。針對相鄰開普勒軌道上航天器之間自主相對運動的控制和優(yōu)化問題的研究已有許多。對多個航天器之間的相對運動模型的選擇與控制設計，是開展航天器自主導航與制導的重要前提和基礎。

目前，國內(nèi)外學者對航天器交會對接任務的技術研究大多是針對航天器之間近距離的自主操作和控制，許多分析通?；谙到y(tǒng)線性運動模型展開，常用的有CW(Clohessy-Wiltshire)模型以及TH(Tschauner-Hempel)模型[1-2]?；诰€性相對運動模型進行的近距離交會對接的分析已有很多，許多研究為了簡化系統(tǒng)的控制問題，采用了線性方程進行運動模型描述。例如，文獻[3]針對航天器自主對接采用模型預測控制方法，使用線性化的CW方程來簡化模型描述和控制方法設計。提出的控制策略能夠在每個任務階段處理不同約束要求，特別是處理航天器交會對接過程中的避障問題。文獻[4]基于CW方程研究單推力航天器交會對接軌跡規(guī)劃及控制問題，基于螺旋線設計了位置轉(zhuǎn)移軌跡來滿足初末位置及速度方向要求，并提出基于控制李雅普諾夫函數(shù)(Control Lyapunov Function, CLF)的滑?？刂撇呗裕瑢崿F(xiàn)航天器的交會對接。此外，基于簡化的線性模型，最優(yōu)控制設計也比較容易實現(xiàn)，以解決航天器交會對接最小時間機動或節(jié)能等問題[5-7]。例如，文獻[8]提出基于線性二次型調(diào)節(jié)器樹的反饋路徑規(guī)劃策略，以解決航天器近距離交會對接過程多約束的對接安全問題。但是文中相對運動動力學模型中并沒有考慮來自外部擾動等因素，對制導精確性產(chǎn)生影響。文獻[9]針對導航誤差信息的攝動橢圓軌道最優(yōu)交會控制間題，通過對模型和約束的構建和描述，引入松弛變量將軌跡規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為二階錐規(guī)劃問題，實現(xiàn)高精度低速度增量的對接最優(yōu)交會制導。文獻[10]提出一種控制參數(shù)直接優(yōu)化方法，來解決基于開—關恒推力的航天器最短路徑交會問題。通過引入標準化優(yōu)化變量代換，將問題轉(zhuǎn)換為非線性規(guī)劃問題，來獲得最優(yōu)能耗和時間解。此外，有些學者對航天器對接過程中的各種約束問題進行了研究。例如，文獻[11]提出一種自適應控制策略，通過整合人工勢能函數(shù)和滑模方法以及引入線性輸入飽和補償器，實現(xiàn)航天器近距離交會對接的位置跟蹤和姿態(tài)同步。文獻[12-13]分析了存在外部干擾、故障信號以及輸入約束等情況下航天器對接問題，通過李亞普諾夫分析方法提出基于擾動觀測器的狀態(tài)反饋控制策略，采用電磁對接的方式實現(xiàn)了航天器的穩(wěn)健對接。然而，線性運動模型是對航天器之間相對運動的近似結果，需要對航天器飛行條件與內(nèi)外環(huán)境加以限制，因此對整體系統(tǒng)模型精度具有一定的影響。

為了擴大航天器自動交會對接模型的適用范圍，并提高相應的控制器性能，許多學者采用非線性模型來描述兩個航天器之間的相對運動，并提出了對應的控制策略[14-17]。在文獻[18]中，針對具有延遲和外部干擾的多個航天器編隊跟蹤問題，提出采樣數(shù)據(jù)控制方案，以使開發(fā)的數(shù)字控制器可以維持所需編隊。在文獻[19]中，基于非線性相對模型開發(fā)了適用于航天器交會對接的自適應控制器，并考慮了學習控制器中時變增益的靈活性。當存在慣性不確定性、外部干擾以及執(zhí)行器故障的情況時，文獻[20]解決了具有翻滾目標的航天器固定時間下交會控制問題，提出的魯棒集成自適應容錯控制器確保了閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并保證了相對位置和姿態(tài)跟蹤誤差的收斂。文獻[21]同時考慮旋轉(zhuǎn)運動和相對平移運動的交會任務，開發(fā)了非線性干擾觀測器和輔助系統(tǒng)，以補償不確定的干擾和輸入飽和引起的負面影響，設計的魯棒控制器保證了系統(tǒng)信號的收斂性。針對航天器非合作交會對接中的避碰問題，文獻[22]通過相對位姿耦合運動模型，基于滑?？刂铺岢鑫蛔笋詈峡刂破鱽韺崿F(xiàn)航天器安全對接。

