一種基于混沌加密算法的差分跳頻方案設計

尹愛兵,李 毅

(安徽文達信息工程學院，合肥 231201)

0 引 言

短波通信通過電離層反射到達接收端，是軍事通信中遠距離通信的重要手段。隨著軍事通信與對抗技術的不斷發(fā)展和進步，短波通信迫切需要解決高速數(shù)據(jù)傳輸與抗跟蹤和抗跟蹤干擾問題。美國Sanders公司研制的關聯(lián)跳頻擴譜(Correlated Hopping Enhanced Spread Spectrum, CHESS)短波電臺采用差分跳頻體制，跳速高達5 000跳/s，最大傳輸速率可達19.2 kbit/s，是短波高速數(shù)據(jù)通信的一個重要發(fā)展方向。差分跳頻是一種新的跳頻技術，集跳頻圖案、信息調(diào)制與解調(diào)于一體，其中 G函數(shù)算法是差分跳頻的核心技術之一。文獻[1-2]提出了同余理論的G函數(shù)算法，該G函數(shù)實現(xiàn)簡單，具有良好的一維均勻性，但二維連續(xù)性和隨機性較差，很容易被破譯。本文在討論差分跳頻G函數(shù)基本原理的基礎上，分析了常規(guī)同余算法生成的G函數(shù)的缺點，設計了一種logistic混沌函數(shù)生成長周期偽隨機序列對跳變頻率進行加密的方案，并對加密后G函數(shù)的隨機性和均勻性進行了討論，比較了加密前后系統(tǒng)的性能。

1 差分跳頻基本原理

普通跳頻的頻率跳變由偽隨機碼控制，收發(fā)雙方在嚴格同步的基礎上進行解跳，而差分跳頻的頻率跳變由前一跳頻率和輸入信息符號確定[3]，其數(shù)學表達式為

式中：G()為特定的函數(shù)，由其決定差分跳頻的算法；fn為第n時刻差分跳頻的頻率，fn-1為當前n時刻前一次差分跳頻的頻率；xn為當前n時刻差分跳頻攜帶的信息數(shù)據(jù)。相鄰頻率之間的相關性攜帶了發(fā)送的信息數(shù)據(jù)，每跳信息數(shù)據(jù)最大可達4 bit，傳送速率可根據(jù)實際環(huán)境靈活調(diào)整。

要恢復原發(fā)送數(shù)據(jù)，在接收端對發(fā)送信號進行寬帶接收，對跳頻范圍內(nèi)的射頻信號進行快速傅里葉變換(Fast Fourier Transform, FFT)分析，檢測每跳對應的頻率，由G函數(shù)的逆變換恢復出攜帶的數(shù)據(jù)信息[4]，即

式中，G-1()為G()的逆映射。G函數(shù)決定了差分跳頻系統(tǒng)的性能，決定著系統(tǒng)接收與抗干擾的性能。

差分跳頻G函數(shù)可看成是一個頻率轉(zhuǎn)移函數(shù)，可以用有向圖表示，跳頻集中，每個頻點代表有向圖的節(jié)點，每跳傳輸?shù)谋忍貨Q定頻率轉(zhuǎn)移路徑。圖1所示為64個頻點組成的頻率轉(zhuǎn)移圖，圖中每個節(jié)點表示頻率集中的某一頻率點，從一個頻點轉(zhuǎn)移到另一個頻點用箭頭來表示，箭頭上為發(fā)送的數(shù)據(jù)。由于每跳傳遞2 bit數(shù)據(jù)，因此有00、01、10和11共4種情況，根據(jù)傳遞的數(shù)據(jù)從當前頻率轉(zhuǎn)移到下一頻率。由于每次傳遞2 bit數(shù)據(jù)，因此只有4種跳變路徑，從當前頻率只能轉(zhuǎn)移到固定的4個頻率之一，有限個頻率轉(zhuǎn)移路徑很容易被敵方干擾與偵獲。差分跳頻的接收，可以根據(jù)前后頻率之間轉(zhuǎn)移關系恢復發(fā)送的數(shù)據(jù)。

