具有Hammerstein結(jié)構(gòu)的非對稱PI模型的超磁致作動(dòng)器數(shù)學(xué)建模

李銳泓， 謝 飛,2， 吳明忠， 楊 帆， 陳鴻威， 林德昭， 李承洪

(1.華僑大學(xué) 機(jī)電及自動(dòng)化學(xué)院，福建 廈門 361021； 2.杭州?？低晹?shù)字技術(shù)股份有限公司，杭州 310000)

隨著技術(shù)的發(fā)展，機(jī)械產(chǎn)品在加工時(shí)的精度要求越來越高，很多場合都希望機(jī)械零件能達(dá)到更高的精度等級(jí)。而精密加工一般采用傳統(tǒng)的驅(qū)動(dòng)器，比如機(jī)械式和液壓式等，這類驅(qū)動(dòng)器往往由于具有機(jī)械結(jié)構(gòu)而存在精度低、可靠性差以及工作頻率較低等問題[1]。而智能材料驅(qū)動(dòng)器由于其頻率響應(yīng)高、響應(yīng)速度快等一系列優(yōu)良的性能可以應(yīng)用在精密加工上，超磁致伸縮驅(qū)動(dòng)器就是一種典型的應(yīng)用型產(chǎn)品。超磁致作動(dòng)器相比于壓電陶瓷類致動(dòng)器，其性能更加優(yōu)良，主要表現(xiàn)在其產(chǎn)生的位移行程更大、機(jī)械響應(yīng)速度更快、驅(qū)動(dòng)電壓更低以及響應(yīng)頻率更高等[2]。由于超磁致作動(dòng)器的優(yōu)良性能，使得其應(yīng)用在精密加工上成為了可能，但是超磁致作動(dòng)器作為智能材料領(lǐng)域的一種應(yīng)用型產(chǎn)品，也會(huì)存在著回滯非線性特性。這使得系統(tǒng)的速度、精度以及效率很難進(jìn)一步提高，回滯非線性產(chǎn)生的原因是由于材料本身固有的物理特性，其微觀解釋不完全明確，所以很難在產(chǎn)品的設(shè)計(jì)上通過結(jié)構(gòu)優(yōu)化來消除或者減弱回滯非線性對系統(tǒng)的影響。為了實(shí)現(xiàn)對超磁致作動(dòng)器的精確控制，就需要準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)模型來描述超磁致作動(dòng)器的動(dòng)態(tài)特性。因此本文重點(diǎn)進(jìn)行超磁致作動(dòng)器的數(shù)學(xué)建模研究。

目前基于超磁致作動(dòng)器的數(shù)學(xué)建模中用到的數(shù)學(xué)模型主要有兩類：一類是基于材料本身物理機(jī)制的物理回滯模型，主要是通過分析實(shí)際物理回滯系統(tǒng)的產(chǎn)生機(jī)理，將一系列應(yīng)變應(yīng)力等物理量的關(guān)系放入回滯模型中去模擬回滯過程，比如Jiles-Atherton(JA)模型等；另一類是根據(jù)回滯系統(tǒng)的輸入輸出數(shù)據(jù)建模的唯象回滯模型，直接利用純數(shù)學(xué)的表達(dá)式來描述回滯曲線，比如Preisach模型、Prandtl-Ishlinskii(PI)模型等。但是這幾種模型中，JA模型比較難在數(shù)學(xué)上實(shí)現(xiàn)，而且參數(shù)往往相互耦合，在求解計(jì)算時(shí)誤差比較大[3-4]。而Preisach模型的表達(dá)式比較復(fù)雜，運(yùn)算量大，而且其在描述非對稱的回滯現(xiàn)象時(shí)會(huì)產(chǎn)生高階參數(shù)，無法靈活地運(yùn)用[4-5]。PI模型的運(yùn)算量比較小，結(jié)構(gòu)簡單也容易在控制器上實(shí)現(xiàn)。所以本文擬采用PI模型進(jìn)行超磁致作動(dòng)器的數(shù)學(xué)建模[6]。

