具有非局部源雙重退化拋物方程解爆破時(shí)間下界的估計(jì)

吳秀蘭，楊曉新，吳彥銳

(1.長春理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，吉林 長春 130012；2.長春大學(xué) 電子信息工程學(xué)院，吉林 長春 130012)

1 預(yù)備知識

考慮具有非局部源雙重退化的拋物方程

(1)

其中：Ω?Rn(n≥3)是具有光滑邊界的有界區(qū)域；p>2；m≥1；初值u0(x)是在Ω上的非負(fù)連續(xù)函數(shù).當(dāng)m=1時(shí)，F(xiàn).C.Li和C.H.Xie[1]借助上下解的方法得到了問題(1)局部解的存在唯一性，并且證明了當(dāng)指標(biāo)q>p-1，且初值充分大的條件下，解在有限時(shí)刻爆破.非線性發(fā)展方程(1)刻畫了物理、化學(xué)和生物種群動力學(xué)中的很多現(xiàn)象，而且更加符合實(shí)際.近年來，國內(nèi)外許多學(xué)者對方程解的爆破與熄滅現(xiàn)象都展開了研究[2-4].當(dāng)m=1時(shí)，文獻(xiàn)[5-8]分別給出了方程解存在性和唯一性，與解的爆破條件和熄滅條件.在生活中解的爆破時(shí)間的下界可以給出一個(gè)安全的操控時(shí)間，對解爆破時(shí)間下界估計(jì)具有十分重要的意義.關(guān)于解爆破時(shí)間下界的估計(jì)的研究也取得了一系列的研究成果[9-12].特別地，文獻(xiàn)[9]給出了空間維數(shù)n=3時(shí)，具有非局部源p-Laplace方程解爆破時(shí)間下界的估計(jì).受到已有研究成果的啟發(fā)，本文運(yùn)用微分不等式技巧，針對空間維數(shù)n≥3給出問題(1)解爆破時(shí)間下界的估計(jì)，推廣并完善已有的結(jié)果[9].

2 主要結(jié)果

定理1假設(shè)2m(p-1)，若函數(shù)u(x，t)是問題(1)在有界區(qū)域Ω?Rn(n≥3)上的非負(fù)弱解，定義函數(shù)

其中參數(shù)k滿足

如果函數(shù)u(x，t)在φ(t)意義下有限時(shí)刻T爆破，那么T有下界

其中：

k1=km1|Ω|2，

結(jié)合問題(1)第一個(gè)方程

進(jìn)一步有

令

利用待定系數(shù)法，有

(2)

對式(2)中第二項(xiàng)應(yīng)用H?lder不等式得

(3)

結(jié)合式(2)—(3)有

(4)

對式(4)中的第二項(xiàng)應(yīng)用H?lder不等式有

(5)

其中：

結(jié)合式(4)—(5)，進(jìn)一步有

(6)

對式(6)中的第三項(xiàng)應(yīng)用Schwarz’s不等式，有

(7)

由Sobolev嵌入不等式

W1，p(Ω)

有

(8)

結(jié)合式(7)—(8)，并應(yīng)用帶ε的Young不等式有

(9)

其中ε是待定常數(shù).結(jié)合式(6)和(9)，有

令

k1=km1|Ω|2，

選取ε>0使得k3=0.取

從而

(10)

對式(10)關(guān)于時(shí)間t積分，有

3 結(jié)語

本文通過構(gòu)造輔助函數(shù)并結(jié)合微分不等式，給出了具有非局部源雙重退化拋物方程解爆破時(shí)間的下界估計(jì).可以通過構(gòu)造適當(dāng)?shù)妮o助函數(shù)，給出該問題解爆破時(shí)間的上界估計(jì)，從而進(jìn)一步給出該問題解的生命跨度.