備評一致 教學一體 提升質(zhì)量
——初中數(shù)學基礎(chǔ)性課時作業(yè)的設(shè)計與實施

莊 宇，趙桂芳

（沈陽市教育研究院，遼寧教育學院）

2021 年7 月，中共中央辦公廳、國務(wù)院辦公廳印發(fā)《關(guān)于進一步減輕義務(wù)教育階段學生作業(yè)負擔和校外培訓負擔的意見》（以下簡稱《意見》）指出，要深化教育教學改革，提升課堂教學質(zhì)量，優(yōu)化教學方式，全面壓減作業(yè)總量和時長，減輕學生過重作業(yè)負擔。為此，如何提高作業(yè)設(shè)計與實施的質(zhì)量就成為落實“雙減”政策的首要任務(wù)。

目前，初中學生數(shù)學學科作業(yè)負擔過重主要體現(xiàn)為作業(yè)數(shù)量過多、作業(yè)內(nèi)容超標、作業(yè)時間超長等，這些情況也導致學生對數(shù)學學習產(chǎn)生厭煩心理進而失去學習興趣。因此，如何提升數(shù)學教師的作業(yè)設(shè)計與實施能力，既是減輕學生過重作業(yè)負擔、滿足學生個性化學習的需求，也是數(shù)學教師專業(yè)發(fā)展水平的重要指標之一。數(shù)學作業(yè)是對課堂學習內(nèi)容的鞏固與內(nèi)化，也是教學內(nèi)容補充與完善的有效方式，還是評測與反饋教學目標是否達成的真實呈現(xiàn)，更是備、教、學、評一體化的終端輸出。要提升數(shù)學作業(yè)的質(zhì)量，教師就要在作業(yè)設(shè)計時做到備與評的一致性，在作業(yè)的實施時達成教與學的一體化。作為教與學的交匯點，作業(yè)的設(shè)計與實施既是對當堂教學內(nèi)容的評價與反饋、拓展與延伸，也是下堂課教學內(nèi)容的前置與鋪墊，其意義非同一般。基于此，我們以備評一致、教學一體、提升質(zhì)量為導向，對設(shè)計與實施初中數(shù)學基礎(chǔ)性課時作業(yè)進行探究。

一、基礎(chǔ)性課時作業(yè)設(shè)計與實施的路徑

《意見》指出，提高作業(yè)質(zhì)量需要“通過系統(tǒng)設(shè)計符合年齡特點和學習規(guī)律、體現(xiàn)素質(zhì)教育導向的基礎(chǔ)性作業(yè)；鼓勵布置分層、彈性和個性化作業(yè)”。作為基礎(chǔ)性作業(yè)的重要組成部分，基礎(chǔ)性課時作業(yè)是每課時的課后作業(yè)，是學生課外作業(yè)的主體。基礎(chǔ)性課時作業(yè)包括三種類型：一是基礎(chǔ)練習題，設(shè)計目的是使學生切實理解和掌握本課時的數(shù)學基礎(chǔ)知識，初步獲得運用這些知識的基本技能，這部分作業(yè)應緊緊圍繞新課的內(nèi)容，選擇一些最能突出說明新概念、新原理的實質(zhì)和直接運用新知識進行解答的基本題目；二是熟練技能技巧的練習題，設(shè)計目的是使學生鞏固所學的知識，并形成一定的技能和技巧，這部分作業(yè)可以是對教材例題或習題的重組、變式或改編；三是具有一定綜合性的練習題，設(shè)計目的是使學生進一步深化所學的知識，從單元整體的視角構(gòu)建知識體系，或者為新課做必要的準備，這部分作業(yè)應選擇內(nèi)容涉及的知識面較廣、具有一定靈活性和開放性的題目。由此可見，設(shè)計基礎(chǔ)性課時作業(yè)需要從備“教情、學情”出發(fā)，遵循課程標準的要求，形成單元整體設(shè)計思維，達成教學目標與作業(yè)目標的一致。教師先試做、后改進、再實施，加強作業(yè)的完成指導、批改分析、反思講評，從而形成基于育人理念、素養(yǎng)導向、課程標準要求的基礎(chǔ)性課時作業(yè)設(shè)計與實施路徑（如圖1），以此提升基礎(chǔ)性課時作業(yè)設(shè)計與實施質(zhì)量。同時，在對作業(yè)進行備與評一致性的系統(tǒng)改進后，還可構(gòu)建基礎(chǔ)性課時作業(yè)資源庫，為后續(xù)的教與學一體化搭建供給側(cè)平臺。