針對PI模型應(yīng)用在超磁致伸縮致動(dòng)器上，國內(nèi)外專家學(xué)者也進(jìn)行了大量的研究。唐宏波[7]基于PI模型對超磁致伸縮作動(dòng)器的回滯非線性特性進(jìn)行建模，基于遺傳退火算法對模型的參數(shù)進(jìn)行識(shí)別，結(jié)果表明該模型能在80 Hz范圍內(nèi)較好地預(yù)測磁致伸縮致動(dòng)器的位移輸出曲線。趙寅將[8]PI模型運(yùn)用到磁致伸縮驅(qū)動(dòng)器的建模中，利用LMS算法辨識(shí)得到PI模型的最優(yōu)權(quán)重系數(shù)向量，結(jié)果顯示，所建立的PI模型可以精確的描述磁致伸縮驅(qū)動(dòng)器的回滯特性，后續(xù)基于逆模型實(shí)時(shí)補(bǔ)償進(jìn)行控制試驗(yàn)，結(jié)果表明，回滯對磁致伸縮驅(qū)動(dòng)器的驅(qū)動(dòng)控制的影響被大幅減小了。楊斌堂等[9]基于PI模型對超磁致伸縮驅(qū)動(dòng)器進(jìn)行建模，用最小均方法進(jìn)行模型的參數(shù)辨識(shí)，模型的預(yù)測誤差為0.037 9 μm。翟鵬等[10]考慮到超磁致伸縮致動(dòng)器的回滯非線性，分析了準(zhǔn)靜態(tài)改進(jìn)型PI模型的數(shù)學(xué)機(jī)理，為了拓寬其動(dòng)態(tài)條件下的頻率適用范圍，提出了一種改進(jìn)型PI模型，并獲得了滿意的控制效果。Li等[11]在用修飾的PI模型針對超磁致伸縮致動(dòng)器進(jìn)行建模，并且建立了基于PI模型的逆模型，試驗(yàn)表明，修飾的PI模型在一定的輸入信號(hào)頻率范圍內(nèi)能較好地描述超磁致伸縮致動(dòng)器的非對稱回滯行為，所提出的逆模型能有效地改善超磁致伸縮的滯后行為。Xiao等[12]在經(jīng)典PI模型的基礎(chǔ)上進(jìn)行修正，利用最小二乘法對修正的PI模型進(jìn)行參數(shù)識(shí)別，結(jié)果顯示，修正的PI模型能減小建模的誤差，但是在高頻率下模型精度依然不能保證。Aljanaideh等[13-14]將PI模型運(yùn)用到超磁致伸縮致動(dòng)器的回滯非線性建模上，并且提出了基于率相關(guān)的PI模型的新方法用于補(bǔ)償壓電定位致動(dòng)器中率相關(guān)的滯后非線性效應(yīng)。隨后，所提出的的補(bǔ)償新方法也被證明在超磁致伸縮致動(dòng)器上有效，結(jié)果證明，所提出的補(bǔ)償方法可以在不計(jì)算逆模型的前提下有效的補(bǔ)償頻率相關(guān)回滯非線性。Peng等[15]將PI模型運(yùn)用到超磁致伸縮致動(dòng)器的回滯非線性建模上，提出了率相關(guān)的修飾PI模型，然后利用約束最小二乘的方法辨識(shí)出了模型的參數(shù)，結(jié)果顯示，在一定的頻率范圍內(nèi)，率相關(guān)修飾PI模型可以有效地描述超磁致伸縮致動(dòng)器的率相關(guān)回滯特性。郭詠新等[16]以Hammerstein模型對超磁致伸縮作動(dòng)器的率相關(guān)回滯非線性進(jìn)行建模，其中改進(jìn)的PI模型和外因輸入自回歸模型分別表示模型的靜態(tài)非線性部分和線性動(dòng)態(tài)部分。在所建模型的基礎(chǔ)上，提出了一種H∞魯棒振動(dòng)控制方法。孫洪鑫等[17]建立了磁致伸縮作動(dòng)器動(dòng)力學(xué)模型和拉索-磁致伸縮作動(dòng)器面內(nèi)控制系統(tǒng)方程，提出了基于移相法的拉索控制時(shí)滯補(bǔ)償理論和拉索非線性控制系統(tǒng)的線性化方法，通過仿真分析得到了拉索振動(dòng)控制時(shí)滯補(bǔ)償效果。張偉等[18]基于模糊樹提出一種帶有動(dòng)態(tài)非線性環(huán)節(jié)的Hammerstein-like建模方法以描述超磁致伸縮作動(dòng)器的率相關(guān)回滯非線性特性，所提方法能在一定頻率范圍內(nèi)建立一個(gè)統(tǒng)一模型，使之不僅能較好地描述單一頻率輸入信號(hào)下的遲滯環(huán)，也能較好地描述復(fù)合頻率輸入信號(hào)下的遲滯。

從前文看出，關(guān)于超磁致作動(dòng)器的建模技術(shù)尚不成熟，主要是超磁致作動(dòng)器本身存在著回滯非線性特性，而想要有效地對超磁致作動(dòng)器的動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行控制，就需要精確的數(shù)學(xué)模型來描述它，所以開展關(guān)于PI模型在超磁致伸縮致動(dòng)器建模方面的研究很有必要，對超磁致作動(dòng)器的進(jìn)一步發(fā)展有較大的促進(jìn)作用。

1 非對稱PI模型

1.1 Play算子的定義

若假設(shè)Cm[0，tN]是定義域?yàn)閇0，tN]的分段單調(diào)的連續(xù)函數(shù)的集合，[ti，ti+1]為[0，tN]的一個(gè)子區(qū)間，滿足0=t0

Fr[v](0)=fr(v(0),0)

(1)

Fr[v](t)=fr(v(t),Fr[v](ti))

(2)

式中:Fr[v](0)為對應(yīng)起始采樣時(shí)刻在輸入信號(hào)v(0)時(shí)Play算子的輸出；Fr[v](t)為對應(yīng)t時(shí)刻在輸入信號(hào)v(t)時(shí)Play算子的輸出；Fr[v](ti)為對應(yīng)t時(shí)刻的前一采樣時(shí)刻在輸入信號(hào)v(ti)時(shí)Play算子的輸出。

對于ti

fr(v,wr)=max[v-r,min(v+r,wr)]

(3)

式中:v為t時(shí)刻輸入信號(hào)的值；wr為t時(shí)刻的前一采樣時(shí)刻線性Play算子的輸出值；r表示此時(shí)的Play算子的閾值，為非負(fù)數(shù)；[0，tN]表示0=t0

