基于相位展開及拼接算法的一種高精度大量程寬光譜干涉顯微術(shù)

趙文豪, 李 俊, 杜 凱， 熊 亮， 尹韶云， 胡建明， 王金玉*

1. 中國(guó)科學(xué)院重慶綠色智能技術(shù)研究院， 重慶 400714

2. 中國(guó)科學(xué)院大學(xué)， 北京 100049

3. 重慶師范大學(xué)物理與電子工程學(xué)院， 重慶 401331

引 言

寬光譜干涉顯微術(shù)因非接觸、 無(wú)損和快速等優(yōu)點(diǎn)被廣泛應(yīng)用于高精密檢測(cè)領(lǐng)域[1-3]。 系統(tǒng)解算樣品形貌通常采用垂直掃描干涉術(shù)(VSI)[4-5]對(duì)亞微米至毫米級(jí)特征進(jìn)行測(cè)量， 以及相移干涉術(shù)(PSI)[6-7]對(duì)納米級(jí)特征進(jìn)行測(cè)量。 其中， 垂直掃描干涉術(shù)沿光軸運(yùn)動(dòng)顯微物鏡焦面并采集干涉圖像序列， 根據(jù)各像素點(diǎn)干涉信號(hào)的零光程差位置解算樣品高度信息， 雖然其精度只有亞微米級(jí)， 該方法具有量程較大的優(yōu)點(diǎn)。 而相移干涉術(shù)原理是在單一焦面位置采集若干帶有樣品表面信息的干涉條紋圖像， 計(jì)算其相位信息， 以獲得樣品表面高度分布[8-9]， 其精度可以達(dá)到納米級(jí)， 但通常僅用于平滑表面， 高度變化對(duì)應(yīng)的相位信息應(yīng)包裹在[-π, π]區(qū)間內(nèi)。

為了實(shí)現(xiàn)高精度、 大量程寬光譜干涉顯微測(cè)量， 研究人員采用包裹相位展開算法[10-11]。 對(duì)于反射式寬光譜干涉顯微系統(tǒng)， 當(dāng)待測(cè)物體表面形貌變化大于1/2波長(zhǎng)時(shí)， 對(duì)應(yīng)相位就會(huì)超出[-π, π]區(qū)間， 由反三角函數(shù)取模壓縮到[-π, π]區(qū)間出現(xiàn)相位跳變， 此時(shí)相位分布稱為包裹相位。 相位展開算法將包裹相位圖中每個(gè)像素點(diǎn)相位值加上或減去若干2π整數(shù)倍以獲取真實(shí)相位， 進(jìn)而解算出高度分布。 包裹相位展開不僅應(yīng)用于寬光譜干涉顯微術(shù)， 也是數(shù)字全息技術(shù)， 光柵投影測(cè)量技術(shù)， 合成孔徑雷達(dá)等技術(shù)的關(guān)鍵步驟[12-14]。 包裹相位展開的效果影響著測(cè)量結(jié)果的準(zhǔn)確性。 目前主流的包裹展開算法主要分為兩種： 路徑跟蹤算法和路徑無(wú)關(guān)算法[15]。 路徑跟蹤算法的效果取決于相位展開時(shí)所選擇的積分路徑， 選擇不同路徑進(jìn)行相位展開， 會(huì)得到不同的展開結(jié)果。 Goldstein提出的枝切法(Branch-Cut)[16]是一種經(jīng)典的路徑跟蹤算法， 通過(guò)計(jì)算殘差點(diǎn)的正負(fù)極性來(lái)設(shè)置枝切線， 使解包裹的積分路線上的正負(fù)極性達(dá)到平衡以獲取真實(shí)相位。 路徑跟蹤算法在多數(shù)情況下能取得不錯(cuò)的效果， 但當(dāng)積分路徑經(jīng)過(guò)的像素點(diǎn)間存在有噪聲、 欠采樣， 斷點(diǎn)等情形時(shí)， 使用路徑跟蹤算法對(duì)相位展開無(wú)法得到理想結(jié)果[17-18]。 最小范數(shù)法[19-20]是路徑無(wú)關(guān)算法的代表， 其中最經(jīng)典的是最小二乘法(Least-Square)[21]， 最小范數(shù)展開過(guò)程被視為一個(gè)全局優(yōu)化問(wèn)題， 在保證包裹相位微分和解包裹相位局部微分相等的前提下， 使解包裹相位最逼近真實(shí)相位， 即包裹相位微分和預(yù)測(cè)真實(shí)相位局部微分之差最小。 這種算法具有平滑作用， 在某些情況下會(huì)導(dǎo)致誤差傳遞。