以上研究均使用非線性方程對航天器之間的相對運動給出了更為精確的模型描述。合適的相對運動模型能保障航天器的操控精度，特別是針對在高度橢圓軌道上進行自主對接的航天器。此外，許多已有的研究工作沒有考慮在模型不確定性情況下的航天器自主對接，本文的主要工作將對航天器相對運動模型的不確定性進行分析，同時提出相應的控制策略設計。

本文考慮一般空間環(huán)境下，圍繞同一中心天體任意橢圓軌道上的兩個航天器之間的自主相對運動。均采用非線性相對運動系統(tǒng)模型來精確描述航天器在高度偏心率軌道下的相對運動。其次，研究了系統(tǒng)控制輸入飽和下自動控制策略的分析情況。在實際的空間自動化技術與自主對接任務中，航天器系統(tǒng)加速度約束是由推進系統(tǒng)的能力限制引起的，由此引起的非線性飽和可能導致系統(tǒng)的不穩(wěn)定性和不可靠性[23]。為了處理系統(tǒng)輸入飽和問題，本文設計了一個輔助設計控制系統(tǒng)，使得所提出的自適應控制策略能夠保證閉環(huán)系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性。此外，本文還分析了由目標星軌道運動引起的系統(tǒng)模型不確定性問題，并提出相應的自適應控制策略來保證不確定性下閉環(huán)信號的有界性。

1 航天器相對運動動態(tài)模型

對于圍繞中心天體飛行的任意兩個航天器之間的相對運動，可以用圖1描繪。通常將航天器交會對接任務中涉及的兩個航天器分別稱為追蹤星(主動航天器)和目標星(被動航天器)。為了對航天器相對運動模型進行描述，首先給出以中心天體為參照的慣性系下開普勒二體問題的運動方程，如式(1)所示：

(1)

式中:下標i=c,t,分別代表追蹤星和目標星；μ是中心天體的引力常數(shù)；Ri是航天器的位置矢量。定義r=Rc-Rt為追蹤星和目標星之間的相對距離矢量。將以上相關變量代入式(1)能夠得到慣性系下航天器之間的相對運動表達式：

(2)

式中Rt=‖Rt‖。為了進一步得到追蹤星相對于目標星的運動模型，引入以目標星為參照的LVLH旋轉(zhuǎn)參考系。該參考系中X軸沿目標星徑向指向，Z軸垂直于軌道平面，Y軸在軌道平面內(nèi)與X、Z軸組成右手直角坐標系(如圖1)。此外，表達式(2)中的相對加速度

(3)

(4)

2 相對運動控制設計

2.1 模型狀態(tài)空間表達

(5)

其中：ui是控制加速度；di是外部擾動且滿足|di|≤de，i=1,2,3，de>0。考察狀態(tài)空間表達式(5)可以發(fā)現(xiàn)，有關于θt和rt的參數(shù)信息來自于目標星，此類參數(shù)信息對于追蹤星而言可能是潛在的未知量。為了在模型不確定情況下設計控制器以實現(xiàn)追蹤星對于目標星的自主交會對接，采用自適應反步遞歸設計方法[26]對非線性系統(tǒng)進行系統(tǒng)變量轉(zhuǎn)換。首先，引入變量集zi,

z1=x1,z4=x4-α1,

z2=x2,z5=x5-α2,

z3=x3,z6=x6-α3。

(6)

其中αi=-βizi為設計的內(nèi)部虛擬控制律，i=1,2,3。為便于后續(xù)表述，對系統(tǒng)模型中的部分非線性參數(shù)項進行變量代換，即

通過以上一系列的變量轉(zhuǎn)換，最終狀態(tài)空間表達式(5)變?yōu)椋?/p>

(7)