圖1 線性Play算子Fig.1 Linear Play operator

關(guān)于經(jīng)典的PI模型的研究最早開始于1928年[20]，是用多個(gè)具有不同閾值的Play算子進(jìn)行加權(quán)疊加來表示回滯非線性的，其表達(dá)式為

(4)

式中:P[v](t)為經(jīng)典PI模型的輸出，對于超磁致伸縮致動(dòng)器來說對應(yīng)的物理量是位移；v(t)為PI模型的輸入信號(hào)，對于超磁致伸縮致動(dòng)器的物理量是電流；rj為第j個(gè)Play算子的閾值，為非負(fù)數(shù)，pj為第j個(gè)Play算子的權(quán)重系數(shù)，滿足

(5)

1.2 非對稱PI模型

在以往專家學(xué)者的研究中，發(fā)現(xiàn)經(jīng)典的PI模型無法描述智能材料驅(qū)動(dòng)器的非對稱回滯現(xiàn)象，因此在經(jīng)典PI模型的基礎(chǔ)上修飾出了非對稱的PI模型，其表達(dá)式為

U(t)=P[v](t)+H[v](t)+G[v](t)

(6)

式中：v(t)為模型的輸入；U(t)為非對稱PI模型的時(shí)域輸出；P[v](t)為經(jīng)典PI模型的時(shí)域輸出；H[v](t)為shift算子的時(shí)域輸出；G[v](t)為輔助函數(shù)的時(shí)域輸出。其中shift算子的定義如下：

若假設(shè)Cm[0，tN]是定義域?yàn)閇0，tN]的分段單調(diào)的連續(xù)函數(shù)的集合，[ti，ti+1]為[0，tN]的一個(gè)子區(qū)間，滿足0=t0

Hc[v](0)=hc(v(0),0)

(7)

Hc[v](t)=hc(v(t),Hc[v](ti))

(8)

式中:Hc[v](0)為對應(yīng)起始采樣時(shí)刻在輸入信號(hào)v(0)時(shí)shift算子的輸出；Hc[v](t)為對應(yīng)t時(shí)刻在輸入信號(hào)v(t)時(shí)shift算子的輸出；Hc[v](ti)為對應(yīng)t時(shí)刻的前一采樣時(shí)刻在輸入信號(hào)v(ti)時(shí)shift算子的輸出。

對于ti

hc(v,wH)=max[cv,min(v,wH)]

(9)

式中：v為t時(shí)刻輸入信號(hào)的值；wH為t時(shí)刻的前一采樣時(shí)刻shift算子的輸出值；c為此時(shí)的shift算子的斜率，為不等于1的正數(shù)；[0，tN]為0=t0

加入shift算子到經(jīng)典PI模型中，是為了讓加入shift算子的復(fù)合模型能夠表示超磁致作動(dòng)器的非對稱回滯現(xiàn)象，另外為了精確地描述超磁致作動(dòng)器的回滯環(huán)的導(dǎo)數(shù)不單調(diào)變化的情況，需要加入輔助函數(shù)來解決這個(gè)問題。

為了使得加入輔助函數(shù)后的非對稱PI模型，在描述超磁致作動(dòng)器的非線性回滯現(xiàn)象時(shí)，不改變原來經(jīng)典PI的特征，輔助函數(shù)需要滿足以下條件：

(1)為了保證加入輔助函數(shù)后，在輸入信號(hào)的單調(diào)區(qū)間內(nèi)，模型的輸出也是單調(diào)的，輔助函數(shù)需滿足以下條件：

在輸入信號(hào)的單調(diào)區(qū)間內(nèi)

U′(t)>0

(10)

即

P′[v](t)+H′[v](t)+G′[v](t)>0

(11)

(2)為了使得模型的導(dǎo)數(shù)不單調(diào)變化，輔助函數(shù)需要滿足以下條件：

在輸入信號(hào)單調(diào)的范圍內(nèi)任意兩輸入v1，v2下

(12)

只有滿足了上述兩個(gè)條件，輔助函數(shù)才有可能在不改變模型原有性質(zhì)的情況下，使得模型在描述超磁致作動(dòng)器的非對稱回滯現(xiàn)象時(shí)，能夠比較準(zhǔn)確的描述超磁致作動(dòng)器非對稱回滯現(xiàn)象中導(dǎo)數(shù)不單調(diào)變化的現(xiàn)象。另外，輔助函數(shù)的確定是不唯一的，只要輔助函數(shù)在不改變模型原有性質(zhì)的前提下，能夠滿足上述條件，都是可以被選擇的。

2 超磁致伸縮致動(dòng)器試驗(yàn)平臺(tái)搭建

本試驗(yàn)平臺(tái)是基于dSPACE半實(shí)物仿真系統(tǒng)搭建，主要由dSPACE、功率放大器(AE7224，具體參數(shù)：1 kVA、帶寬為300 kHz)，位移傳感器(Lion Precision CPL190，具體參數(shù)：最大量程為125 μm，靈敏度為80 mV/μm，測量精度為0.1 μm，帶寬為15 kHz)、超磁致作動(dòng)器(MFROTY77，具體參數(shù)：最大行程為±50 μm、最高激勵(lì)頻率為1 250 Hz)組成。試驗(yàn)平臺(tái)如圖2所示。

圖2 超磁致伸縮致動(dòng)器試驗(yàn)平臺(tái)Fig.2 Experiment platform based on giant magnetostrictive actuator

