基于SVD和雙樹復(fù)小波包的低速設(shè)備故障診斷

李洲統(tǒng) 張永杰

（1.紹興天然氣投資有限公司，浙江 紹興 312075；2.北京訊騰智慧科技股份有限公司，北京 100029）

0 引言

低速重載設(shè)備是機(jī)械設(shè)備中最常見的設(shè)備，靠大齒圈與小齒輪嚙合來傳動的設(shè)備是低速重載設(shè)備中最典型的設(shè)備，齒輪副的運(yùn)行狀態(tài)直接影響整臺設(shè)備的性能，因此，對這種低速重載設(shè)備的齒輪進(jìn)行故障診斷具有非常重要的意義。

奇異值分解方法在信號降噪和周期成分提取方面具有優(yōu)越性。但是對采集到的低速重載設(shè)備的信號來說，由于設(shè)備轉(zhuǎn)速低，要想采集該信號的低頻成分，保證較高的頻率分辨率，就需要花費(fèi)較長的采集時(shí)間，因此信號長度一般都很長，受計(jì)算機(jī)內(nèi)存的限制，已無法用奇異值分解對這種信號進(jìn)行降噪。

雙樹復(fù)小波變換是剛發(fā)展起來的一種新型的小波變換方法，其具有近似平移不變性、良好的方向選擇性等特性，在圖像處理、語音處理和故障診斷等領(lǐng)域已有相關(guān)應(yīng)用。與傳統(tǒng)小波包分解相比，雙樹復(fù)小波包分解的能量泄漏量更小，在該基礎(chǔ)上進(jìn)行后續(xù)包絡(luò)分析，包絡(luò)譜的特征更明顯。

為了對低速重載設(shè)備進(jìn)行故障診斷，該文有機(jī)融合了雙樹復(fù)小波包和奇異值分解方法，并將其成功應(yīng)用于機(jī)械故障診斷。應(yīng)用結(jié)果表明，該方法可以有效地提取低速重載設(shè)備的故障特征信息。

1 奇異值分解原理

奇異值分解（Singular Value Decomposition，SVD）是一種典型的正交化方法。對實(shí)矩陣∈R來說，不論其行、列是否相關(guān)，都存在一對正交矩陣（如公式（1）和公式（2）所示），使公式（3）～公式（5）成立。

式中：和為一對正交的矩陣；u為矩陣中的列向量，每個(gè)列向量有個(gè)元素，個(gè)列向量u構(gòu)成矩陣；R為行列的實(shí)矩陣；∈為集合中的屬于；v為矩陣中的列向量，每個(gè)列向量有個(gè)元素，個(gè)列向量v構(gòu)成矩陣；R為行列的實(shí)矩陣；為行列的實(shí)矩陣，即∈R；，，…，σ為元素 ；為特征值矩陣。

公式（3）或者其轉(zhuǎn)置公式（4）主要取決于＜還是＞，∈，其中 diag（，，…，σ）為由元素，，…，σ構(gòu)成的斜對角矩陣，=min（，），0為零矩陣，斜對角矩陣上的元素由大到小排列，即≥≥…≥σ≥0，這些元素稱為矩陣的奇異值。

利用一維振動信號構(gòu)造矩陣的方式有很多種，研究發(fā)現(xiàn)，構(gòu)造Hankel矩陣更有利于信號的降噪。對離散信號=（（1），（2），…，（））來說，可以構(gòu)造Hankel矩陣如公式（6）所示（1＜＜）。

式中：為該矩陣不同的元素；括號中的數(shù)字為該元素在原始離散信號中的序列號，即這個(gè)在中是第幾個(gè)數(shù)字。

令=-+1，則是一個(gè)行列的實(shí)矩陣，該矩陣被稱為重構(gòu)吸引子軌道矩陣，對該矩陣進(jìn)行SVD分解，即可得到3個(gè)矩陣、和。

矩陣中的斜對角元素為奇異值，共有個(gè)元素，從大到小排列，依次為，，…，σ，下標(biāo)數(shù)字表示該奇異值在奇異值序列中的位置，根據(jù)這個(gè)序列可以求得一個(gè)新的序列a，如公式（7）所示。

式中：σ為第個(gè)奇異值；為奇異值元素的下標(biāo)（正整數(shù)），其取值為 1～-1。

按順序?qū)⑺械?span id="j5i0abt0b" class="emphasis_italic">a畫出來，得到奇異值差分譜，如果相鄰2個(gè)奇異值的差別較大，則在差分譜中產(chǎn)生1個(gè)峰值，在整個(gè)奇異值差分譜中必然存在1個(gè)最大的峰值a，這意味奇異值序列在處發(fā)生了最大突變，保留前個(gè)奇異值，其他奇異值置0，即可重構(gòu)出1個(gè)新的信號，該信號包括原始信號中主要的頻率成分。