圖1 64個頻點頻率轉(zhuǎn)移圖

2 G函數(shù)跳變頻率混沌映射方案

假設某差分跳頻系統(tǒng)的頻率集為{f|f0，f1，…，fM-1}，M為頻率集中頻點個數(shù)；每跳傳輸?shù)男畔⒈忍亻L度為HBP, 信息符號對應的集合為{Xn|0,1,…,2HBP-1}。

文獻[1]給出了同余常規(guī)G函數(shù)算法：

式中，a和b為互質(zhì)整數(shù)。該跳頻圖案一維均勻性好，但二維均勻性較差，主要是扇出系數(shù)較少，很難隨機轉(zhuǎn)移到每個頻點。為增加扇出系數(shù)，增加輸入信息序列長度，將跳頻等概地轉(zhuǎn)移到各頻點，也可以對生成的跳頻頻率進行隨機擾動，映射到每個頻率點。

由于跳頻頻率為頻率集中的某一個頻點，采用隨機擾動方法將頻點進行加密，其實現(xiàn)方案如圖2所示。由圖可知，在常規(guī)G函數(shù)基礎上對跳變頻率進行擾動，將前后相關的差分跳頻頻點擾亂為隨機序列，切割前后頻點之間的關系，提高差分跳頻序列的保密能力，其性能的好壞與采用的混沌序列有關。加密算法主要與隨機跳變頻率序號有關，與具體頻率沒有關系，每跳加密時從偽隨機序列中取N序列長度作為擾動序列，與每跳頻點序號進行運算，生成新的頻點序號。假設頻率集中頻點個數(shù)為2N，隨機二進制序列為N位，最簡單的擾亂即將兩二進制序列進行模N加運算，可得到新的混沌序列。

圖2 差分跳頻G函數(shù)加密通信系統(tǒng)

在接收端，對接收的射頻信號進行ADC，再進行FFT運算，剔除無關頻點，只對頻率集對應頻點進行檢測，解跳出每個跳頻頻率對應的頻率集序號，再對頻點序號進行解密，恢復G函數(shù)產(chǎn)生的頻點序號，然后利用前后頻點之間的相關性恢復發(fā)送數(shù)據(jù)[5]。在解跳中，由于是按照每跳進行加密解密，因此，加密后的差分跳頻通信系統(tǒng)需要跳同步，在跳同步的基礎上接收端采用與發(fā)送端相同的偽隨機序列進行解密，否則無法恢復出發(fā)送數(shù)據(jù)。

3 logistic 混沌序列的數(shù)字實現(xiàn)

混沌信號隨機性好，類似于通信中的噪聲，并且對初始值比較敏感，是當前研究偽隨機序列的一種新的實現(xiàn)方法。logistic方程為典型的混沌系統(tǒng)，易于實現(xiàn)，其數(shù)學表達式為

式中，μ為系統(tǒng)參數(shù)。logistic映射的動態(tài)行為與參數(shù)μ有關，隨著參數(shù)μ取值不同，表現(xiàn)出周期性或混沌。當3.569 99<μ≤4.000 00、xn初值取0～1之間任一數(shù)值時，經(jīng)多次迭代后，取值進入混沌狀態(tài)，否則會表現(xiàn)出周期性。

logistic方程每次迭代得到的是混沌隨機數(shù)，結果為(0,1)之間的任意值。要得到隨機數(shù)字序列，需要對logistic方程進行數(shù)字化，對方程中的數(shù)值采用多位二進制量化。

