高速切削欠采樣動態(tài)信號的壓縮感知恢復(fù)方法

賀王鵬，陳彬強(qiáng)，李 陽，陳 晶，郭寶龍

(1.西安電子科技大學(xué) 空間科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，陜西 西安 710071；2.廈門大學(xué) 航空航天學(xué)院，福建 廈門 361005)

近年來，高速切削以高效、優(yōu)質(zhì)、低耗等優(yōu)點逐漸成為學(xué)術(shù)界和工業(yè)界研究的熱點，被廣泛應(yīng)用于現(xiàn)代金屬加工領(lǐng)域[1-2]。然而高速切削系統(tǒng)在遠(yuǎn)超過常規(guī)切削速度的條件下運(yùn)行，刀具的磨損加劇導(dǎo)致零部件加工質(zhì)量的下降，甚至引發(fā)安全事故并危害人身安全。因此，高速切削系統(tǒng)的狀態(tài)監(jiān)測及反問題研究得到了密切關(guān)注。振動、聲發(fā)射及切削力作為常用的監(jiān)測變量已被廣泛應(yīng)用到高速切削系統(tǒng)動態(tài)特性試驗與分析中[3-4]，其中，切削力因能直接反映切削過程的動態(tài)特性而備受重視[5]。切削力信號主要由測力儀測量，經(jīng)過抗混疊濾波器低通濾波后由數(shù)據(jù)采集卡記錄在計算機(jī)中處理和分析。為了能夠完整地保留切削力信號的有效信息，奈奎斯特采樣定理要求采樣頻率必須高于被分析信號最高頻率的2倍[6]。高速切削系統(tǒng)銑削信號中含有主軸工作頻率的基波及大量高次諧波，當(dāng)采樣參數(shù)設(shè)置不合理時，將造成信號的欠采樣，通過抗混疊濾波器的濾波陡度帶被折疊到奈奎斯特區(qū)間，使原信號發(fā)生不合理的波形畸變，為高速切削系統(tǒng)的動態(tài)數(shù)據(jù)分析造成了困難。

針對欠采樣條件下信號的恢復(fù)問題，目前學(xué)術(shù)界已經(jīng)開展了一些有益的嘗試。ZOLTOWSKI等[7]提出了基于采樣通道之間時間延遲的頻率無模糊估計方法。王洪洋等[8]結(jié)合了解模糊和配對方法進(jìn)行無模糊的信號頻率估計，降低了對采樣通道間一致性的依賴程度。有學(xué)者根據(jù)中國余數(shù)定理求解一次同余方程組的思想，提出了欠采樣信號頻譜估計問題，提供了新思路及改進(jìn)算法[9-10]。上述欠采樣信號重構(gòu)算法雖然在一定程度上解決了欠采樣導(dǎo)致的頻率混疊及頻率估計出現(xiàn)的混疊等問題，但這些算法需要多個模數(shù)轉(zhuǎn)換裝置，成本較高。LIN等[11]基于葉片振動信號的稀疏特性重構(gòu)欠采樣振動信號，提供了欠采樣信號單通道重構(gòu)算法的新思路。CHEN等[12]重新闡述了稀疏表示理論的潛在意義，目前已被廣泛應(yīng)用于測試數(shù)據(jù)分析等方面[13-14]。HASSANIEH等[15]提出一種基于信號頻譜近似稀疏性的稀疏傅里葉變換算法。HASSANIEH等[16]將該算法應(yīng)用于頻譜校正，實現(xiàn)用部分采樣點較好恢復(fù)原始信號的頻譜。HEISH等[17]基于正交多項式求解K個非零項的位置構(gòu)造了一種欠采樣信號恢復(fù)算法，并驗證了該算法在降低復(fù)雜度方面的效果。