圖1 基礎(chǔ)性課時作業(yè)設(shè)計與實施路徑

二、基礎(chǔ)性課時作業(yè)設(shè)計的原則

（一）一致性原則

基礎(chǔ)性課時作業(yè)要依據(jù)課程標準中的學業(yè)要求確定課時作業(yè)目標。同時，作業(yè)目標要與本課時的教學目標達成一致。通過批改作業(yè)，教師可有效獲取學生對所學知識、技能、方法與思想理解與掌握水平方面的基本信息，了解課堂教學目標達成度，進而為后續(xù)教學活動的進行提供必要的支持。

例如，在設(shè)計人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學》八年級上冊“等腰三角形復習”基礎(chǔ)性課時作業(yè)時，教學目標與作業(yè)目標要一致。其教學目標應為：學會運用等腰三角形的性質(zhì)與判定解決有關(guān)問題；通過解決等腰三角形的有關(guān)問題，發(fā)展邏輯推理能力和幾何直觀；通過解決等腰三角形的有關(guān)問題，體會分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想、方程思想；在解決問題的過程中增強思維的深刻性、發(fā)散性，增強創(chuàng)新意識，發(fā)展數(shù)學建模思想，獲取成功的體驗，建立學習的自信心。其作業(yè)目標應為：能夠運用等腰三角形的性質(zhì)與判定解決相應水平的問題；在運用等腰三角形的性質(zhì)與判定解決問題的過程中，發(fā)展邏輯推理能力和幾何直觀；進一步體會分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想、方程思想在等腰三角形中的運用；經(jīng)歷運用等腰三角形知識解決問題的過程，增強思維的深刻性、發(fā)散性，增強創(chuàng)新意識，發(fā)展數(shù)學建模思想，獲得成功的體驗，建立學習的自信心。

本節(jié)課的作業(yè)設(shè)計將教學目標與作業(yè)目標逐一對應，這使得教師在設(shè)置作業(yè)內(nèi)容時更精細、更準確，使得作業(yè)內(nèi)容與教學內(nèi)容相匹配，進而避免出現(xiàn)題目考查要求超出課時所學知識范圍、超出課程標準要求的能力層級。

（二）整體性原則

整體性原則有助于使學生理解數(shù)學學習的一般性。因此，基礎(chǔ)性課時作業(yè)要以教材中的每章為單位，整體設(shè)計每課時的作業(yè)內(nèi)容，不同課時之間的作業(yè)要體現(xiàn)一定的相關(guān)性、邏輯性和遞進性。這樣，可以避免從微觀角度把某個課時與其他課時割裂，防止知識學習碎片化。

例如，在設(shè)計人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學》七年級上冊“一元一次方程”基礎(chǔ)性作業(yè)時，可如下進行部分課時作業(yè)對比（如下頁表1）。

表1 部分課時作業(yè)對比

在“一元一次方程”整章的教學目標中，方程的解法是“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的核心內(nèi)容，也是本章的核心內(nèi)容。利用等式性質(zhì)、合并同類項、去括號法則化簡方程，可使方程更接近x=a的形式，使化歸思想得到進一步滲透。這一教學目標作為單元目標需要分配到幾個課時作業(yè)中，在連續(xù)的教學行為中讓學生逐步感受化歸思想的作用，進而有效達成單元教學目標。因此，以章為單位整體設(shè)計每課時的作業(yè)內(nèi)容，能更深入地體現(xiàn)教材的教學要求，提升基礎(chǔ)性課時作業(yè)的質(zhì)量。

（三）就近性原則

基礎(chǔ)性課時作業(yè)可以就近取材于教材中的例題、練習題、習題、復習題等，這些教材中的題目直接體現(xiàn)本課時教學目標的要求。因此，教師必須利用課堂教學和課后的基礎(chǔ)性課時作業(yè)全面處理這些題目，同時加強教材中典型的例題和習題資源的開發(fā)和利用，對這些題目進行深層次的變式改編，提升試題的思維訓練價值。這樣，有助于學生對本課時知識的內(nèi)化、鞏固，能促進學生思維水平的提升。這樣的作業(yè)設(shè)計促進了教材例題和習題功能的最大化，也有效地避免了學生陷入題海戰(zhàn)術(shù)之中。

例如，在設(shè)計人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學》八年級上冊“等腰三角形復習”基礎(chǔ)性課時作業(yè)時，可設(shè)計如下作業(yè)內(nèi)容（如表2）。