3 單一非對稱PI模型的超磁致作動(dòng)器數(shù)學(xué)建模

3.1 單一非對稱PI模型表達(dá)式確定

在前文對非對稱PI模型做了整體的介紹，本部分基于非對稱PI模型對超磁致作動(dòng)器進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，本文中的試驗(yàn)數(shù)據(jù)基于美國ETREMA公司的MFR OTY77型超磁致作動(dòng)器。

首先由于非對稱PI模型的三個(gè)部分需要分別確定表達(dá)式，首先確定經(jīng)典PI部分的表達(dá)式。對于經(jīng)典PI模型部分的未知參數(shù)求解，涉及到的模型中的權(quán)重系數(shù)，權(quán)重系數(shù)和經(jīng)典PI模型的初載曲線有關(guān)，經(jīng)典PI模型的初載曲線指的是PI模型從零狀態(tài)起逐漸增加到回滯環(huán)的最大值時(shí)的一段曲線，對超磁致作動(dòng)器來說，就是指的零值輸入電流到最大值輸入電流的一段輸出曲線，這段曲線的基本形狀如圖3所示，它是一個(gè)關(guān)于閾值rj的分段函數(shù)[22]?？紤]到超磁致作動(dòng)器的電流幅值相關(guān)性，考慮多個(gè)幅值，因此辨識(shí)信號(hào)采用衰減的正弦信號(hào)。

圖3 初載曲線Fig.3 Initial loading curve

由于在確定經(jīng)典PI部分的算子個(gè)數(shù)時(shí)，也需要確定權(quán)重系數(shù)，因此考慮到模型的精度，僅僅用經(jīng)典PI模型做參數(shù)辨識(shí)，分別采用不同個(gè)數(shù)的Play算子。由于后續(xù)模型參數(shù)辨識(shí)的需要，定義超磁致作動(dòng)器建模時(shí)的誤差平方和為

(13)

式中：ue為超磁致作動(dòng)器的試驗(yàn)輸出；um為數(shù)學(xué)模型的輸出，試驗(yàn)數(shù)據(jù)一共n組；ems為超磁致作動(dòng)器數(shù)學(xué)模型的期望值與試驗(yàn)值的誤差平方和。

辨識(shí)信號(hào)為正弦衰減信號(hào)，即采集到的超磁致作動(dòng)器的輸入電流信號(hào)和輸出位移信號(hào)，為了兼顧多個(gè)幅值，最大電流為5 A，采集到的信號(hào)如圖4所示。

圖4 衰減激勵(lì)信號(hào)和響應(yīng)信號(hào)Fig.4 Attenuate excitation signal and response signal

將數(shù)據(jù)處理好以后，使得式(13)所示的目標(biāo)函數(shù)最小，此時(shí)的ue為超磁致作動(dòng)器的輸出數(shù)據(jù)，um為經(jīng)典PI模型的建模輸出，并返回誤差平方和。

在確定經(jīng)典PI模型中Play算子的個(gè)數(shù)時(shí)，只需要用經(jīng)典PI模型去做優(yōu)化，返回誤差的平方和，并且觀察擬合的效果。在這個(gè)過程中，經(jīng)典PI模型的閾值按照取平均值的方法，最大閾值為3，按照Play算子的個(gè)數(shù)進(jìn)行等分間隔。按照不同的算子個(gè)數(shù)運(yùn)用SQP算法進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)，SQP(sequential quadratic programming)算法，即序列二次規(guī)劃算法，其基本思想是在確定的初始值附近通過二次近似逐漸得到更好的迭代點(diǎn)，在不同的迭代點(diǎn)處，SQP算法不斷求解多個(gè)二次規(guī)劃子問題，使得迭代點(diǎn)逐步接近優(yōu)化問題的最優(yōu)點(diǎn)[23]。其誤差平方和與算子個(gè)數(shù)關(guān)系如圖5所示。

圖5 誤差平方和與Play算子個(gè)數(shù)關(guān)系Fig.5 The relationship between the error sum of squares and the number of Play operators

由于Play算子的個(gè)數(shù)太少時(shí)，模型的誤差比較大，然而算子太多會(huì)增加計(jì)算量，結(jié)合圖5的誤差平方和的變化結(jié)果，最終選定算子個(gè)數(shù)為11個(gè)Play算子進(jìn)行后續(xù)建模。

在對shift算子的分析中，我們發(fā)現(xiàn)，c>1和01時(shí)的shift算子稱為左shift算子，用于表示回滯環(huán)左邊的非對稱情況，將0

Hcl(v)=-Hcr(-v)

(14)

即回滯環(huán)的右邊非對稱可以轉(zhuǎn)化為回滯環(huán)左邊的非對稱，所以，我們在模型中總是可以使用左shift算子來代替右shift算子，而不用總是在模型中使用兩種類型的shift算子進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)和建模，所以我們在建模中，選擇一種也就是左shift算子進(jìn)行對超磁致作動(dòng)器的非對稱回滯現(xiàn)象的建模。由于超磁致作動(dòng)器數(shù)據(jù)中的位移量不是很大，最大行程為50 μm，在c值選擇1.1～1.8每隔0.1取值一次就可以描述超磁致作動(dòng)器的回滯現(xiàn)象了。