但是， 寬光譜干涉顯微系統(tǒng)在指定焦面位置所獲得的條紋質(zhì)量， 依賴于顯微物鏡焦深范圍、 寬光譜光源的相干長(zhǎng)度， 當(dāng)樣品表面起伏超出焦深或者光源相干長(zhǎng)度的限定范圍時(shí)， 條紋模糊或?qū)Ρ榷葐适В?包裹相位展開所獲得的結(jié)果產(chǎn)生較大誤差甚至錯(cuò)誤。

本論文提出一種新的高精度、 大量程寬光譜干涉顯微測(cè)量方法： 以干涉條紋調(diào)制度量化條紋質(zhì)量， 定義當(dāng)前焦面位置條紋調(diào)制度高于設(shè)定閾值的區(qū)域?yàn)槔硐雲(yún)^(qū)域， 即條紋對(duì)比度較高、 條紋清晰的區(qū)域， 以相位展開算法獲得理想?yún)^(qū)域中的樣品高度分布； 縱向移動(dòng)物鏡焦平面， 將不同焦面位置獲取的樣品高度進(jìn)行拼接， 可獲得擴(kuò)展量程的高精度形貌測(cè)量結(jié)果。 經(jīng)仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證， 本文提出的相位展開及拼接算法可達(dá)到寬光譜干涉顯微術(shù)中相移干涉測(cè)量方法的精度， 并將其量程從數(shù)百納米拓展到數(shù)微米。 且理論上本測(cè)量方法量程可以覆蓋物鏡的全工作距離。

1 基于調(diào)制度評(píng)價(jià)函數(shù)的相位展開及拼接算法

1.1 寬光譜干涉顯微系統(tǒng)

如圖1所示， 驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)采用典型的Linnik對(duì)稱結(jié)構(gòu)寬光譜白光干涉系統(tǒng)[22]， 參考臂和樣品臂光路對(duì)稱用以消除色差。 寬光譜白光光源(LED， Thorlabs M730L4)中心波長(zhǎng)為730 nm， 譜寬30 nm， 采取科勒方式獲得樣品面均勻照明。 分束鏡(BS)將照明光束分別照明位于參考臂和采樣臂中顯微物鏡(50×, NA 0.55, Nikon)焦面上的參考鏡面和樣品面， 并結(jié)合雙臂反射回光經(jīng)物鏡L(Nikon筒鏡， 焦距200 mm)聚焦到像機(jī)光敏面， 紅色虛線為光源共軛關(guān)系， 黑色虛線為物像共軛關(guān)系。 雙臂干涉條紋圖像由CCD(Baumer, VCXU-50M, 像素3.45 μm×3.45 μm， 分辨率2 448×2 048)像機(jī)采集。 參考鏡面安裝壓電驅(qū)動(dòng)器(PZT, 邁客榮， PZT150-7-60-VS12) 用于產(chǎn)生周期性機(jī)械振蕩。 一維位移臺(tái)Ts0用于垂直調(diào)節(jié)樣品臺(tái)及樣品實(shí)現(xiàn)采樣焦面調(diào)節(jié)。 二維位移臺(tái)Ts1(Thorlabs, MSC202)用于對(duì)準(zhǔn)樣品。 一維位移臺(tái)Ts2用于調(diào)節(jié)參考臂長(zhǎng)使得參考鏡面與樣品臂焦面等光程。

