計(jì)及橫向剪切效應(yīng)的環(huán)形諧振子理論研究

裴永樂(lè)，高立民，徐 亮，李 華，李曉輝，李錄賢

(1.中國(guó)科學(xué)院西安光學(xué)精密機(jī)械研究所，西安 710119；2.西安交通大學(xué)航天航空學(xué)院，機(jī)械結(jié)構(gòu)強(qiáng)度與振動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,飛行器環(huán)境與控制陜西省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安 710049)

0 引言

環(huán)形諧振子是諧振陀螺的一種典型諧振子結(jié)構(gòu)類(lèi)型，由于環(huán)形諧振子與旋轉(zhuǎn)薄殼型諧振子(如半球諧振子)具有相似的動(dòng)力學(xué)特性，因此可用環(huán)形諧振子的模型來(lái)簡(jiǎn)化研究半球諧振子唇緣的動(dòng)態(tài)特性。經(jīng)典的環(huán)形諧振子理論是在不考慮橫向剪切變形的條件下，基于彈性力學(xué)基本原理以及幾何中心線(或稱(chēng)幾何中性軸)不可拉伸假設(shè)建立的，因此，該經(jīng)典理論只適用于高徑比(即結(jié)構(gòu)高度與幾何中心線曲率半徑之比)較小的薄環(huán)結(jié)構(gòu)。

在實(shí)踐過(guò)程中，特別是在高過(guò)載條件下，如導(dǎo)彈的發(fā)射過(guò)程、彈體的侵徹過(guò)程等工況下，過(guò)小的高徑比容易造成諧振子局部剛度不足，進(jìn)而引起諧振子結(jié)構(gòu)失效，因此，需要使用高徑比較大的諧振子。在這種情況下，若仍使用忽略橫向剪切效應(yīng)的經(jīng)典環(huán)形諧振子理論來(lái)設(shè)計(jì)諧振子，可能會(huì)造成很多問(wèn)題，例如計(jì)算的彎曲撓度偏小、臨界屈曲載荷偏大等。因此，目前亟需建立考慮橫向剪切效應(yīng)的環(huán)形諧振子理論及動(dòng)態(tài)響應(yīng)問(wèn)題的求解方法，這對(duì)于高精度諧振陀螺的研究具有重要的工程意義和學(xué)術(shù)價(jià)值。

本文主要根據(jù)梁板理論的研究方法，從能量原理角度分析環(huán)結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)問(wèn)題?；跈M向剪切效應(yīng)的梁板理論主要包括基于線性位移模式的低階理論(如Timoshenko理論)和基于高次位移模式的高階理論等?？紤]到基于高次位移模式的高階理論邊界條件復(fù)雜、物理意義不明確，很難獲得理論解。因此，為了便于工程計(jì)算，本文擬從經(jīng)典Timoshenko理論的位移模式出發(fā)，根據(jù)經(jīng)典環(huán)形諧振子理論的基本假設(shè)和能量原理，建立考慮橫向剪切效應(yīng)的環(huán)形諧振子新理論，并研究環(huán)形諧振子在緩慢、勻速轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中的動(dòng)態(tài)響應(yīng)問(wèn)題。

1 環(huán)形諧振子結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)描述

(1)

圖1 圓環(huán)結(jié)構(gòu)及坐標(biāo)系示意圖Fig.1 The ring-shaped structure and its coordinate system

并且

(2)

環(huán)形結(jié)構(gòu)的幾何關(guān)系可以表示為

(3)

其中，和分別為截面上的正應(yīng)變和剪應(yīng)變。

對(duì)于均質(zhì)材料的環(huán)結(jié)構(gòu)，其本構(gòu)關(guān)系可以表示為

(4)

其中，和分別為截面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力；=[2(1+)]表示材料的剪切模量。

對(duì)于環(huán)結(jié)構(gòu)問(wèn)題，其廣義應(yīng)力的定義如下

(5)

其中，、和分別為周向拉力、彎矩和剪力。

因此，根據(jù)幾何關(guān)系式(3)和本構(gòu)關(guān)系式(4)，可得環(huán)結(jié)構(gòu)的廣義本構(gòu)關(guān)系為

(6)

(7)

并且,“′”表示物理量對(duì)周向坐標(biāo)的一階偏導(dǎo)數(shù)。

2 環(huán)形諧振子結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)描述

對(duì)于一個(gè)緩慢、勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的環(huán)形諧振子，其動(dòng)態(tài)響應(yīng)問(wèn)題的求解一直是諧振陀螺領(lǐng)域的重要研究?jī)?nèi)容，特別是進(jìn)動(dòng)系數(shù)、二階彎曲角頻率等參數(shù)。因此，本節(jié)利用上述位移模式式(1)、廣義應(yīng)力式(5)、應(yīng)變式(7)以及本構(gòu)關(guān)系式(6)，根據(jù)哈密頓原理，對(duì)環(huán)形諧振子動(dòng)態(tài)響應(yīng)問(wèn)題進(jìn)行系統(tǒng)地研究和求解。

根據(jù)環(huán)結(jié)構(gòu)的哈密頓原理，可得

(8)