在定好Play算子個(gè)數(shù)為11個(gè)的前提下，加上shift算子到模型中，選定不同的輔助函數(shù)，利用SQP算法進(jìn)行參數(shù)的辨識(shí)，并返回誤差平方和，最后根據(jù)結(jié)果選定誤差平方和較小的輔助函數(shù)為建模的最終輔助函數(shù)選擇。誤差平方和與輔助函數(shù)選擇的關(guān)系，如表1所示。

表1 不同輔助函數(shù)時(shí)的誤差平方和Tab.1 Error sum of squares under different auxiliary functions

在選用輔助函數(shù)時(shí)：一方面希望誤差平方和盡量??；另一方面希望未知數(shù)的數(shù)量不能太多，根據(jù)表1的結(jié)果，最終輔助函數(shù)的確定決定采用三階的輔助函數(shù)，因?yàn)槠湔`差平方和在三階以后基本不變，而且未知數(shù)的個(gè)數(shù)也比較少。這樣，非對稱PI模型中的所有表達(dá)式全部確定。

3.2 單一非對稱PI模型參數(shù)優(yōu)化

前文確定了超磁致作動(dòng)器的非對稱PI模型的表達(dá)式，如式(15)所示的三個(gè)部分，分析發(fā)現(xiàn)，經(jīng)典PI的P[v](t)部分和輔助函數(shù)部分的G[v](t)部分存在一個(gè)同類項(xiàng)是可以合并的，合并以后，未知參數(shù)減少了一個(gè)。

U(t)=P[v](t)+H[v](t)+G[v](t)

(15)

使得建模輸出和試驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差平方和最小，此時(shí)建模時(shí)采用的非對稱PI模型，式(16)中，ue為超磁致作動(dòng)器的試驗(yàn)輸出數(shù)據(jù)，而um為加入了shift算子和輔助函數(shù)的非對稱PI模型的模型輸出。

(16)

由于在經(jīng)典PI模型中，默認(rèn)權(quán)重系數(shù)是非負(fù)的，但是在非對稱PI模型的參數(shù)識(shí)別中發(fā)現(xiàn)，權(quán)重系數(shù)中出現(xiàn)負(fù)數(shù)時(shí)，誤差平方和會(huì)更小，而且即使權(quán)重系數(shù)出現(xiàn)負(fù)數(shù)也不會(huì)影響后續(xù)模型的逆模型的求解。所以我們在參數(shù)識(shí)別時(shí)，默認(rèn)權(quán)重系數(shù)是可以為負(fù)數(shù)的。再具體的優(yōu)化過程中，對參數(shù)進(jìn)行無量綱化處理，使其在[0,1]的區(qū)間內(nèi)尋找未知參數(shù)的最優(yōu)解，未知參數(shù)的初始值設(shè)置為1，全部未知參數(shù)的識(shí)別結(jié)果如表2所示。

表2 非對稱PI模型的參數(shù)辨識(shí)結(jié)果Tab.2 Parameter identification results of asymmetric PI model

為了驗(yàn)證優(yōu)化的結(jié)果是收斂的，在相同的邊界條件下，以不同的初始值開始優(yōu)化，并且記錄目標(biāo)函數(shù)的變化過程，并記錄優(yōu)化的最終結(jié)果，不同初始值下的目標(biāo)函數(shù)值變化情況，如圖6所示。

圖6 SQP優(yōu)化時(shí)不同初始值下目標(biāo)函數(shù)值與迭代次數(shù)的關(guān)系Fig.6 The relationship between the value of the objective function and the number of iterations under different initial values during SQP optimization

從圖6可以看出，不同初始值下，優(yōu)化從不同的迭代點(diǎn)開始，但是隨著迭代次數(shù)的增加，最終目標(biāo)函數(shù)都收斂于同一個(gè)值。比較不同初始值下，優(yōu)化得到的22個(gè)參數(shù)的結(jié)果變化的比例，變化最大的在1%左右，變化的比例很小，可以得出優(yōu)化的結(jié)果是收斂的。

3.3 單一非對稱PI模型模型驗(yàn)證

在辨識(shí)出模型的參數(shù)之后，非對稱PI模型部分的所有未知數(shù)全部辨識(shí)得到，將辨識(shí)得到的模型仿真與之前試驗(yàn)采集到的衰減信號(hào)進(jìn)行對比結(jié)果如圖7所示。定義建模仿真與試驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差Em如式(17)所示，um為建模仿真輸出位移，ue為超磁致作動(dòng)器的試驗(yàn)輸出位移。

(17)

分別用不同頻率下的不同電流幅值的激勵(lì)信號(hào)激勵(lì)超磁致作動(dòng)器和非對稱PI模型，然后對比非對稱PI模型和超磁致作動(dòng)器的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，結(jié)果如下：

圖7 超磁致作動(dòng)器的衰減信號(hào)建模仿真與試驗(yàn)數(shù)據(jù)對比Fig.7 Modeling simulation and experimental data comparison of attenuation signal of giant magnetic actuator

圖8 超磁致作動(dòng)器的衰減信號(hào)建模仿真與試驗(yàn)數(shù)據(jù)對比Fig.8 Comparison of modeling simulation and experimental data under 1 A sinusoidal excitation signal of giant magnetic actuator