1.2 相移干涉術(shù)原理

相移干涉術(shù)是一種利用相位信息計(jì)算樣品表面形貌的測(cè)量技術(shù)， 最開始應(yīng)用于單色光相移測(cè)量系統(tǒng)中， 常見的相移算法有三步相移法、 四步相移法、 五步相移法、 Carre相移法[23-24]等。 下面以四步相移法為例， 簡(jiǎn)述相移干涉測(cè)量技術(shù)原理， 在位置n處寬光譜白光干涉信號(hào)光強(qiáng)I(n)為

I(n)=I0{1+M(n)cos[φ(n)]}

(1)

圖1 寬光譜干涉顯微系統(tǒng)原理圖

式(1)中，I0為背景光強(qiáng)，M(n)為干涉條紋調(diào)制度，φ(n)為雙臂相位差。

四步相移過(guò)程中， 要求微位移步長(zhǎng)為λ0/8，λ0為寬光譜光源中心波長(zhǎng)， 其對(duì)應(yīng)的相位變化量為π/2， 微位移系統(tǒng)每次移動(dòng)結(jié)束， 圖像采集系統(tǒng)采集一張干涉圖像， 不同位置干涉圖各像素點(diǎn)的灰度值可以由式(2)表示

(2)

式(2)中，Ii(x,y)為四步相移第i幀干涉圖灰度值， 各像素點(diǎn)主相位分布可由式(3)計(jì)算

(3)

在編程計(jì)算φ(x,y)時(shí)， 需要用到四象限反正切函數(shù)arctan2f(x,y)， 該函數(shù)計(jì)算所得相位被限制在[-π, π]內(nèi)， 所以四步相移算法所獲得的相位信息φ(x,y)是包裹在[-π, π]區(qū)間內(nèi)的，φ(x,y)被稱為包裹相位， 需要進(jìn)行相位展開以獲取真實(shí)相位φ(x,y)。 展開后的真實(shí)相位可通過(guò)式(4)計(jì)算樣品的高度分布h(x,y)。

(4)

相移干涉術(shù)具有納米級(jí)精度， 但僅適用于平滑表面測(cè)量， 高度分布所獲得的相位包裹在[-π, π]區(qū)間內(nèi)。 研究人員采用包裹相位展開算法以實(shí)現(xiàn)高精度、 大量程寬光譜干涉顯微測(cè)量。

但是， 當(dāng)樣品表面變化過(guò)大時(shí)， 干涉圖離焦區(qū)域會(huì)變模糊， 該區(qū)域?qū)?yīng)的測(cè)量結(jié)果會(huì)產(chǎn)生較大誤差甚至錯(cuò)誤。 同理， 由于寬光譜干涉顯微系統(tǒng)一般為反射式， 光束雙光程往返使得樣品表面起伏超出1/2光源相干長(zhǎng)度的區(qū)域干涉條紋對(duì)比度喪失， 導(dǎo)致系統(tǒng)性測(cè)量誤差。

1.3 基于調(diào)制度評(píng)價(jià)函數(shù)的相位展開及拼接算法

基于調(diào)制度評(píng)價(jià)函數(shù)的相位展開及拼接算法作為一種新的高精度、 大量程寬光譜干涉顯微測(cè)量方法： 以干涉條紋調(diào)制度量化條紋質(zhì)量， 以相位展開算法獲得在當(dāng)前焦面位置理想?yún)^(qū)域的樣品高度分布； 將不同焦面位置獲取的樣品高度進(jìn)行拼接， 可獲得擴(kuò)展量程的高精度形貌測(cè)量能力。

步驟一： 計(jì)算干涉條紋調(diào)制度并設(shè)置閾值標(biāo)記理想?yún)^(qū)域

相對(duì)于相位差分方差(PDV)、 最大相位梯度(MPG)等眾多的包裹相位質(zhì)量評(píng)價(jià)函數(shù)， 調(diào)制度是一種直接反映干涉圖質(zhì)量好壞的評(píng)價(jià)函數(shù)[25-27]。