首先對μ值進行量化，由于μ為(3，4)之間的數(shù)值，故對式(4)做如下變換：

式中，d取值區(qū)間為(0，1)?？梢赃M行小數(shù)量化，連續(xù)的實數(shù)μ被量化為有限長的數(shù)字序列進行運算。

在logistic混沌離散化實現(xiàn)過程中，由于數(shù)字信號處理器件的有效字長效應，系統(tǒng)性能會使混沌序列出現(xiàn)短周期現(xiàn)象，導致混沌序列安全性降低。

對于混沌序列的周期性，可以通過自相關進行檢測[6]。假設x(n)為混沌二進制序列，其自相關函數(shù)Rx(m)可定義為

圖3以32 bit logistic 隨機序列發(fā)生器為例，仿真對比了32 bit量化logistic序列長度的周期性。圖3(a)所示為式(5)中參數(shù)取值進行32 bit量化后多次迭代產(chǎn)生序列長度為800 000的自相關性能。如圖所示，圖中出現(xiàn)了明顯的周期譜線，說明量化后的混沌序列存在短周期現(xiàn)象。為提高混沌序列長度，可以采用增加量化長度或采用M序列進行擾動。圖3(b)所示為對迭代次數(shù)每隔4 096進行6 bit隨機加擾后的自相關函數(shù)，如圖所示，只有一條明顯的譜線，與理想的偽隨機序列自相關特性類似。對比加擾前后自相關函數(shù)可知，通過加擾可以得到更長周期混沌序列。

圖3 32 bit混沌序列自相關函數(shù)

4 G函數(shù)性能校驗

短波差分跳頻信號是一種重要的軍事通信手段，需要防止對方干擾與截獲破譯，因此，跳頻碼頻率跳變要有良好的隨機性，防止敵方利用相關性進行破譯。為提高抗阻塞干擾能力，要求發(fā)射的頻率在跳頻帶寬內(nèi)隨機均勻分布，可對其均勻性、隨機性和系統(tǒng)誤符號率進行檢驗[7]。

4.1 均勻性分析

跳頻碼的均勻性分為一維和二維均勻性。一維均勻性即某一段時間內(nèi)每個頻點出現(xiàn)的次數(shù)基本一致。對于N個頻點的差分跳頻集，每個頻點出現(xiàn)的概率相同，為1/N。二維均勻性表示在當前頻率情況下轉(zhuǎn)移到下一個頻點的概率，從抗偵察角度來說，應該等概跳變到每個頻點，其校驗可以由第i個頻點后出現(xiàn)第j個頻點的概率來求得。

表1為對本文G函數(shù)進行均勻性校驗的數(shù)據(jù)，校驗采用隨機分布的二進制數(shù)據(jù)，0、1等概分布，初始頻點為頻率集中任意點，對一維和二維均勻性校驗采用數(shù)理統(tǒng)計中的χ2檢驗，假設頻點q=64,跳頻長度L=16 384，信息符號為隨機序列，取50組進行校驗。根據(jù)文獻[1]分析，對于指定顯著性水平α=0.05情況下，χ2理論值為82.2，由表1仿真結果可知，不論混沌序列量化為16位或32位，檢測數(shù)據(jù)計算值都小于理論值，混沌映射后的差分跳頻碼具有較好的一維均勻性。二維均勻性校驗中，χ2理論值為4 244.7，當logistic量化為32 bit時，產(chǎn)生的混沌序列擾亂可以滿足要求；當量化為16 bit時，量化后的混沌序列擾亂的二維均勻性超過理論值，不滿足要求。因此，要產(chǎn)生滿足要求的差分跳頻碼，logistic混沌序列必須采用32 bit量化。

表1 一維與二維均勻性校驗

4.2 跳頻碼功率譜

跳頻信號為典型的隨機信號，可以防止對方的偵察和干擾，自相關函數(shù)或功率譜密度能直觀地反映信號之間的相關性。自相關函數(shù)求解較復雜，采用功率譜估計更方便，目前求解方法較多，有周期圖法、Welch法和短時傅里葉變換等，一般采用平滑周期圖平均進行估計。