并且

(9)

(10)

其中

(11)

將本構(gòu)關(guān)系式(6)代入平衡方程式(10)中，從而有

(12)

至此，建立了考慮橫向剪切效應(yīng)的環(huán)結(jié)構(gòu)理論，此外，環(huán)形結(jié)構(gòu)的連續(xù)性(周期性)條件可表述為

(13)

3 動(dòng)態(tài)問(wèn)題的求解方法

進(jìn)動(dòng)系數(shù)及二階彎曲角頻率是諧振陀螺設(shè)計(jì)領(lǐng)域的重要參數(shù)，為了獲得環(huán)形結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)響應(yīng)問(wèn)題的理論解，同樣引入幾何中心線不可拉伸假設(shè)，從而有

(14)

即

(15)

(16)

其中，()和()為位移分布函數(shù)。

根據(jù)式(6)、式(7)和式(16)，對(duì)于動(dòng)態(tài)問(wèn)題，剪力(,)可表示為

(17)

為了評(píng)估橫向剪切變形對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的影響，考慮到式(16)，假設(shè)

()sin(2)]

(18)

其中，為待定系數(shù)，表征截面剪力大小，其值與、等物理量有關(guān)(見(jiàn)第4節(jié))。

將式(14)和式(16)代入平衡方程式(12)，利用布勃諾夫-伽遼金法整理可得

(19)

其中

(20)

進(jìn)而，進(jìn)動(dòng)系數(shù)和二階角頻率為

(21)

根據(jù)式(21)，基于本文理論獲得環(huán)形諧振子的進(jìn)動(dòng)系數(shù)不再恒為2/5，其值會(huì)隨著高徑比等物理量的變化而改變；另一方面，由于待定常數(shù)的存在，利用經(jīng)典的幾何中心線不可拉伸假設(shè)及布勃諾夫-伽遼金法求解諧振子動(dòng)態(tài)響應(yīng)問(wèn)題時(shí)，存在一個(gè)待定常數(shù)難以直接確定的問(wèn)題。

4 待定常數(shù)的求解

為了確定待定常數(shù)，考慮到進(jìn)動(dòng)系數(shù)和二階角頻率的解析表達(dá)式中有相同的待求參數(shù)，并且很難通過(guò)其他方法獲得進(jìn)動(dòng)系數(shù)的準(zhǔn)確值。因此，本文擬利用二階彎曲角頻率值推導(dǎo)值，最終獲得進(jìn)動(dòng)系數(shù)的精確值。對(duì)于環(huán)結(jié)構(gòu)，在考慮橫向剪切效應(yīng)的條件下，獲得環(huán)結(jié)構(gòu)二階彎曲角頻率的最有效方法是有限元分析法。

在實(shí)踐過(guò)程中，為了提高諧振子的品質(zhì)因數(shù)，環(huán)形諧振子一般選取熔融石英材料，力學(xué)性能如下：密度=2201kg/m，彈性模量=727GPa及泊松比=016。此外，為了便于求解，這里取無(wú)量綱參數(shù)=，式(21)可轉(zhuǎn)化為

(22)

(a)有限元模型

(b) 二階彎曲振型

圖3 環(huán)結(jié)構(gòu)二階無(wú)量綱彎曲角頻率ω2隨h/r變化的規(guī)律Fig.3 The variation of the second-order dimensionless bending angular frequency for the ring structure with h/r increasing

同時(shí)，根據(jù)圖3以及式(22)之二式，可獲得曲率半徑=20mm，50mm及100mm條件下值隨的變化規(guī)律，如圖4所示。根據(jù)圖4可知，在不同的曲率半徑條件下，參數(shù)隨著的增加而單調(diào)增大：在較小時(shí)(如=002時(shí))，趨近于零；在較大時(shí)(如=02時(shí))，可達(dá)0.082左右。并且當(dāng)曲率半徑取不同值時(shí)，隨著的增加，隨著變化曲線的一致性很好，最大相對(duì)誤差小于0.02%。

圖4 參數(shù)s1隨h/r變化的規(guī)律Fig.4 The distribution of parameter s1 with h/r increasing

為了準(zhǔn)確獲得()函數(shù)的具體形式，取的幾何平均值進(jìn)行分析(在相同條件下)。根據(jù)最小二乘法，最終擬合的()函數(shù)具體形式為

(23)

其中

(24)

并且，擬合函數(shù)的相關(guān)系數(shù)為0.9997，如圖4中曲線()所示。因此，最終獲得了函數(shù)的具體形式如下

=()

(25)

5 結(jié)果分析與討論

(26)

其中

(27)

圖5 無(wú)量綱彎曲角頻率ω2隨h/r的變化規(guī)律Fig.5 The variation of the second-order dimensionless bending angular frequency ω2 with h/r increasing

圖6 進(jìn)動(dòng)系數(shù)K隨h/r的變化規(guī)律Fig.6 The distribution of the precession coefficient K with h/r increasing