表2 “等腰三角形復習”作業(yè)內(nèi)容

本題組由探究三角形兩內(nèi)角角平分線所組成的圖形中線段之間的數(shù)量關(guān)系，引申變式為探究三角形一個內(nèi)角和相鄰內(nèi)角的外角角平分線所組成的圖形中線段之間的數(shù)量關(guān)系。題組中，條件發(fā)生了變化，引發(fā)位置也發(fā)生變化，但不管怎么變，都沒有離開一個基本方法或結(jié)構(gòu)。教師讓學生在探究中認識到這種基本方法或結(jié)構(gòu)的存在，深層次認識問題的本質(zhì)，在主動謀變中打開解題思路，從而提升自己發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的能力，這就是教材典型習題及其變式練習帶給學生的深度思考、高階思維。

（四）漸進性原則

基礎(chǔ)性課時作業(yè)的設(shè)計應根據(jù)學生基礎(chǔ)和學習能力的差異，選擇適合學生實際水平的題目，題目難度的設(shè)置應由基礎(chǔ)到一般，由單一到綜合，實現(xiàn)從檢測基本概念到基本技能，從檢測解題的熟練程度到思維的發(fā)展；實現(xiàn)逐層深入，階梯式上升，體現(xiàn)作業(yè)的層次性，對不同學生有不同的要求。

例如，在設(shè)計北師大版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學》九年級上冊“正方形的性質(zhì)與判定（1）”作業(yè)時，可如下設(shè)計。

【基礎(chǔ)達標作業(yè)】

如圖，在正方形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，圖中有多少個等腰三角形？

【能力提升作業(yè)】

四邊形ABCD是正方形，△EBC是等邊三角形，求∠AED的度數(shù)。（本題雙解）

【拓展延伸作業(yè)】

在一個正方形的花壇上，要修建兩條直的小路，使得兩條直的小路將花壇分成大小、形狀完全相同的四部分（不考慮道路的寬度）。你有幾種方法？（請至少寫出三種）

【反思評價表單】

?

本節(jié)課的作業(yè)設(shè)計分為基礎(chǔ)達標作業(yè)（考查基礎(chǔ)知識）、能力提升作業(yè)（關(guān)注思想方法）、拓展延伸作業(yè)（強化問題解決）、反思評價表單（自我反思總結(jié)）四部分，從運用正方形的性質(zhì)解決簡單問題到使用分類討論思想分析多解問題，再到運用數(shù)學抽象解決實際問題，作業(yè)題目設(shè)置由易到難，由知識運用到問題解決，培養(yǎng)了學生的應用意識和創(chuàng)新意識。這種針對不同層次學生的、梯度式的作業(yè)布置更有利于學生去接受，能滿足不同層次學生的需要，使不同發(fā)展水平的學生都能較好地參與完成作業(yè)。通過學生個性化自我反思評價，可及時反饋學生的作業(yè)完成情況，總結(jié)作業(yè)完成中遇到的問題和不足，不僅培養(yǎng)了學生良好的自主學習習慣，也激發(fā)了學生學習的熱情，同時還為教師提供了教學反思和改進教學的真實依據(jù)。

（五）過程性原則

基礎(chǔ)性課時作業(yè)的內(nèi)容根據(jù)教學內(nèi)容的需要可以是選擇題、填空題、解答題等題型，其中選擇題、填空題等客觀性試題的數(shù)量要適度，即作業(yè)不能只關(guān)注結(jié)果，還要關(guān)注學生分析、解決問題的思維過程，讓學生的思維可視化。這樣，有助于教師發(fā)現(xiàn)學生知識和能力上存在的問題，便于教師進行有針對性的方法指導。因此，教師應盡可能設(shè)計出體現(xiàn)學生思維過程的習題。

例如，在設(shè)計人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學》九年級上冊“正多邊形和圓”作業(yè)時，可如下設(shè)計（如下頁表3）。本節(jié)課的作業(yè)是用一根等長的鐵絲圍成正多邊形，探究正多邊形的面積隨邊數(shù)增加的變化情況。探究的結(jié)論有兩個：一是邊數(shù)增加，面積變大，當正多邊形邊數(shù)趨近于無限大時，多邊形的面積趨近于圓的面積；二是當周長一定時，圓形面積是最大的。作業(yè)設(shè)計目的是讓學生采用“觀察—探究—發(fā)現(xiàn)—歸納”的方法，引導學生在活動中進行探究與發(fā)現(xiàn)，將學生運用所學知識解決實際問題的思維過程完全呈現(xiàn)在教師設(shè)計的表格當中，使學生逐漸會用數(shù)學的眼光觀察世界，用數(shù)學的思維思考世界。