奇異值分解是一種非常有效的信號降噪方法，在機(jī)電設(shè)備故障診斷中得到了廣泛應(yīng)用，但該方法存在一個(gè)明顯的缺陷，即奇異值分解過程中涉及大量的矩陣運(yùn)算，對計(jì)算機(jī)的內(nèi)存有較高的要求，普通計(jì)算機(jī)處理長度為8 192的振動信號就已到極限，非常不利于低速重載設(shè)備的故障診斷，需要借助其他方法對低速重載設(shè)備振動信號進(jìn)行降采樣，同時(shí)又不能失去信號中的故障信息。

2 雙樹復(fù)小波包變換的基本原理

雙樹復(fù)小波包變換（DT-CWPT）的分解和重構(gòu)過程如圖1所示。其中，原始信號經(jīng)過了2個(gè)并行的離散小波包變換，1個(gè)離散小波包變換為實(shí)部樹，即圖1虛直線的上半部，實(shí)部樹中經(jīng)過1個(gè)高通濾波器得到高頻段的小波包分解系數(shù)，經(jīng)過1個(gè)低通濾波器得到低頻段的小波包系數(shù)，因此，該實(shí)部樹將原始信號分解為2個(gè)不同的頻段，到了第二層分解，又將高頻段的小波包系數(shù)分解為高高頻段和高低頻段，將低頻段的小波包系數(shù)分解為低高頻段和低低頻段，以此類推。圖1虛直線下部為虛部樹，采用另外1對高通濾波器和低通濾波器對信號進(jìn)行分解。實(shí)部樹和虛部樹分解過程的區(qū)別如下：在進(jìn)行第二層以上分解時(shí)，為了保證兩樹在該層和所有前層上產(chǎn)生的延遲差的總和相對原信號輸入為1個(gè)采樣周期，實(shí)樹小波包分解交替使用Q_shift高通濾波器組，虛部樹分解交替使用Q_shift低通濾波器組。

圖1 雙樹復(fù)小波包變換的分解與重構(gòu)過程

雙數(shù)復(fù)小波包分解過程采用了系數(shù)二分法，去除了多余的計(jì)算，提高了分解效率，降低了信息的丟失率，且實(shí)部樹和虛部樹相結(jié)合的方式使雙樹復(fù)小波分解有更少的能量泄露，分解所得分量包括更少的理論頻帶范圍外的干擾成分，更有利于后期的故障診斷。

在經(jīng)過雙數(shù)復(fù)小波包分解后，可以得到若干個(gè)不同頻帶的小波包分解系數(shù)，如果保留某個(gè)頻帶的小波包分解系數(shù)，將其他頻帶的小波包分解系數(shù)置0，然后再進(jìn)行重構(gòu)，就可以得到該頻帶范圍內(nèi)的振動信號，相當(dāng)于對原始信號進(jìn)行了一次帶通濾波，但這種做法仍存在一定的局限性，即無法有效剔除該頻帶范圍內(nèi)的噪聲，需要采用其他方法進(jìn)行深度降噪。

與傳統(tǒng)小波包分解一樣，在雙數(shù)復(fù)小波包分解過程中，每分解1次，數(shù)據(jù)量都會減半，分解層數(shù)越多，小波包分解系數(shù)的長度就會明顯下降，從而給長數(shù)據(jù)的奇異值分解降噪帶來可能性，利用奇異值分解對包括故障信息豐富的頻帶范圍內(nèi)的小波包系數(shù)進(jìn)行降噪處理，然后再進(jìn)行雙數(shù)復(fù)小波包重構(gòu)，可以極大地降低該頻帶范圍內(nèi)的噪聲。

3 SVD和DT-CWPT診斷方法

為了實(shí)現(xiàn)低速重載設(shè)備的故障診斷功能，從而有效地去除低速重載設(shè)備振動信號中的強(qiáng)噪聲，該文提出了有機(jī)融合奇異值分解和雙數(shù)復(fù)小波包分解的診斷方法，步驟如下：1） 采集低速重載設(shè)備的振動信號，利用雙樹復(fù)小波包對該信號進(jìn)行分解， 分解層數(shù)根據(jù)原始信號的長度來確定，要求分解得到的小波包系數(shù)的長度小于8 192。2） 選擇包括故障信息最豐富的分量來構(gòu)建Hankel矩陣，然后對該Hankel矩陣進(jìn)行奇異值分解，在奇異值差分譜中找到最大的突變點(diǎn)，確定重構(gòu)的奇異值個(gè)數(shù)，然后進(jìn)行重構(gòu)，實(shí)現(xiàn)信號的第一步重構(gòu)。3） 對SVD重構(gòu)的小波包系數(shù)進(jìn)行雙樹復(fù)小波包重構(gòu)，得到降噪之后的信號，再利用希爾包絡(luò)解調(diào)方法得到該信號的包絡(luò)譜，確定故障特征信息，識別故障類型。