此外，考慮到擬合()的復(fù)雜性，為了便于工程應(yīng)用，本文還研究了=0的特殊情況(即=0時(shí))，獲得了二階彎曲角頻率及進(jìn)動(dòng)系數(shù)的簡(jiǎn)化理論解，如圖5及圖6所示。此時(shí)，根據(jù)式(16)、式(17)和式(18)，從而有截面剪力(,)=0，截面轉(zhuǎn)角(,)≠0，即環(huán)結(jié)構(gòu)剪力為零時(shí)，仍存在截面轉(zhuǎn)角的變化。根據(jù)圖5和圖6可知，對(duì)于二階彎曲角頻率，簡(jiǎn)化理論解較本文標(biāo)準(zhǔn)理論解大，較經(jīng)典環(huán)理論解小，如當(dāng)=0.2時(shí)，簡(jiǎn)化理論解較本文標(biāo)準(zhǔn)理論解大1.39%，較經(jīng)典理論解小0.30%；對(duì)于進(jìn)動(dòng)系數(shù)，簡(jiǎn)化理論解略小于本文對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)理論解，明顯小于經(jīng)典理論解，如=0.2時(shí)，簡(jiǎn)化理論解較本文理論解小0.02%，較經(jīng)典理論解小0.42%。需要強(qiáng)調(diào)的是,雖然基于本文理論的進(jìn)動(dòng)系數(shù)與經(jīng)典理論結(jié)果的相對(duì)誤差在0.4%左右，但是這對(duì)于高精度諧振陀螺的設(shè)計(jì)及模型誤差分析仍具有重要的指導(dǎo)意義。

通過(guò)分析本文理論解中各項(xiàng)所對(duì)應(yīng)的物理內(nèi)涵，特別是與廣義應(yīng)變的對(duì)應(yīng)關(guān)系，發(fā)現(xiàn)造成上述差異的根本原因在于，本文的環(huán)形諧振子理論不僅可以準(zhǔn)確描述結(jié)構(gòu)彎曲變形的能量(特別是廣義彎曲應(yīng)變)，而且可以準(zhǔn)確描述結(jié)構(gòu)橫向剪切變形的能量(特別是廣義剪切應(yīng)變)：橫向剪切變形的大小對(duì)于二階彎曲角頻率的理論解有重要影響，彎曲變形的大小對(duì)于進(jìn)動(dòng)系數(shù)的理論解有重要影響。此外，盡管本文簡(jiǎn)化理論解不能精確表征環(huán)結(jié)構(gòu)的橫向剪切變形，但可以描述結(jié)構(gòu)的彎曲變形。令人遺憾的是，經(jīng)典環(huán)形諧振子理論由于無(wú)法精確表征環(huán)形結(jié)構(gòu)的橫向剪切變形及彎曲變形，因此對(duì)應(yīng)的二階彎曲角頻率和進(jìn)動(dòng)系數(shù)理論解都不夠準(zhǔn)確。

6 結(jié)論

本文從環(huán)形諧振子結(jié)構(gòu)的線性位移模式出發(fā)，基于Timoshenko理論，獲得了環(huán)形結(jié)構(gòu)的廣義應(yīng)力、應(yīng)變及本構(gòu)關(guān)系，根據(jù)哈密頓原理，建立了考慮橫向剪切效應(yīng)的環(huán)形諧振子理論，包括廣義本構(gòu)關(guān)系、平衡方程和周期性邊界條件等。然后根據(jù)布勃諾夫-伽遼金法，推導(dǎo)出包含待求參數(shù)的環(huán)形諧振子二階彎曲角頻率和進(jìn)動(dòng)系數(shù)的理論解。接著根據(jù)有限元法及最小二乘法，利用獲得的二階彎曲角頻率來(lái)擬合待求參數(shù)()的函數(shù)形式。在此基礎(chǔ)上，忽略項(xiàng)，獲得了簡(jiǎn)化理論解。最后，對(duì)比和分析了本文標(biāo)準(zhǔn)理論解與簡(jiǎn)化理論解各自的優(yōu)缺點(diǎn)(即=()與=0時(shí))，并揭示了經(jīng)典環(huán)形諧振子理論的不足。

本文的工作表明：1)本文的環(huán)形諧振子理論不僅可以描述環(huán)結(jié)構(gòu)的彎曲變形，而且可以描述結(jié)構(gòu)的橫向剪切變形；2)環(huán)結(jié)構(gòu)橫向剪切變形和彎曲變形的大小對(duì)于二階彎曲角頻率和進(jìn)動(dòng)系數(shù)的理論解取值具有重要的影響；3)環(huán)形諧振子的進(jìn)動(dòng)系數(shù)不是恒定的，它會(huì)隨著的增大而緩慢地減小；4)本文的簡(jiǎn)化理論解不僅求解方法簡(jiǎn)單，而且可以準(zhǔn)確描述進(jìn)動(dòng)系數(shù)的大小。此外，本文建立的諧振子新理論不僅可以為高精度諧振陀螺的設(shè)計(jì)提供理論支撐，而且可以為諧振子誤差分析模型提供新的視角，特別是在密度和品質(zhì)因數(shù)的不均性、加工誤差及高過(guò)載等因素引起的誤差分析方面。因此，本文的研究工作具有重要的工程意義和學(xué)術(shù)價(jià)值。