像素(x,y)位置條紋調(diào)制度M(x,y)定義為，

(5)

式(5)中，N為相移測(cè)量的步數(shù)，n=1, 2, …,N，In(x,y)為第n幀干涉圖灰度值。

以調(diào)制度作為干涉圖質(zhì)量評(píng)價(jià)函數(shù)， 我們?cè)O(shè)置閾值標(biāo)記干涉信號(hào)質(zhì)量較好區(qū)域(理想?yún)^(qū)域)和干涉質(zhì)量不佳區(qū)域(問(wèn)題區(qū)域)， 對(duì)調(diào)制度大于閾值的像素點(diǎn)進(jìn)行相位展開， 調(diào)制度小于閾值的不進(jìn)行處理。

某掃描位置計(jì)算所得包裹相位值的調(diào)制度分布示意圖如圖2，Ra為調(diào)制度大于所設(shè)閾值區(qū)域，Rb為調(diào)制度小于所設(shè)閾值區(qū)域。 閾值的選擇十分關(guān)鍵， 如果閾值設(shè)置太大， 會(huì)使許多質(zhì)量尚可的點(diǎn)被遺漏， 閾值設(shè)置太小， 則會(huì)導(dǎo)致許多質(zhì)量不好的像素點(diǎn)被認(rèn)為是可靠的像素點(diǎn)進(jìn)行相位展開， 可能導(dǎo)致相位展開失敗。

圖2 閾值化調(diào)制度分布示意圖

標(biāo)志矩陣在像素(x,y)處取值Pv(x,y)為

(6)

式(6)中，M(x,y)為調(diào)制度,km為設(shè)定的閾值， 標(biāo)志為1的區(qū)域?yàn)槔硐雲(yún)^(qū)域。

步驟二： 使用相位展開算法展開理想?yún)^(qū)域包裹相位

菱形相位展開算法(rhombus algorithm)[28]是一種經(jīng)典的路徑跟蹤算法， 菱形相位展開算法有著較快的運(yùn)算速度， 但其抗干擾能力較為一般， 在實(shí)際測(cè)量中， 由于各種噪聲的影響， 菱形相位展開算法所得到的結(jié)果并不理想， 由于路徑跟隨算法積分的累加作用， 展開相位會(huì)產(chǎn)生拉線和孤島效果。 但在本論文中， 設(shè)置合適的閾值標(biāo)記出問(wèn)題區(qū)域和理想?yún)^(qū)域后， 只對(duì)理想?yún)^(qū)域的包裹相位進(jìn)行菱形展開， 問(wèn)題區(qū)域不展開， 在不同焦面位置采集干涉圖解算真實(shí)相位并重復(fù)進(jìn)行以上操作。

菱形相位展開原理如圖3所示， 以某起始點(diǎn)(點(diǎn)1)為種子像元， 以此像元為中心向其相鄰四個(gè)像素點(diǎn)進(jìn)行擴(kuò)散解包裹， 起始點(diǎn)鄰域的四個(gè)像素點(diǎn)展開完成后， 再依次以這四個(gè)像素點(diǎn)為中心進(jìn)行相位展開， 完成下一輪菱形相位展開, 在上一輪已經(jīng)展開的點(diǎn)不進(jìn)行展開， 直至所有像素點(diǎn)都被展開。

圖3 菱形相位展開算法原理

步驟三： 相位拼接

不同焦面位置解算的真實(shí)相位， 需要拼接以獲得完整的連續(xù)相位分布。 如圖4， 位置Ⅰ、 Ⅱ?qū)?yīng)的展開相位矩陣R1和R2，R1和R2的重合區(qū)域記為R12。

重合區(qū)域R12為兩次測(cè)量標(biāo)志矩陣均為1的區(qū)域， 為了進(jìn)行相位拼接， 需要計(jì)算重合區(qū)域的相位值均差Δφ12