針對高速切削狀態(tài)監(jiān)測系統(tǒng)中采樣參數(shù)設(shè)置不合理以及抗混疊濾波器濾波陡度導(dǎo)致輸出切削力頻譜混疊問題，筆者提出了一種基于頻域近似稀疏的頻譜校正方法。該方法基于切削力信號在頻域上表現(xiàn)出的近似稀疏特性，通過僅保留頻譜上幾個能量集中的頻譜區(qū)間進(jìn)行稀疏逼近，得到若干個頻帶子集。結(jié)合欠采樣頻譜混疊原則計算出每個頻帶子集的真實頻率，構(gòu)造切削力信號的真實頻譜進(jìn)而恢復(fù)真實的時間序列。仿真和實驗結(jié)果都表明，該方法能夠有效實現(xiàn)當(dāng)采樣參數(shù)設(shè)置不合理時較高諧波成分通過抗混疊濾波器濾波陡度帶造成切削力信號欠采樣現(xiàn)象的恢復(fù)，且恢復(fù)信號與測試信號時域波形的相對包絡(luò)誤差低于4%。

1 頻域近似稀疏理論

1.1 近似稀疏理論

x=Ψc，

(1)

其中，c為x在Ψ域的表示系數(shù)。如果N維向量c中有且僅有K個非零項，則稱c為稀疏度為K的稀疏向量，x為Ψ域上的K-稀疏信號。然而現(xiàn)實中嚴(yán)格稀疏的信號幾乎是不存在的，近似稀疏理論認(rèn)為，只要c中具有K個大系數(shù)且K?N，就可認(rèn)為是近似稀疏的，信號x可用相應(yīng)的K-稀疏信號來近似。在近似稀疏信號分解與重構(gòu)過程中，表示系數(shù)僅保留K個大系數(shù)，其它系數(shù)用0代替。

1.2 傅里葉矩陣與頻域近似稀疏理論

快速傅里葉變換(Fast Fourier Transform，F(xiàn)FT)是經(jīng)典的數(shù)字信號處理方法。FFT利用基函數(shù)exp(j2πkn/N)(k=0，1，2，…，N-1；n=0，1，2，…，N-1)對信號進(jìn)行頻域表示。長度為N的離散時間序列x的離散傅里葉變換及其逆向變換公式如下：

(2)

(3)

2 高速銑削狀態(tài)監(jiān)測欠采樣切削力信號恢復(fù)

高速切削狀態(tài)監(jiān)測系統(tǒng)中，系統(tǒng)固有的非線性以及采樣過程中的非線性會在輸出波形中產(chǎn)生基頻(機(jī)床主軸轉(zhuǎn)頻)的諧波成分，并在刀具初期磨損以及穩(wěn)定磨損前期處于主導(dǎo)地位。當(dāng)采樣參數(shù)設(shè)置不合理時，所有高于奈奎斯特頻率的高次諧波都將通過抗混疊濾波器的濾波陡度被折疊至奈奎斯特區(qū)間內(nèi)，造成信號的欠采樣現(xiàn)象。傳統(tǒng)的傅里葉變換無法得到切削力信號的真實頻譜信息，對切削系統(tǒng)狀態(tài)識別造成一定的困難?；陬l域近似稀疏的欠采樣信號分析方法可以有效重構(gòu)原始信號頻譜。

2.1 欠采樣引起的頻譜混疊原則

根據(jù)奈奎斯特-香農(nóng)采樣定理，模擬信號的數(shù)字化是通過等間隔的數(shù)字采樣樣本表示的。該定理要求信號的采樣頻率fs必須不小于信號中最高頻率的2倍：

2fH≤fs，

(4)

其中，fH為信號最高頻率。否則將會使信號發(fā)生欠采樣，產(chǎn)生混疊現(xiàn)象。模擬信號x=cos(2πf0t)，f0為模擬信號頻率，φ為模擬信號初相位。以采樣頻率fs=1/ts對該信號進(jìn)行采樣，則被測余弦信號序列x(n)=cos(2πf0nts)的N點離散傅里葉變換可以表示為

(5)

其中，T=Nts，0≤k≤N-1。因此，X(k)的正頻域部分為X+(k)=|p(k)|exp(jφk/(2N))，負(fù)頻域部分為X-(k)=|q(k)|exp(-jφk/2N)，|q(k)|=|[1-exp(j2π(Tf0-k))]/[1-exp(j2π(Tf0-k)/N))|，|p(k)|=|[1-exp(j2π(Tf0+k))]/[1-exp(j2π(Tf0+k)/N)]|，正負(fù)頻譜序列互為共軛，頻域輸出為一個雙邊譜。