4 工程應(yīng)用

溢流型球磨機(jī)是金礦上的關(guān)鍵設(shè)備，一旦發(fā)生故障，將嚴(yán)重影響企業(yè)的正常生產(chǎn)。典型的溢流型球磨機(jī)結(jié)構(gòu)如圖2所示，球磨機(jī)一般有2個(gè)磨粉倉，礦石經(jīng)進(jìn)料口進(jìn)入第一個(gè)磨倉，磨倉內(nèi)裝有很多不同大小的鋼球充當(dāng)研磨介質(zhì)，驅(qū)動電機(jī)帶動小齒輪，再驅(qū)動大齒輪旋轉(zhuǎn)，大齒輪帶著滾筒同步旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)動中產(chǎn)生一定的離心力，鋼球在離心力的作用下到達(dá)一定的高度，又在自重力高于離心力后落下，撞擊礦石，以達(dá)到研磨的目的，研磨到一定程度后再進(jìn)入第二個(gè)磨倉進(jìn)行細(xì)磨，磨成粉狀物后通過卸料板排出，從而完成礦石的粉磨作業(yè)，為后續(xù)的冶煉黃金奠定基礎(chǔ)。

圖2 溢流型球磨機(jī)結(jié)構(gòu)示意圖

某金礦1臺球磨機(jī)發(fā)生較大的振動，技術(shù)人員采集了該球磨機(jī)的振動信號，測量位置為小齒輪兩端、減速機(jī)側(cè)支撐軸承以及電機(jī)側(cè)支撐軸承。大齒輪轉(zhuǎn)頻即滾筒轉(zhuǎn)頻為0.240 Hz，小齒輪轉(zhuǎn)頻為3.333 Hz。由于信號長度超過8 192，傳統(tǒng)的奇異值分解方法已不再適用，因此利用該文所提出的方法對該信號進(jìn)行分析，從而對球磨機(jī)進(jìn)行故障診斷分析，故障診斷中所用的數(shù)據(jù)見表1。

表1 相關(guān)參數(shù)

采集到的振動信號如圖3所示，時(shí)域波形比較雜亂，看不出任何故障信息，頻譜圖中存在明顯的嚙合頻率（70.040 Hz）及其倍頻（140.000 Hz、210.100 Hz和280.000 Hz），嚙合頻率是齒輪運(yùn)轉(zhuǎn)過程中經(jīng)常出現(xiàn)的頻率成分，無法據(jù)此識別故障齒輪對應(yīng)的特征頻率。

圖3 原始信號的波形圖和頻譜圖

由于信號的長度為131 072，因此無法直接進(jìn)行奇異值分解，必須把數(shù)據(jù)長度降到8 192以內(nèi)，利用該文提出的方法對該信號進(jìn)行4層雙樹復(fù)小波分解，每個(gè)頻帶的點(diǎn)數(shù)為8 192。

因?yàn)閲Ш项l率70.040 Hz附近的沖擊比較大，所以對包括70.040 Hz的頻帶（即第一個(gè)頻帶）的小波系數(shù)進(jìn)行奇異值分解，實(shí)部和虛部的奇異差分譜如圖4所示，實(shí)部和虛部都在第四點(diǎn)出現(xiàn)了較大突變，對實(shí)部和虛部奇異值分解的前4個(gè)分量進(jìn)行奇異值重構(gòu)，從而對第一個(gè)頻帶的小波系數(shù)進(jìn)行降噪，雙樹復(fù)小波重構(gòu)后的信號如圖5所示，時(shí)域波形中出現(xiàn)明顯的周期性沖擊，周期大約為4.368 s，對應(yīng)的頻率為0.228 94 Hz,與表1中的大齒輪故障特征頻率非常接近，嚙合頻率70.040 Hz局部放大圖如圖6所示，出現(xiàn)了邊頻70.270 Hz,邊頻帶寬為0.230 Hz，與大齒輪的轉(zhuǎn)頻0.240 Hz非常接近。

圖4 奇異值和差分譜前100個(gè)點(diǎn)

圖5 重構(gòu)后信號的波形和頻譜

圖6 頻譜局部放大圖

重構(gòu)信號的包絡(luò)譜如圖7所示，包絡(luò)譜中存在2個(gè)明顯的峰值（0.228 9 Hz和0.457 8 Hz），與大齒輪的轉(zhuǎn)頻和二倍頻非常接近，因此可以斷定大齒輪發(fā)生了故障，后來該廠工作人員對球磨機(jī)進(jìn)行檢查，發(fā)現(xiàn)大齒輪出現(xiàn)了磨損故障，與利用該文所提出的方法的診斷結(jié)果相吻合。

圖7 重構(gòu)后信號的希爾伯特包絡(luò)譜

5 結(jié)語

該文研究了將奇異值分解與雙樹復(fù)小波包分解結(jié)合的方法，通過仿真實(shí)例和工程應(yīng)用驗(yàn)證了該方法的有效性，得出的結(jié)論如下：1） 雙樹復(fù)小波包可以將振動信號分解為多個(gè)不同頻段的分量，從而有效去除一些干擾成分。2） 奇異值分解可以保留信號中絕大部分有用成分，同時(shí)又最大限度地消除噪聲。3） 將2種方法有機(jī)融合并應(yīng)用于低速重載設(shè)備的故障診斷可以有效地找到故障特征信息，從而達(dá)到識別故障模式的目的。