本文直接調(diào)用Matlab軟件中的welch功率譜估計函數(shù)pwelch()對采用常規(guī)G函數(shù)與加密后的G函數(shù)進行功率譜估計。假設跳頻頻點為64個，一跳傳遞2 bit數(shù)據(jù)，圖4所示為兩種跳頻碼歸一化功率譜，橫坐標為頻率，縱坐標為功率；圖4(a)所示為常規(guī)G函數(shù)產(chǎn)生的跳頻碼功率譜，頻譜集中在低頻端，隨機性差；圖4(b)所示為常規(guī)G函數(shù)跳頻碼加密后的功率譜，功率分布于各頻率上，頻譜相對平坦，隨機性好。對比加密前后頻譜可知，常規(guī)G函數(shù)生成的頻點相關性強、變化慢和抗窄帶干擾能力弱，而加密后的頻點在全頻段隨機變化，具有較強的抗干擾能力。

圖4 G函數(shù)功率譜

4.3 誤符號性能分析

由圖1可知，從接收端來看，差分跳頻通信系統(tǒng)可看成多進制頻移鍵控(Multi Frequency Shift Keying，MFSK)調(diào)制，接收端在寬帶接收中從M個頻點中選擇發(fā)送的頻率。同余差分跳頻從某一個頻點出發(fā)只能轉(zhuǎn)移到4個固定的頻點，接收端在解跳前一頻率基礎上根據(jù)同余算法可推測出下一跳的4個轉(zhuǎn)移頻點，只要從4個頻點中選擇一個即可，可等效為4進制頻移鍵控(4 Frequency Shift Keying, 4FSK)調(diào)制。本文在同余算法基礎上，通過加擾改善二維均勻性時，每個頻點都可以隨機跳變到頻率集中任一個頻點上，從接收解調(diào)來看，可以等效為NFSK調(diào)制(N為頻率點數(shù)目)。根據(jù)通信系統(tǒng)性能分析可知，在同樣的通信條件下，由于同余差分跳頻可以利用冗余頻點減少頻點檢測的差錯率，其性能要好于本方案。

為比較加密后系統(tǒng)性能，根據(jù)圖2對差分跳頻系統(tǒng)進行建模。假設差分跳頻頻率集為64個頻點，每跳傳遞2 bit數(shù)據(jù)，信道為理想情況(假設為高斯白噪聲信道)，每個頻點間隔10 kHz，在2.56 MHz帶寬內(nèi)隨機選擇64個頻點，接收機采用寬帶接收，采樣后的信號是跳頻信號與寬帶噪聲的混合信號，在一跳周期內(nèi)采樣1 024點，對采樣的信號做1 024點 FFT分析，分析各頻點落入512個FFT頻點上的信號大小。在FFT頻點上采用能量比較檢測法，檢測出頻點在頻率集中的序號。圖5仿真了64個頻點在高斯白噪聲信道下，采用FFT進行解調(diào)的系統(tǒng)性能，本方案在64個頻點上進行檢測，同余算法利用與前一頻點相關性在4個頻點進行檢測，由仿真結果可知，利用相關性在有限個頻點進行檢測，在同樣信噪比情況下，誤符號率較低，而在全頻點進行檢測，受干擾點較多，被干擾的概率大，系統(tǒng)性能較差。

圖5 差分跳頻FFT檢測系統(tǒng)性能

5 結束語

本文對常規(guī)同余G函數(shù)生成的頻點序號采用logistic混沌映射產(chǎn)生的偽隨機序列進行了加密擾亂，加密去除了前后頻點之間的相關性，仿真分析了加密前后的隨機性、均勻性與誤符號性能，經(jīng)過加密對有規(guī)律的頻點進行了隨機擾亂，破壞了相關性，提高了二維均勻性與隨機性，但解跳無法利用前后相關性，與利用相關性解跳相比，系統(tǒng)性能有所下降，但仍能滿足實際需要。