基于該系統(tǒng)的控制目標是設計一個自適應控制器，從而使變量zi實現(xiàn)最終收斂。若該動態(tài)方程中沒有模型不確定性，則可以通過李雅普諾夫設計方法構建相應的自適應控制器來實現(xiàn)控制目標[27-28]。下面將針對非線性系統(tǒng)式(7)中存在輸入約束以及模型不確定性的情況分別進行控制器的設計分析與討論。

2.2 輸入約束下自適應控制器設計

在實際的空間任務中，航天器飛行所需的推力由推進器產(chǎn)生。推進器只能提供有限的推力，因此考慮推力加速度約束具有現(xiàn)實意義。推進器提供的推力有限，意味著航天器的加速度變化具有上下限。本節(jié)首先考慮追蹤星在獲取目標星狀態(tài)信息(即系統(tǒng)模型不存在參數(shù)不確定性)的情況下，加速度受約束時的控制器設計。

假設航天器產(chǎn)生的加速度大小的上限為ui,max>0，下限為ui,min<0，則系統(tǒng)控制加速度約束滿足不等式ui,min

(8)

式中i=1,2,3。為了在有約束限制的條件下實現(xiàn)兩個航天器之間自主逼近這一控制目標，設計了一個輔助控制系統(tǒng)來分析約束的影響。考慮非線性動力學模型式(7)，所設計的輔助控制系統(tǒng)為：

i(?i-ui)。

(9)

式中：λi>0；i>0；ζi>0為系統(tǒng)參數(shù)，i=1,2,3;Δui=ui-?i，并且控制變量?i滿足

?i=-(φizi+3+gi+di)-βi+3(zi+3-τi)。

(10)

式中:i=1,2,3；φi是已知的正時變參數(shù)，且滿足:

(11)

其中：βi>0，i=1,2,3。

這種情況下，為了實現(xiàn)追蹤星和目標星之間相對距離和相對速度的漸近穩(wěn)定性與收斂性，給出以下引理。

引理1對于由非線性動力學模型式(7)描述的兩航天器之間的相對運動系統(tǒng)，在有輸入約束式(8)的情況下，基于輔助控制系統(tǒng)式(9)以及控制律式(10)，系統(tǒng)信號zi和τi將收斂到漸近穩(wěn)定零點。

證明構建如下Lyapunov函數(shù)：

(12)

基于系統(tǒng)方程式(7)對函數(shù)V1(t)求導，得到：

(Δui-βi+3(zi+3-τi))。

將式(9)設計的輔助系統(tǒng)代入上式，得到

式中κ=min{ki,qi}?；诜蔷€性系統(tǒng)穩(wěn)定性準則[27,29]，通過以上對Lyapunov函數(shù)的論證分析可以證明系統(tǒng)變量zi和τi的漸近穩(wěn)定收斂。然后，通過變量關系式(6)得到狀態(tài)空間向量xi的漸近穩(wěn)定性，這意味著航天器之間的相對位置與相對速度隨時間收斂到零，表明兩個航天器之間最終實現(xiàn)自主對接。

3 具有模型不確定性的自適應控制設計

3.1 不確定性下的自適應控制

首先，為了處理模型中的非線性不確定性參數(shù)項，定義模型中的非線性項為：

引理2考慮如圖1所示的兩個航天器之間的自主相對運動逼近，當非線性動力學系統(tǒng)式(7)具有模型不確定性時，提出如下控制策略

(13)

(14)

證明構建如下擴展的Lyapunov函數(shù)：

(15)

基于相對運動系統(tǒng)模型，對V2(t)進行求導得到：

由于滿足|Δ|<1，進一步分析上式中的一些參數(shù)項如下：

以及

進一步整合以上不等式，并給出如下定義：

3.2 不確定性和輸入約束同時作用下的控制器設計

基于前面章節(jié)對于航天器相對運動模型不確定性的控制算法的分析結果，本章將進一步考慮存在控制輸入約束的情況下航天器自主對接的控制策略的設計。

為了解決非線性系統(tǒng)在約束條件下的控制目標，引入輔助控制系統(tǒng)式(9)來分析約束的影響。由于同時存在系統(tǒng)模型不確定性，重新設計并引入以下控制律：

(16)