3.4 單一非對稱PI模型建模結(jié)果分析

從圖9可以看出，在單一非對稱PI模型的建模中由于合并同類項(xiàng)以后減少了一個(gè)參數(shù)，但是所建立的單一非對稱PI模型在1 Hz的激勵(lì)信號(hào)頻率不同激勵(lì)信號(hào)幅值下和超磁致作動(dòng)器的試驗(yàn)數(shù)據(jù)匹配度較高，能夠較好的描述超磁致作動(dòng)器的1 Hz下的非對稱回滯現(xiàn)象。能夠取得和Li等研究中相同水平建模精度的建模效果。但是當(dāng)激勵(lì)信號(hào)的頻率較大時(shí)，所建立的單一非對稱PI模型和試驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差比較大，尤其是在頻率達(dá)到300 Hz以上時(shí)，誤差達(dá)到了20%，而這一點(diǎn)在大的激勵(lì)信號(hào)幅值下表現(xiàn)的更加明顯，比如電流幅值5 A頻率500 Hz時(shí)的建模誤差甚至達(dá)到了40%。

圖9 超磁致作動(dòng)器的4 A正弦激勵(lì)信號(hào)下建模仿真與試驗(yàn)數(shù)據(jù)對比Fig.9 Comparison of modeling simulation and experimental data under 4 A sinusoidal excitation signal of giant magnetic actuator

4 加入Hammerstein結(jié)構(gòu)的非對稱PI模型建模

經(jīng)過前文基于單一非對稱PI模型對超磁致作動(dòng)器的回滯非線性的數(shù)學(xué)建模的結(jié)果分析，可以發(fā)現(xiàn)，單一非對稱PI模型能夠較好地描述超磁致作動(dòng)器的回滯非線性的電流幅值相關(guān)，但是無法準(zhǔn)確的描述其電流頻率相關(guān)，本章主要針對超磁致作動(dòng)器的回滯非線性的電流頻率相關(guān)性進(jìn)行數(shù)學(xué)建模。

4.1 Hammerstein結(jié)構(gòu)

Hammerstein結(jié)構(gòu)最早由Nanda等[24-25]提出，它描述了一種模型結(jié)構(gòu)，這種模型包含一個(gè)靜態(tài)非線性模塊和一個(gè)線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)模塊，兩個(gè)模塊串聯(lián)而成一種模型，如圖10所示。

圖10 Hammerstein模型的結(jié)構(gòu)Fig.10 The structure of the Hammerstein model

圖10中：v(t)為整個(gè)系統(tǒng)的輸入信號(hào)；u(t)為整個(gè)系統(tǒng)的輸入與輸出之間的不可測的中間變量；y(t)為整個(gè)系統(tǒng)的輸出信號(hào)，靜態(tài)非線性函數(shù)M(v)和線性動(dòng)態(tài)模型G(z)一起構(gòu)成了整個(gè)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)。

Hammerstein結(jié)構(gòu)的作用是用于研究被控對象自身特性近似非線性，而執(zhí)行單元所出現(xiàn)出的特性近似靜態(tài)非線性的情況，它是一種模塊化建模的思想[26]。其優(yōu)點(diǎn)是將靜態(tài)非線性環(huán)節(jié)和線性動(dòng)態(tài)環(huán)節(jié)兩個(gè)模塊進(jìn)行串聯(lián)，能夠?qū)崿F(xiàn)靜態(tài)和動(dòng)態(tài)的級(jí)聯(lián)。Hammerstein結(jié)構(gòu)最大的優(yōu)點(diǎn)是能較好地反映過程的特征，這種性質(zhì)若被用于超磁致作動(dòng)器的頻率相關(guān)回滯建模上，可以一定程度上的反應(yīng)超磁致作動(dòng)器的動(dòng)態(tài)特性。

4.2 具有Hammerstein結(jié)構(gòu)的非對稱PI模型

前文分析出在1 Hz頻率的信號(hào)下，超磁致作動(dòng)器的回滯非線性的頻率相關(guān)性很弱，此時(shí)可以用非對稱PI模型來表示超磁致作動(dòng)器的非線性環(huán)節(jié)。基于此，超磁致作動(dòng)器的Hammerstein結(jié)構(gòu)的非線性環(huán)節(jié)直接采用3.2節(jié)單一非對稱PI模型中建模時(shí)采用衰減信號(hào)利用SQP算法辨識(shí)出來的數(shù)據(jù)建立。

受控自回歸(auto-regressive with exogenous，ARX)模型是一種傳遞函數(shù)模型，具有計(jì)算量小、結(jié)構(gòu)簡單等優(yōu)點(diǎn)，其可以表示成線性回歸方程的形式，在工程中的應(yīng)用比較廣[27-28]。

這種模型是一種類似“黑箱”的模型，它是利用過程的輸入信號(hào)和輸出信號(hào)信息來建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，既用在線性系統(tǒng)中，也用在非線性系統(tǒng)的辨識(shí)中[29-31]。

單輸入單輸出下的ARX傳遞函數(shù)模型的Z域描述可以表示為

A(z-1)Y(k)=B(z-1)U(k)+σ(k)

(18)

式中:σ(k)為隨機(jī)噪聲;U(k)為系統(tǒng)k時(shí)刻的輸入；Y(k)為系統(tǒng)k時(shí)刻的輸出，系統(tǒng)的輸入和輸出都是可觀測的，而A(z-1)和B(z-1)為模型的估計(jì)參數(shù)，z-1為單位延遲算子[32-33]。

將式(18)表示成傳遞函數(shù)的形式，得到

式中:U(k)為系統(tǒng)的輸入;Y(k)為系統(tǒng)的輸出，系統(tǒng)的輸入和輸出都是可觀測的；G(z-1)用來描述系統(tǒng)的輸入輸出特性；σ(k)為隨機(jī)噪聲；z-1為單位延遲算子[34]。

