基于方箱的氣浮工作臺控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析＊

朱思達 盧志偉 劉 波 張君安

（西安工業(yè)大學(xué)機電工程學(xué)院，陜西 西安 710021）

隨著現(xiàn)代科技的飛速進步，精密與超精密加工技術(shù)在各國科技產(chǎn)品競爭和軍事裝備競爭中扮演著越來越重要的角色。精密與超精密加工技術(shù)既是國家現(xiàn)代高新技術(shù)的重要發(fā)展方向，也對現(xiàn)代基礎(chǔ)科學(xué)技術(shù)的發(fā)展提供了保障。如今各國對精密及超精密加工設(shè)備的需求量在不斷增加，而這其中精密和超精密運動導(dǎo)軌和運動工作臺為超精密加工、光學(xué)精密測量及半導(dǎo)體等領(lǐng)域提供了重要的技術(shù)支撐，是眾多高技術(shù)產(chǎn)業(yè)的基礎(chǔ)保障。精密二維工作臺是實現(xiàn)精密加工和精密加工的重要功能載體，它的性能直接影響了零部件的加工精度和效率?，F(xiàn)如今能實現(xiàn)精密運動的高性能二維氣浮工作臺應(yīng)用領(lǐng)域越來越廣泛，因而對氣浮工作臺的性能提出了更高的要求[1]。

氣浮工作臺是由復(fù)雜的機械運動學(xué)以及伺服控制學(xué)所集成的系統(tǒng)。對于氣浮工作臺而言，最終要實現(xiàn)的目標為：能夠按照給定軌跡精密運動以及精準定位。其實現(xiàn)精密運動，不僅僅需要依靠精密運動導(dǎo)軌以及高精度電機，還需要擁有穩(wěn)定且精準的伺服控制系統(tǒng)[2]。由于氣浮工作臺采用氣浮導(dǎo)軌支承技術(shù)，使得整個工作臺阻尼小、慣性力大，易造成控制系統(tǒng)的不穩(wěn)定，最終可能導(dǎo)致機械設(shè)備壽命減少、性能降低，甚至設(shè)備損壞的后果。因此需要對伺服控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性進行分析研究，以避免造成嚴重后果。

安徽大學(xué)王立軍采用離散的李雅普諾夫函數(shù)去選擇滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的自適應(yīng)增益，充分抑制系統(tǒng)擾動，提高系統(tǒng)的魯棒性[3]。西安理工大學(xué)尹忠剛構(gòu)建基于永磁同步直線電機數(shù)學(xué)模型的無差拍電流預(yù)測控制算法，得到了算法的穩(wěn)定域，使控制算法在電機參數(shù)攝動范圍內(nèi)穩(wěn)定[4]。哈爾濱工業(yè)大學(xué)陳偉通過控制無功電流恒定調(diào)節(jié)輸出電壓來抑制電機振蕩，提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性[5]。西安電子科技大學(xué)蘇玉鑫采用波波夫判據(jù)對閉環(huán)控制系統(tǒng)進行穩(wěn)定性分析，確保非線性閉環(huán)控制系統(tǒng)穩(wěn)定的非線性增益的有效取值范圍[6]。

本文以二維氣浮工作臺伺服控制系統(tǒng)為例，采用伯德圖穩(wěn)定性分析法，建立各環(huán)控制器開環(huán)傳遞函數(shù)，利用Matlab 計算出伯德圖，根據(jù)工程指標進行穩(wěn)定裕度分析，對于出現(xiàn)不穩(wěn)定狀態(tài)進行了參數(shù)修正，并建立實驗單元驗證了控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。為各類氣浮工作臺伺服控制系統(tǒng)的參數(shù)設(shè)計和穩(wěn)定性分析打下了基礎(chǔ)。

1 二維氣浮工作臺及驅(qū)動控制系統(tǒng)

課題組研制的一種基于精密計量方箱的精密二維氣浮靜壓平面運動平臺主要由機械結(jié)構(gòu)系統(tǒng)、氣動系統(tǒng)和驅(qū)動控制系統(tǒng)組成。機械結(jié)構(gòu)部分主要由精密計量方箱、X軸氣浮導(dǎo)軌、Y軸氣浮導(dǎo)軌、直線電機、光柵尺位移傳感器以及伺服驅(qū)動器、控制卡所構(gòu)成。二維氣浮工作臺如圖1 所示[7]。