工程中的模擬信號經(jīng)模數(shù)轉(zhuǎn)換及采樣后，僅保留頻譜位于0到fs/2的序列的輸出。然而抗混疊濾波器存在濾波陡度，信號中超過區(qū)間(0，fs/2)的諧波成分的頻譜將通過濾波陡度帶被折回到奈奎斯特區(qū)域以內(nèi)。如圖1所示，第一奈奎斯特區(qū)定義為從0 Hz到fs/2之間的頻譜區(qū)間，頻譜被分成無限個奈奎斯特區(qū)，每個區(qū)的寬度等于fs/2。圖1(a)表示被采樣信號的頻帶位于第一奈奎斯特區(qū)，因此頻帶可以正確輸出；圖1(b)表示被采樣信號的頻帶位于第二奈奎斯特區(qū)，輸出頻帶為原始頻帶的一次鏡像結(jié)果；圖1(c)表示被采樣信號的頻帶位于第三奈奎斯特區(qū)，輸出頻帶為原始頻帶的二次鏡像結(jié)果。綜上所述，欠采樣信號頻譜序列與信號實際頻譜序列的關(guān)系可由下式描述：

(6)

其中，conj{·}為取復(fù)數(shù)共軛算子。

2.2 基于頻域近似稀疏理論的欠采樣信號恢復(fù)算法

設(shè)有高速切削狀態(tài)監(jiān)測欠采樣信號離散時間序列{xorg(n)|n=1，2，…，N}，其中N為偶數(shù)，采樣頻率為fs，主軸轉(zhuǎn)頻為fa，則基于頻域近似稀疏理論的欠采樣信號恢復(fù)算法的步驟如下。

(7)

步驟3 計算出每個頻帶子集的真實頻率：

(8)

(9)

其中，

(10)

步驟5 利用逆向傅里葉變換重構(gòu)真實離散時間序列：

(11)

3 數(shù)值模擬驗證

為了驗證基于頻域近似稀疏理論的欠采樣信號恢復(fù)算法對于高速切削狀態(tài)監(jiān)測欠采樣信號恢復(fù)的有效作用，考慮了一種單頻率線性調(diào)幅正弦波(Linear Amplitude Modulation Sinusoidal Wave，LAMSW)進(jìn)行仿真分析，其形式如下式所示：

x(t)=A(t)cos(2πft+φ) ，

(12)

其中，幅值函數(shù)A(t)=1-kt且k∈[0，1)，f為頻率，φ為初相位。仿真過程中，取k=0.5，f=875.5 Hz，φ=π/3，并在fs=2 000和fs=1 000的兩種頻率下對輸入信號進(jìn)行采樣，得到的樣本點及頻譜如圖2所示。與理想采樣fs=2 000相比，當(dāng)fs=1 000時采樣得到的信號為嚴(yán)重欠采樣信號，信號的原始頻率875.5 Hz通過傳統(tǒng)的傅里葉變換已經(jīng)無法識別，只能得到原始頻率關(guān)于欠采樣奈奎斯特頻率fs/2=500的鏡像頻率124.5 Hz。為了恢復(fù)出模擬信號x(t)，使用文中提出的算法處理圖2(b)得到的具有欠采樣特征的樣本點。

對圖2(b)中的信號應(yīng)用FFT，僅保留第一奈奎斯特區(qū)中心頻率附近的100個幅值較大的譜線，其余置0，得到稀疏度為100的系數(shù)向量，如圖3(a)所示。根據(jù)欠采樣頻譜混疊原則，對系數(shù)向量重構(gòu)得到真實頻譜，如圖3(b)所示。最后利用IFFT實現(xiàn)時域信號恢復(fù)，如圖3(c)所示。

為了更加清晰展示欠采樣信號恢復(fù)結(jié)果，結(jié)合香農(nóng)采樣函數(shù)插值方法(式(13))對恢復(fù)的時域信號進(jìn)行重構(gòu)，得到相應(yīng)的幅值誤差和相對包絡(luò)誤差(式(14))，如圖4所示。需要指出的是，理論意義上的模擬信號無法通過計算機(jī)進(jìn)行運(yùn)算，筆者選取fs=10 000的時間域采樣序列x(n)(n=0，1，2，…，9999)對模擬信號x(t)進(jìn)行近似。

(13)

其中，Ts為時間分辨率。令env(·)為信號包絡(luò)計算算子，相對包絡(luò)誤差定義如下：

(14)