4.3 Hammerstein結(jié)構(gòu)線性動(dòng)態(tài)環(huán)節(jié)辨識(shí)

ARX模型的階數(shù)采用基于赤池信息準(zhǔn)則(Akaike information criterion，AIC)的過程來判定，通過尋找一個(gè)具有較小的AIC值的估計(jì)模型來決定模型的階次[35]。AIC準(zhǔn)則建立在信息理論基礎(chǔ)上，用來表示給定模型丟失信息的相對數(shù)量，模型丟失的信息越少，該模型的質(zhì)量就越高。AIC準(zhǔn)則估計(jì)每個(gè)模型的質(zhì)量，因此是一種確定模型的方法。而AIC值的定義一般為

(20)

式中:T為試驗(yàn)數(shù)據(jù)數(shù)量；d為模型中未知參數(shù)的個(gè)數(shù)；SSSE為誤差的平方和，表達(dá)式為

(21)

首先給定ARX模型中傳遞函數(shù)G(z-1)的分子分母的階次的變化范圍，由于ARX模型的階次默認(rèn)為整數(shù)，那么在給定階次變化范圍時(shí)，每次不同階次組合下進(jìn)行計(jì)算時(shí)，式(20)中的d就為已知量。然后在計(jì)算AIC值進(jìn)行判定時(shí)，需要計(jì)算SSE中對試驗(yàn)數(shù)據(jù)的極大似然的估計(jì)值y′j[37]。

在這個(gè)過程中，采用極大似然法進(jìn)行估計(jì)，在不同的階次組合下進(jìn)行一一計(jì)算，每種階次組合下，未知數(shù)的個(gè)數(shù)一定，AIC準(zhǔn)則假設(shè)模型的誤差服從獨(dú)立正態(tài)分布，在采用極大似然法求解未知參數(shù)過程中，主要分為四步：

步驟1構(gòu)造似然函數(shù)L(θd)，(θ1，θ2，...,θd);

步驟2取對數(shù)ln(L(θd));

基于AIC準(zhǔn)則的判定過程的原理是權(quán)衡模型的擬合優(yōu)良性和模型復(fù)雜度。式(20)中，In(SSSE/T)表示尋找到的模型和試驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合的優(yōu)良程度，因?yàn)樵谠囼?yàn)數(shù)據(jù)量一定的前提下，模型與試驗(yàn)數(shù)據(jù)的SSE值越小，表示模型和數(shù)據(jù)的擬合程度越高，模型的精度就越高。而2d/T表示對模型過度擬合的懲罰，由于試驗(yàn)數(shù)據(jù)量一定的情況下，d值越大，就表示模型中的參數(shù)數(shù)量就會(huì)變多，表示模型越不簡潔。所以模型階次比較低時(shí)，d的值比較小，此時(shí)ln(SSSE/T)占主導(dǎo)地位，但是當(dāng)階次慢慢變大，模型變得復(fù)雜時(shí)，ln(SSSE/T)的值將會(huì)變得較小，而且變化的越來越不明顯，但是2d/T的值由于模型參數(shù)的變多而變得很大，占據(jù)主導(dǎo)地位這就使得AIC值出現(xiàn)了在某處會(huì)有最小值的情況，所以AIC準(zhǔn)則一方面使得數(shù)據(jù)擬合的優(yōu)良程度更高，但是又避免參數(shù)過多出現(xiàn)過度擬合的情況，是對模型正確概率和模型復(fù)雜度的綜合評價(jià)[38]。

將采集到的掃頻輸入信號(hào)作為前文建立好的非對稱PI模型的輸入，然后計(jì)算出此時(shí)非對稱PI模型的輸出，將非對稱PI模型的輸出當(dāng)做ARX模型的輸入，將之前采集到的掃頻信號(hào)下超磁致作動(dòng)器動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的響應(yīng)作為ARX模型的輸出，然后對數(shù)據(jù)基于AIC準(zhǔn)則的判定過程判定系統(tǒng)傳遞函數(shù)的階次和形式，返回A(z-1)階數(shù)為0階，B(z-1)階數(shù)為3階時(shí)，AIC值最小。

此時(shí)傳遞函數(shù)的形式為

(22)

由于判定的過程中是基于似然函數(shù)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，大樣本下服從獨(dú)立正態(tài)分布的似然函數(shù)取極值的情況就是誤差平方和最小的情況，故此時(shí)的參數(shù)估計(jì)值能夠保證模型的精度。

此時(shí)基于AIC準(zhǔn)則的階次判定過程中的未知參數(shù)的極大似然估計(jì)值為

(23)

但是傳遞函數(shù)的結(jié)果是由試驗(yàn)數(shù)據(jù)的離散點(diǎn)辨識(shí)得到的，所以辨識(shí)出來的傳遞函數(shù)是離散傳遞函數(shù)，但是建立的數(shù)學(xué)模型需要是連續(xù)的數(shù)學(xué)模型，前文所建立的非對稱PI模型也是連續(xù)的模型，所以需要將離散形式的傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)化成連續(xù)形式。