(7)

式(7)中，Pv1和Pv2為位置Ⅰ和Ⅱ?qū)?yīng)的標(biāo)志矩陣， °為Hardmar積，N12為重合區(qū)域像素?cái)?shù)， 根據(jù)重合區(qū)域的相位值均差Δφ12， 不同位置相位分布圖按式(8)拼接

圖4 兩個(gè)不同焦面位置展開相位關(guān)系圖

φstitch(x,y)=

(8)

將所有位置的區(qū)域展開相位拼接完后， 即可得到樣品完整的相位分布。 減去最小二乘法擬合的平面以去傾斜[29]后再通過(guò)式(4)即可得到樣品表面高度分布。

2 仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果

2.1 仿真

寬光譜干涉顯微系統(tǒng)(圖1)Ts0垂直位移過(guò)程中， 寬光譜白光干涉信號(hào)光強(qiáng)[式(1)]為，

(9)

式(9)中，z為垂直掃描位置，z0為干涉臂長(zhǎng)，lc為相干長(zhǎng)度，λ0為寬光譜白光光源中心波長(zhǎng)，k為傾斜因子(樣品相對(duì)光軸的傾斜程度)，I0為背景光強(qiáng)。

在數(shù)值模擬中， 以Matlab的peaks函數(shù)作為待測(cè)物體， 其高度分布如圖5(a)所示， 傾斜因子k為0.02。 在焦面位置Ⅰ和Ⅱ分別獲取干涉圖5(b)和(c)， 由于引入了傾斜因子k， 仿真所獲得的干涉條紋更接近實(shí)際測(cè)量中的干涉條紋。 在這兩個(gè)焦面位置使用四步相移算法獲取包裹相位， 計(jì)算對(duì)應(yīng)調(diào)制度[式(5)]如圖5(d)和(e), 在干涉條紋模糊區(qū)域調(diào)制度較低。

圖5 相位展開及拼接仿真

對(duì)各位置理想?yún)^(qū)域展開相位進(jìn)行拼接, 并利用最小二乘法去傾斜后得到重建后的三維結(jié)構(gòu)如圖6所示。 為對(duì)比起見， 分別以最小二乘法和枝切法恢復(fù)的三維結(jié)構(gòu)圖6(a)和圖6(b)， 可以看出， 本文提出的相位展開及拼接結(jié)果圖6(c)優(yōu)勢(shì)明顯， 可以很好克服條紋模糊等情況下包裹相位不準(zhǔn)確帶來(lái)的問(wèn)題。

2.2 實(shí)驗(yàn)

實(shí)驗(yàn)采取的待測(cè)微納結(jié)構(gòu)是某種加工后硅片表面的半球形結(jié)構(gòu)， 其粗高度為3～4 μm， 本次實(shí)驗(yàn)對(duì)半球形陣列中的某一個(gè)半球形進(jìn)行測(cè)量。

在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中， 分別在掃描位置Ⅰ， Ⅱ和Ⅲ處， 驅(qū)動(dòng)壓電陶瓷步進(jìn)N8進(jìn)行四步位移并采集干涉圖像， 共計(jì)12張干涉圖像， 并使用四步相移法獲取三個(gè)不同位置的包裹相位， 再根據(jù)評(píng)價(jià)函數(shù)以及閾值標(biāo)記出問(wèn)題區(qū)域和理想?yún)^(qū)域， 對(duì)理想?yún)^(qū)域進(jìn)行相位展開， 最后依據(jù)式(8)將三個(gè)位置的理想?yún)^(qū)域展開相位進(jìn)行拼接， 即可得到整個(gè)待測(cè)物體的完整三維面型。

圖6 通過(guò)三種算法仿真獲得的三維結(jié)構(gòu)