圖4中恢復(fù)信號與原始信號的最大幅值誤差和相對包絡(luò)誤差都因頻域截斷而產(chǎn)生不同程度的邊緣效應(yīng)，但當(dāng)t∈(0.2，0.8)時最大幅值誤差低于0.009，相對包絡(luò)誤差收斂于0.03幅度范圍內(nèi)，說明該方法總體上取得較好的信號恢復(fù)精度。上述分析中，構(gòu)造的仿真信號均是在頻域表示系數(shù)稀疏度為100的設(shè)定下得到的，為了進(jìn)一步研究稀疏度K對恢復(fù)結(jié)果的影響，構(gòu)造l2-誤差測度Er(式(15))研究不同稀疏度下的恢復(fù)精度，如圖5所示。當(dāng)稀疏度K≥20時，恢復(fù)信號的Er均小于0.01。因此，當(dāng)調(diào)幅信號衰減因子k∈[0，0.8]時，運(yùn)用筆者提出的方法對欠采樣信號實現(xiàn)恢復(fù)可以達(dá)到理想的效果。

(15)

4 工程測試信號應(yīng)用

表1 高速銑削實驗的相關(guān)參數(shù)

為了進(jìn)一步驗證基于頻域近似稀疏理論的欠采樣信號分析方法對實際高速切削測試數(shù)據(jù)的有效性，在Mazak FJV-200 UHS銑削中心上進(jìn)行高速銑削鋁合金實驗，相關(guān)實驗參數(shù)如表1所示。實驗過程中設(shè)置采樣頻率為2 000 Hz。截取加工穩(wěn)定階段切削力測試數(shù)據(jù)的時域波形及其頻譜如圖6所示(采樣時長1 s)。

觀察測試數(shù)據(jù)的頻譜圖，發(fā)現(xiàn)10個幅值較大的譜線，根據(jù)欠采樣頻譜混疊原則，計算每根譜線對應(yīng)頻點的真實頻率，如表2所示。發(fā)現(xiàn)有7根譜線的真實頻率位于第一奈奎斯特區(qū)間[0，1 000]Hz外，說明該測試數(shù)據(jù)的頻譜存在混疊現(xiàn)象。根據(jù)頻點所在的頻率區(qū)間將頻譜截斷為10個首尾相連的頻帶子集。觀察到各頻帶子集的時域波形近似為線性調(diào)幅正弦波k=0的情況，如圖7所示，可用LAMSW模型對每個頻帶子集進(jìn)行分析，根據(jù)式(9)計算出各個頻帶子集的真實頻率區(qū)間如表2所示。

由表2可以看出最大真實頻率為6 142 Hz，重構(gòu)真實頻譜最大頻率14 kHz。截取第一奈奎斯特頻譜，如圖8(a)所示。對重構(gòu)后的頻譜序列進(jìn)行IFFT得到時域波形，如圖8(b)所示。計算恢復(fù)信號與測試信號時域波形的相對包絡(luò)誤差，如圖8(c)所示。相對包絡(luò)誤差收斂于0.04幅度內(nèi)，且無明顯頻域截斷產(chǎn)生的邊緣效應(yīng)，說明筆者提出的欠采樣信號恢復(fù)方法在實際數(shù)據(jù)應(yīng)用上具有較高的可靠性與應(yīng)用價值。

表2 各頻帶子集頻率區(qū)間對照表

5 結(jié) 論

針對高速切削欠采樣信號頻譜混疊問題，提出了一種基于頻域近似稀疏的壓縮感知恢復(fù)方法。仿真及實測信號分析結(jié)果表明：

(1)恒定轉(zhuǎn)速條件下，高速銑削力信號主要包括主軸的工作頻率及其衍生出的高次諧波成分。頻譜上呈現(xiàn)出若干個能量集中的區(qū)間，可以利用近似稀疏分解理論對其進(jìn)行稀疏逼近。

(2)欠采樣條件下，總結(jié)了一種混疊成分諧波信息校正原則。該原則可用于高速銑削欠采樣動態(tài)信號混疊成分的識別及諧波信息的校正，為失真頻譜的修正提供理論指導(dǎo)。

(3)數(shù)值仿真和實測高速銑削力信號處理結(jié)果表明恢復(fù)信號與理想采樣信號的相對幅值誤差小于4%，驗證了所提方法的有效性。