離散傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)化為連續(xù)傳遞函數(shù)的方法比較多，本研究采用的是零階保持的方法，保持技術(shù)廣泛應(yīng)用在動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的建模和控制中，因?yàn)樗軌蚪⑵疬B續(xù)控制系統(tǒng)和離散控制系統(tǒng)之間的聯(lián)系[39]。零階保持是由傳統(tǒng)的數(shù)模轉(zhuǎn)換器來完成對實(shí)際信號(hào)的恢復(fù)和重建的，它的原理是將一個(gè)采樣信號(hào)保持一個(gè)采樣周期來將離散的時(shí)間信號(hào)轉(zhuǎn)換為連續(xù)的時(shí)間信號(hào)。試驗(yàn)中的采樣間隔是0.000 02 s，可以用零階保持的方法將離散的傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)化為連續(xù)的傳遞函數(shù)。轉(zhuǎn)化后的結(jié)果為

(24)

然后將所得到的傳遞函數(shù)和非對稱PI模型串聯(lián)得到超磁致作動(dòng)器的具有Hammerstein結(jié)構(gòu)的非對稱PI模型的完整數(shù)學(xué)模型。

5 具有Hammerstein結(jié)構(gòu)的非對稱PI模型驗(yàn)證

分別用不同幅值的正弦電流來驅(qū)動(dòng)超磁致作動(dòng)器，并計(jì)算該輸入幅值正弦電流下的超磁致作動(dòng)器的具有Hammerstein結(jié)構(gòu)的非對稱PI模型輸出，并將試驗(yàn)數(shù)據(jù)和建模仿真數(shù)據(jù)進(jìn)行比較。由于幅值水平較多，以幾組為例，建模結(jié)果如圖11和圖12所示。

圖11 超磁致作動(dòng)器的1 A正弦激勵(lì)信號(hào)幅值下建模與試驗(yàn)數(shù)據(jù)對比Fig.11 Comparison of modeling and experimental data under the amplitude of 1 A sinusoidal excitation signal of the giant magnetic actuator

圖12 超磁致作動(dòng)器的2 A正弦激勵(lì)信號(hào)幅值下建模與試驗(yàn)數(shù)據(jù)對比Fig.12 Comparison of modeling and experimental data under the amplitude of the 2 A sinusoidal excitation signal of the giant magnetic actuator

從正弦信號(hào)的建模仿真對比結(jié)果可以看出，正弦信號(hào)下，在50～400 Hz的頻率范圍內(nèi)所建立的具有Hammerstein結(jié)構(gòu)的非對稱PI模型能夠較好地匹配超磁致作動(dòng)器的動(dòng)態(tài)回滯特性曲線，誤差在5%～8%。

6 加入Hammerstein結(jié)構(gòu)前后的非對稱PI模型建模效果對比

分別用不同幅值和不同頻率的正弦信號(hào)激勵(lì)單一非對稱PI模型和具有Hammerstein結(jié)構(gòu)的非對稱PI模型，與超磁致作動(dòng)器的試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行對比，試驗(yàn)數(shù)據(jù)與建模仿真的誤差定義如式(25)所示

(25)

式中:um為建模仿真輸出位移;ue為超磁致作動(dòng)器的試驗(yàn)輸出位移，所示建模結(jié)果如圖13所示。

圖13 超磁致作動(dòng)器的1 A激勵(lì)信號(hào)幅值下不同建模結(jié)果與試驗(yàn)數(shù)據(jù)對比Fig.13 Comparison of different modeling results and experimental data under the amplitude of 1 A sinusoidal excitation signal of giant magnetic actuator

從圖13中可以看出，加入了具有Hammerstein結(jié)構(gòu)的非對稱PI模型在輸入電流信號(hào)頻率較低時(shí)和單一非對稱PI模型的建模效果差別不是很大，但是隨著電流頻率增大，加入了具有Hammerstein結(jié)構(gòu)的非對稱PI模型能夠更好的匹配超磁致作動(dòng)器的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，如在1 A電流賦值，頻率450 Hz時(shí)，加入Hammerstein結(jié)構(gòu)以后建模誤差從20%下降到約5%，因此加入了Hammerstein結(jié)構(gòu)的非對稱PI模型能夠比單一的非對稱PI模型更好的描述超磁致作動(dòng)器回滯非線性的頻率相關(guān)性。

7 結(jié) 論

本文先基于單一非對稱PI模型對超磁致作動(dòng)器進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，在合并同類項(xiàng)減少了一個(gè)參數(shù)的情況下，所建立的單一非對稱PI模型能夠較好的匹配電流信號(hào)的幅值相關(guān)，但是無法準(zhǔn)確地描述電流信號(hào)的頻率相關(guān)。后續(xù)在單一非對稱PI模型的基礎(chǔ)上加入了ARX模型，建立了具有Hammerstein結(jié)構(gòu)的非對稱PI模型，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，所建立的具有Hammerstein結(jié)構(gòu)的非對稱PI模型比單一的非對稱PI模型能更準(zhǔn)確地描述超磁致作動(dòng)器回滯非線性的頻率相關(guān)性，具體表現(xiàn)為當(dāng)電流頻率增大時(shí)，具有Hammerstein結(jié)構(gòu)的非對稱PI模型能更好的匹配試驗(yàn)數(shù)據(jù)，比單一的非對稱PI模型具有更高的建模精度。最后，基于不同頻率的正弦信號(hào)驗(yàn)證了所建立的具有Hammerstein結(jié)構(gòu)的非對稱PI模型的有效性。