圖7(a)為微納結(jié)構(gòu)的灰度圖， (b)—(d)為三個(gè)典型位置的調(diào)制度分布。 在實(shí)際測(cè)量過(guò)程中， 由于顯微物鏡焦深限制和待測(cè)物體部分反射較差等原因?qū)е虏糠謪^(qū)域包裹相位質(zhì)量較差， 必須設(shè)置一個(gè)合適的閾值以區(qū)分問(wèn)題區(qū)域和理想?yún)^(qū)域， 經(jīng)過(guò)優(yōu)化， 我們?cè)O(shè)置閾值0.3進(jìn)行三維重建， 為了使實(shí)驗(yàn)結(jié)果更加直觀, 分別采用最小二乘法、 枝切法、 相位展開及拼接方法對(duì)測(cè)試微納結(jié)構(gòu)進(jìn)行三維重建， 并提取y=500時(shí)的數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比。

圖8(a)和(d)為最小二乘法所恢復(fù)的三維面型和紅線所示橫截面內(nèi)高度分布， 超出了粗略高度約10多μm， 誤差嚴(yán)重。 圖8(b)是枝切法恢復(fù)的三維面型， 明顯可見其在邊緣出現(xiàn)了拉絲現(xiàn)象， 圖8(e)所展示的橫截面可以看出枝切法恢復(fù)的橫截面存在大量噪聲。 本文所提方法解得三維面型圖8(c)和在橫截面圖8(f)， 由于測(cè)試樣品底部區(qū)域反射率過(guò)低， 干涉條紋不明顯， 獲取包裹相位出現(xiàn)誤差， 導(dǎo)致展開相位橫截面在底部產(chǎn)生了噪聲， 但其對(duì)整體高度的還原并無(wú)影響， 高精度還原了測(cè)試微納結(jié)構(gòu)的三維形貌。

圖8 三種算法重建結(jié)果

3 結(jié) 論

基于相移干涉算法的寬光譜干涉顯微術(shù)， 具有納米級(jí)高精度， 但僅適用于平滑表面測(cè)量， 高度分布對(duì)應(yīng)的相位應(yīng)包裹在[-π， π]區(qū)間內(nèi)。 采用包裹相位展開算法時(shí)， 量程受到顯微物鏡焦深范圍、 寬廣譜光源干涉長(zhǎng)度限制， 當(dāng)樣品表面高度變化過(guò)大時(shí)， 超范圍區(qū)域會(huì)變模糊或失去對(duì)比度， 導(dǎo)致測(cè)量誤差或者錯(cuò)誤， 相位展開算法無(wú)法給出正確樣品高度分布。

提出一種基于相位展開及拼接算法的高精度、 大量程寬光譜干涉顯微測(cè)量方法。 仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了該方法的有效性。 不僅可保持寬光譜干涉顯微術(shù)中相移干涉術(shù)的納米級(jí)精度， 相位展開可以將量程拓展至波長(zhǎng)量級(jí)， 進(jìn)而通過(guò)相位拼接將其量程從數(shù)百納米拓展到數(shù)微米。

本文提出測(cè)量方法將不同焦面條紋調(diào)制度高于設(shè)定閾值的區(qū)域定義為理想?yún)^(qū)域， 以納米精度解算出對(duì)應(yīng)區(qū)域樣品的高度分布。 而不同的理想?yún)^(qū)域通過(guò)垂直位移臺(tái)移動(dòng)顯微物鏡焦面解算獲得。 測(cè)量過(guò)程中， 相鄰理想?yún)^(qū)域?qū)?yīng)的位移距離應(yīng)保證二者之間存在重疊區(qū)域(圖4)以實(shí)現(xiàn)高精度相位拼接[式(7)]。 由于相鄰理想?yún)^(qū)域之間的部分區(qū)域重疊， 確保了系統(tǒng)測(cè)量精度不依賴于位移部件。 本文提出測(cè)量方法整個(gè)擴(kuò)展量程中可達(dá)到納米級(jí)精度， 且理論上其量程可以拓展到顯微物鏡的全工作距離。