引理3考慮系統(tǒng)模型式(7)描述的航天器之間的相對運動，當同時存在輸入約束和不確定性模型參數(shù)的情況下，基于提出的控制律式(14)和式(16)，并通過設計的輔助控制系統(tǒng)式(9)，能夠?qū)崿F(xiàn)追蹤星和目標星航天器之間的相對距離和相對速度在有界集合內(nèi)漸進穩(wěn)定與收斂。

證明構建如下擴展的Lyapunov函數(shù)：

(17)

基于前面對引理2進行論證過程中的類似步驟，在對V3(t)進行求導時，能夠通過類似分析得到如下不等式：

此外，進一步分析常數(shù)項

最后得到

4 仿真分析

作為比較，第一個案例給出了系統(tǒng)動態(tài)模型方程中不存在不確定性與輸入約束情況下的仿真結果。對于這類情形，基于相對運動系統(tǒng)模型式(7)構建如下自適應控制器：

(18)

(1)具有輸入約束的相對運動分析

對于存在控制加速度約束的情況，應用引理1描述的控制策略，可以實現(xiàn)目標星和追蹤星之間相對距離和相對速度的收斂。在該仿真場景案例中，通過對控制器參數(shù)進行調(diào)試，選擇的控制器設計參數(shù)具體數(shù)值如表1所示。

表1 控制器參數(shù)設置

其中對加速度輸入的約束值為|ui|≤0.006 km/s2。兩個航天器之間的仿真分析結果如圖3所示?？梢钥闯觯捎诩铀俣容斎爰s束，導致了相對速度的非平穩(wěn)演變。但在引理1的控制器設定下，兩航天器之間能夠順利實現(xiàn)對接目標，如圖3所示。

(2)具有模型不確定性的相對運動分析

當考慮系統(tǒng)相對運動方程中存在模型不確定性的情況時，基于引理2提出的控制策略，航天器之間的相對距離和相對速度能夠?qū)崿F(xiàn)漸進收斂，具體仿真結果如圖4所示。一般控制參數(shù)的選擇依據(jù)主要包括保證閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性以及誤差收斂的速度，在進行控制系統(tǒng)模擬驗證的過程中通過衡量這兩方面進行參數(shù)調(diào)試。此外，還可以依據(jù)被控系統(tǒng)初始狀態(tài)信息進一步對系統(tǒng)參數(shù)進行調(diào)試選擇?；谝陨峡紤]，該仿真案例中選擇的控制器設計參數(shù)具體數(shù)值如表2所示。

表2 控制器參數(shù)設置

(3)同時具有模型不確定性和輸入約束的相對運動分析

下面給出同時存在參數(shù)不確定性和輸入約束條件下，航天器相對運動的仿真結果?；谝?提出的控制方法對控制器進行調(diào)試，此仿真案例中選擇的控制器設計參數(shù)具體數(shù)值如表3所示。

表3 控制器參數(shù)設置

5 結束語

本文通過對圍繞任意中心天體飛行的兩個航天器之間的自主相對運動進行分析，特別是針對高度橢圓軌道上的航天器之間的運動協(xié)作，針對不同任務需求分別提出了基于系統(tǒng)非線性運動模型的自適應控制方法。為了實現(xiàn)輸入約束下的航天器自主對接任務目標，通過引入輔助控制系統(tǒng)分析輸入約束的影響，并結合自適應反步控制器，確保了閉環(huán)系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性。同時，還解決了由于目標星軌道運動信息引起的非線性模型不確定性問題。通過擴展運動模型中非線性參數(shù)項的線性代數(shù)，同時結合提出的自適應反步控制器，保證了系統(tǒng)的閉環(huán)信號以及未知參數(shù)自適應估計值的有界性與收斂性。通過增加輔助控制系統(tǒng)，解決了模型不確定性下輸入約束的問題，實現(xiàn)了航天器之間的順利自主逼近。通過多個案例仿真分析結果證明了本文所提控制策略的有效性。本文主要研究了航天器自主對接的相對運動控制問題，后續(xù)將結合航天器的姿態(tài)運動，分析姿態(tài)變化對航天器交會對接的影響，并且在此情景下設計相應的復合控制器，實現(xiàn)航天器相對位姿的協(xié)同控制。