圖1 二維氣浮工作臺

二維氣浮工作臺各軸向的控制系統(tǒng)均采用全閉環(huán)控制，全閉環(huán)控制系統(tǒng)是由電流環(huán)、速度環(huán)、位置環(huán)構(gòu)成，其中電流環(huán)為最內(nèi)環(huán)，采用PI 調(diào)節(jié)方式；速度環(huán)為中環(huán)，同樣采用PI 調(diào)節(jié)方式；位置環(huán)為最外環(huán)，采用P 調(diào)節(jié)方式。驅(qū)動控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖2 所示。

圖2 驅(qū)動控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

2 驅(qū)動控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型

2.1 直線電機數(shù)學(xué)模型

直線電機的運行原理與旋轉(zhuǎn)電機的運行原理相類似。在理想條件下，建立直線電機在d-q模型下電流模型方程如下。

式中：Ud、Uq分別是直線電機動子電壓d、q軸分量，V；id、iq分別是直線電機動子電流d、q軸分量，A；Ld、Lq分別是直線電機動子電感d、q軸分量，H；R為電樞繞組的電阻，Ω；ω為直線電機等效轉(zhuǎn)子角速度，rad/s，且 ω=(π/τ)PnV，V為動子運動速度，m/s；τ為磁極距，mm；Pn為動子線圈的極對數(shù)，φf為永磁體磁勢，Wb。

在假設(shè)沒有任何干擾的情況下，計算直線電機的電磁推力如下。

輸出總功率為

電磁推力表達式為

對于U 型平板式直線電機，Ld、Lq相等，所以簡化電磁推力方程為

根據(jù)牛頓第二定律，直線電機機械運動方程為

式中：M為運動部件質(zhì)量，kg；x為動子位移量，m；f為工作臺與導(dǎo)軌之間的摩擦系數(shù)；kx為彈性系數(shù)；Fe為 電機電磁推力，N；FL為負載干擾力，N。

對于二維氣浮工作臺，可以將摩擦力忽略。在id=0以及電壓確定的條件下，可以推導(dǎo)出直線電機狀態(tài)平衡方程為[8]

在初始值為零時，將式（7）進行拉氏變換，并以電壓作為信號輸入，動子運動速度作為信號輸出。

氣浮工作臺直線電機相關(guān)參數(shù)如表1 所示。

表1 直線電機參數(shù)表

2.2 電流環(huán)PI 控制器數(shù)學(xué)模型

在本系統(tǒng)中，電流環(huán)作為控制系統(tǒng)最內(nèi)環(huán)，建立電流環(huán)PI 控制器閉環(huán)函數(shù)GiB(S)以及相應(yīng)的開環(huán)函數(shù)Gi(S)。

式中：Koi為電流反饋濾波放大系數(shù)，V/A；Kpwm為逆變器放大倍數(shù)；τii為 時間積分常數(shù)，s；Toi為濾波時間常數(shù)，s；Tpwm為 逆變器時間常數(shù)，s；Tm為電氣時間常數(shù)，s；Kii為電流積分調(diào)節(jié)系數(shù)，V/A。

由式（9）得，Y軸電流環(huán)開環(huán)傳遞函數(shù)：

同樣可以得到X軸電流環(huán)開環(huán)傳遞函數(shù)：

2.3 速度環(huán)PI 控制器數(shù)學(xué)模型

根據(jù)控制系統(tǒng)的設(shè)計原則，速度環(huán)以電流環(huán)為內(nèi)環(huán)，采用PI 控制器調(diào)節(jié)[9]，PI 控制器傳遞函數(shù)為

式中：Kvp為 速度環(huán)控制器比例系數(shù)，As/mm；Tvi為速度環(huán)積分時間系數(shù)，s。

建立速度環(huán) PI 控制開環(huán)傳遞函數(shù)

式中：Kvi=Kvp/Tvi；Kov為速度環(huán)反饋放大系數(shù)；Tov為速度環(huán)濾波時間常數(shù)，s；M為平臺質(zhì)量，kg；Kf為推力常數(shù)。

將2 個時間常數(shù)Tov和Ti’的合并，則式（13）簡化為

在Y軸中，M=59.4 kg，Kf=23.7 N/A。故，Kvp=23.467 As/mm，Kvi=4 084.73。Y軸速度環(huán)開環(huán)C傳遞函數(shù)為