表3 等長鐵絲圍成正多邊形面積的變化規(guī)律

（六）有效性原則

基礎(chǔ)性課時作業(yè)的內(nèi)容是否有效，需要教師先自己完成當天的課時作業(yè)，以便更好地控制作業(yè)總量、作業(yè)難度、作業(yè)時間，避免存在超出課程標準要求、重復訓練、科學性錯誤等質(zhì)量問題。

例如，在設(shè)計北師大版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學》八年級下冊“圖形的旋轉(zhuǎn)（1）”作業(yè)時，如下設(shè)計值得商榷。

【能力提升作業(yè)】

如圖所示，在平面直角坐標系中，把矩形OCBA繞點C順時針旋轉(zhuǎn)α，得到矩形PCDE。設(shè)PC與AB交于點H，且A（0，4），C（6，0）。

（1）當α=45°時，求H點的坐標；

（2）當α=60°時，△CBD是何種三角形？請說明理由。

（3）當AH=HC時，求直線BC的解析式。

【拓展延伸作業(yè)】

如下面第一幅圖，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC= 2+1，點D，E分別在邊AB，AC上，且AD=AE=1，連接DE?，F(xiàn)將△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜360°），如下面第二幅圖，連接CE，BD，CD。

（1）當0°＜α＜180°時，求證：CE=BD；

（2）如上面第三幅圖，當α=90°時，延長CE交BD于點F，求證：CF垂直平分BD；

（3）在旋轉(zhuǎn)過程中，求△BCD面積的最大值，并寫出此時旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)。

本課時是“圖形的旋轉(zhuǎn)”第一課時，其內(nèi)容是立足于學生小學階段的學習基礎(chǔ)和已有的生活經(jīng)驗，通過分析各種旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象的共性，直觀地認識旋轉(zhuǎn)，探索平面圖形旋轉(zhuǎn)的基本性質(zhì)。而第二課時也主要是研究簡單的旋轉(zhuǎn)畫圖，并在此基礎(chǔ)上通過具體情境認識圖形之間的變換關(guān)系。本例中能力提升作業(yè)和拓展延伸作業(yè)的選題極大超出了課程標準和教材的要求，即使是學習能力較強的學生要想解決這兩道題也需要花費很長的時間?？梢钥闯?，設(shè)計本課時作業(yè)的教師首先沒有試做作業(yè)，其次沒有認真地設(shè)計教學目標和作業(yè)目標，使得本課時作業(yè)的設(shè)計缺乏科學性，人為加大了作業(yè)難度，加重了學生的作業(yè)負擔，進而削弱了學生學習數(shù)學的積極性。類似問題需要我們深入思考，積極改進。

三、基礎(chǔ)性課時作業(yè)實施的策略

（一）作業(yè)完成指導

作業(yè)的完成質(zhì)量除了與學生的學習能力及學習習慣有關(guān)外，還與教師在布置作業(yè)時對作業(yè)的完成是否提出具體要求有關(guān)。教師要幫助學生養(yǎng)成良好的獨立完成作業(yè)的習慣，指導學生做作業(yè)前應該認真梳理本課時所學內(nèi)容，加深理解本課時內(nèi)容的相關(guān)知識、技能、思想與方法；做作業(yè)時要專心致志，對于表面有難度的習題要善于拆分和重組、聯(lián)想和轉(zhuǎn)化，注意題干的提示和隱藏條件的挖掘；做完作業(yè)后要養(yǎng)成自我檢查的習慣，要有質(zhì)疑的意識，養(yǎng)成及時反思的好習慣。特別地，對于作業(yè)中思維含量較高的具有挑戰(zhàn)性的客觀試題，教師應要求學生在作業(yè)本（或作業(yè)單）的留白處寫下解決問題的簡單思路（如圖2），以便在作業(yè)講評時能快速對比自己當時的解題思路，及時發(fā)現(xiàn)問題，優(yōu)化方法，進一步鞏固和加深自己對知識的理解。