在X軸中，M=121 kg，Kf=35.6 N/A。故，Kvp=31.82 As/mm，Kvi=5 680.78。X軸速度環(huán)開環(huán)傳遞函數(shù)為

2.4 位置環(huán)P 控制器數(shù)學(xué)模型

位置環(huán)是以速度環(huán)為內(nèi)環(huán)的，本系統(tǒng)位置環(huán)采用P 控制。建立位置環(huán)開環(huán)傳遞函數(shù)

式中：KPP為位置環(huán)比例系數(shù)；GvB(S)為速度環(huán)閉環(huán)傳遞函數(shù)。

式中：Gv(S)為速度環(huán)開環(huán)函數(shù)。

由式（15）與（16）可推導(dǎo)出Y、X軸速度環(huán)閉環(huán)函數(shù)

在位置伺服系統(tǒng)中，為了提高系統(tǒng)的抗干擾性應(yīng)盡量使比例增益取大值?？梢詫⑽恢铆h(huán)比例增益作適當修正。取KPPx=40，KPPy=200。由式（17）可推導(dǎo)出Y、X軸位置環(huán)開函數(shù)

3 驅(qū)動控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

3.1 電流環(huán)穩(wěn)定性分析

Matlab 的工具箱中提供了Bode()命令，使得求解過程變得簡便。由式（10）與（11）可知Y軸與X軸電流環(huán)的開環(huán)傳遞函數(shù)。根據(jù)所推導(dǎo)的傳遞函數(shù)繪制伯德圖，控制系統(tǒng)電流環(huán)伯德圖如圖3 所示。

對控制系統(tǒng)電流環(huán)開環(huán)傳遞函數(shù)進行穩(wěn)定裕度分析，從圖3 中可以得知：X軸與Y軸軸相角裕度均為63.5°＞60°，幅值裕度均為18.5 dB＞10 dB，滿足系統(tǒng)穩(wěn)定裕要求，系統(tǒng)電流環(huán)是穩(wěn)定的。

圖3 電流環(huán)伯德圖

3.2 速度環(huán)穩(wěn)定性分析

由式（15）與（16）可知，Y軸與X軸速度環(huán)的開環(huán)傳遞函數(shù)。根據(jù)所推導(dǎo)的傳遞函數(shù)繪制伯德圖，控制系統(tǒng)速度環(huán)伯德圖如圖4 所示。

對控制系統(tǒng)速度環(huán)開環(huán)傳遞函數(shù)進行穩(wěn)定裕度分析，從圖4 可以得到：X軸與Y軸速度環(huán)相角裕度都小于60°，不能滿足穩(wěn)定裕度要求。

圖4 速度環(huán)伯德圖

修正后Y軸：Kvp=15，Kvi=2 713.45。

修正后X軸：Kvp=26.74，Kvi=4 853。

修正前分析造成不滿足穩(wěn)定裕度的原因：工作臺用氣浮導(dǎo)軌支撐使得工作臺阻尼很小，直線電機直接驅(qū)動無緩沖，這些因素都可能造成系統(tǒng)穩(wěn)定裕度不能這到要求。

對修正后速度環(huán)開環(huán)傳遞函數(shù)進行穩(wěn)定裕度分析，由圖5 可以得到：修正后Y軸速度環(huán)開環(huán)傳遞函數(shù)相角裕度為63.3°＞60°，幅值裕度為30.4 dB＞10 dB；X軸速度環(huán)開環(huán)傳遞函數(shù)相角裕度為62°＞60°，幅值裕度為28.2 dB＞10 dB，滿足系統(tǒng)穩(wěn)定裕度要求，系統(tǒng)速度環(huán)為穩(wěn)定的[10]。

圖5 修正后速度環(huán)伯德圖

3.3 位置環(huán)穩(wěn)定性分析

由式（21）與（22）可知，Y軸與X軸位置環(huán)的開環(huán)傳遞函數(shù)。根據(jù)所推導(dǎo)的傳遞函數(shù)繪制伯德圖，控制系統(tǒng)速度環(huán)伯德圖如圖6 所示。

對控制系統(tǒng)位置環(huán)開環(huán)傳遞函數(shù)進行穩(wěn)定裕度分析，從圖6 可以得到：Y軸直線電機位置環(huán)開環(huán)傳遞函數(shù)相角裕度為85.1°＞60°，幅值裕度為26 dB＞10 dB；X軸直線電機位置環(huán)開環(huán)傳速函數(shù)伯德圖如b 圖所示，其相角裕度為63.1°＞60°，幅值裕度為12.8 dB＞10 dB。滿足系統(tǒng)穩(wěn)定裕度要求，系統(tǒng)位置環(huán)為穩(wěn)定的。

圖6 位置環(huán)伯德圖

4 試驗研究

4.1 試驗裝置

以上章節(jié)已經(jīng)通過伯德圖穩(wěn)定分析法仿真分析了二維氣浮工作臺控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。本節(jié)將通過定位精度實驗從側(cè)面對穩(wěn)定性分析結(jié)果進行試驗驗證。定位精度反映了目標位置與實際位置的誤差，其最能反映氣浮工作臺的實際工況[11]。若控制系統(tǒng)穩(wěn)定性較差，氣浮工作臺出現(xiàn)抖動以及振蕩等現(xiàn)象，由其帶來的誤差會逐步疊加，從而導(dǎo)致定位精度較差。

定位精度試驗步驟：（1）在氣浮工作臺各軸向先后安裝固定干涉鏡和反光鏡。（2）調(diào)整光路使測量軸線與直線電機移動方向平行或者重合，并調(diào)整實驗環(huán)境，靜置24 h。（3）預(yù)熱激光干涉儀，輸入環(huán)境變量參數(shù)。（4）設(shè)置運動程序使氣浮工作臺按測量要求運動。（5）運行激光干涉儀軟件，采集數(shù)據(jù)分析結(jié)果。圖7 為二維氣浮試驗平臺。

圖7 二維氣浮試驗平臺

4.2 試驗結(jié)果及分析

根據(jù)國標GB/T 17421.2-2016 的規(guī)定，在X與Y軸100 mm 的行程之中選取5 個數(shù)據(jù)測量點（20 mm、40 mm、60 mm、80 mm 以及100 mm）。規(guī)劃5 次往返運動程序并記錄數(shù)據(jù)。目標位置軸線雙向定位精度計算公式如式(25)所示。

其試驗結(jié)果如圖8 所示。從圖8 中可以看出：X軸定位精度為4.671 μm/100 mm；Y軸定位精度為2.137 μm/100 mm。試驗結(jié)果表明：氣浮工作臺各軸向定位精度良好且在整個定位過程中，氣浮工作臺未出現(xiàn)震蕩、抖動等不穩(wěn)定現(xiàn)象。因此說明，氣浮工作臺擁有良好的穩(wěn)定性，與仿真分析結(jié)果具有較好的一致性。

圖8 定位精度實驗結(jié)果

5 結(jié)語

（1）對二維氣浮精密運動平臺控制系統(tǒng)進行分析，建立了電流環(huán)為內(nèi)環(huán)、速度環(huán)為中環(huán)和位置環(huán)為外環(huán)的控制模型，并推導(dǎo)計算各環(huán)開環(huán)傳遞函數(shù)，建立數(shù)學(xué)模型。

（2）利用Matlab 繪制伯德圖進行仿真分析系統(tǒng)穩(wěn)定性。Y軸與X軸電流環(huán)開環(huán)傳遞函數(shù)相角裕度、幅值裕度滿足系統(tǒng)穩(wěn)定裕度要求，具有足夠的穩(wěn)定性。速度環(huán)開環(huán)傳遞函數(shù)修正前，由于工作臺的支撐方式導(dǎo)致系統(tǒng)的阻尼小，相角裕度及幅值裕度未達到系統(tǒng)穩(wěn)定裕度要求，適當修改控制參數(shù)；修正后，相角裕度、幅值裕度能夠滿足系統(tǒng)穩(wěn)定裕度要求。位置環(huán)開環(huán)傳遞函數(shù)相角裕度、幅值裕度同樣滿足系統(tǒng)穩(wěn)定裕度要求?？刂葡到y(tǒng)由內(nèi)向外，依次分析了控制系統(tǒng)為穩(wěn)定的，且有足夠的穩(wěn)定裕度。

（3）實驗結(jié)果從側(cè)面反映了仿真分析的正確性，二維精密氣浮運動平臺能夠穩(wěn)定運行，在運行過程中并未出現(xiàn)抖動、震蕩等現(xiàn)象。從而驗證了驅(qū)動控制系統(tǒng)設(shè)計的合理性，為精密氣浮工作臺的研制提供了研究基礎(chǔ)。