圖2 學生解決問題的思路

（二）作業(yè)批改分析

作業(yè)批改與分析是師生課堂互動過程的延伸，教師要認真、及時、規(guī)范、有效地批改作業(yè)，批改作業(yè)應逐題批改、指明錯誤、提出建議、寫清評語，評語要有激勵性，選擇存在的重點問題進行面批面改，給予學生有效指導。教師應做到作業(yè)批改“四個必須”：一是布置的作業(yè)必須全批全改；二是批改的結(jié)果必須有效反饋；三是反饋的錯誤必須及時訂正；四是訂正后必須跟進練習。同時，教師要重視對作業(yè)批改中獲取的學生學習目標達成情況信息的統(tǒng)計與分析，可以通過信息技術(shù)等手段對學生作業(yè)完成情況、作業(yè)批改結(jié)果進行統(tǒng)計，精準分析學情，科學分析學生作業(yè)結(jié)果，探尋問題產(chǎn)生的原因，改進教學方式，從而為后續(xù)教學設(shè)計與調(diào)整提供參考（如表4）。

表4 學生學習目標達成情況信息的統(tǒng)計與分析

（三）作業(yè)反思講評

數(shù)學作業(yè)講評是教學基本環(huán)節(jié)中不可或缺的重要一環(huán)，是教與學的有效融合和重新建構(gòu)。由于基礎(chǔ)性課時作業(yè)的內(nèi)容較少，學生產(chǎn)生的問題可以通過課下教師單獨輔導或課上統(tǒng)一指導完成反思講評。但是，當某一單元包含的課時較多時，如北師大版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學》七年級下冊“認識三角形”共4 課時，其內(nèi)容中包含三角形三邊關(guān)系、高線與面積、中線與面積等典型問題，學生在學習中會產(chǎn)生易錯易混的現(xiàn)象。通過多次的作業(yè)批改、分析、反思，教師會發(fā)現(xiàn)學生始終存在一些共性的錯誤。此時，教師就有必要針對這些基礎(chǔ)性課時作業(yè)中多次出現(xiàn)的普遍性問題，幫助學生進行統(tǒng)一的梳理、辨析和鞏固，將學生沒有理解的內(nèi)容、沒有掌握的方法、沒有領(lǐng)悟的思想再一次加以點撥和強化。因此，建議教師通過作業(yè)講評課的形式，在課堂上向?qū)W生集中反饋階段性作業(yè)的批改信息，通過學生的自我查擺、合作學習加上教師的引導，達到鞏固、充實、完善和強化，實現(xiàn)知識再整理、再綜合、再運用的效果，從而讓學生更輕松愉快地學習，提高學生學好數(shù)學的信心。

例如，“認識三角形”作業(yè)講評課可以如下設(shè)計。

【教材原題】

問題解決：等腰三角形一邊長9 cm，另一邊長4 cm。它的第三邊長多少？為什么？

【改編題】

1.等腰三角形的兩邊長是4和6，求第三條邊長。

2.已知等腰三角形的兩邊長分別為2 和5，則該等腰三角形的周長是多少？

【作業(yè)分析】【跟進訓練】

1.等腰△ABC的兩條邊長為3 和5，則第三邊長為2. 等腰△ABC的兩條邊長為10 和4，則△ABC的周長為 。

下面提供初中數(shù)學作業(yè)講評課的一個基本范式（如圖3）。講評前，教師應搜集、整理學生作業(yè)情況的真實數(shù)據(jù)和典型案例。講評時，教師應重點分析典型錯誤及其錯誤原因，和學生一起交流不同解法，同時對部分優(yōu)秀作業(yè)或?qū)W生的創(chuàng)新解法給予肯定和激勵。講評后，教師應要求學生及時進行訂正或改進，以加深學生對知識的理解和掌握。有效的作業(yè)講評課應當讓學生在糾錯的過程中逐步培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力，從而達到提高學習效率的目的。

圖3 初中數(shù)學作業(yè)講評課的基本范式

綜上所述，教學是一根“鏈條”，備課、上課、作業(yè)、輔導和評價等基本環(huán)節(jié)一個不能少，任何一個環(huán)節(jié)脫節(jié)，都會直接降低教學的有效性，導致學生學業(yè)負擔過重。因此，面對重在數(shù)學知識的構(gòu)建和鞏固的基礎(chǔ)性課時作業(yè)，教師應該把作業(yè)設(shè)計與實施同課堂教學進行一體化思考，要圍繞作業(yè)設(shè)計質(zhì)量、學生分析、作業(yè)講評與輔導等方面進行教研反思，不斷提高作業(yè)設(shè)計與實施的能力，形成備、教、學、評一體化教研格局。這樣，才能真正提高教育教學質(zhì)量，做到對學生負責，使“雙減”政策有效落地。