基于響應(yīng)面模型法的地下綜合管廊結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法研究

馮宇韜，李維濱**

(1.東南大學(xué) 混凝土及預(yù)應(yīng)力混凝土結(jié)構(gòu)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 南京 210096；2.東南大學(xué) 土木工程學(xué)院，江蘇 南京 210096)

綜合管廊（utility tunnel）是一種城市地下空間的綜合開發(fā)方式，通過一個(gè)隧道空間將城市運(yùn)行所需的電力、通信、燃?xì)?、供熱、給排水等各種物資運(yùn)輸歸集；實(shí)現(xiàn)對城市地下空間的綜合利用開發(fā)[1-4].綜合管廊在城市運(yùn)行中占據(jù)著重要的地位，因此學(xué)者也將其稱為生命線工程（lifeline engineering）.中國綜合管廊建設(shè)起步較晚，在修建時(shí)常使用多艙體、大截面的形式[5-7].

隨著綜合管廊結(jié)構(gòu)均趨于大型化、復(fù)雜化，結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)問題逐步演變?yōu)槎嗄繕?biāo)優(yōu)化問題，形成了新的技術(shù)挑戰(zhàn).林鵬等[8]認(rèn)為傳統(tǒng)式基于經(jīng)驗(yàn)對方案進(jìn)行反復(fù)試算的迭代手段已經(jīng)不能滿足工程設(shè)計(jì)的效率需求.引入合理的模型與有效的算法，提高設(shè)計(jì)過程中優(yōu)化的效率是結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的未來發(fā)展方向.

合理的采樣方法和近似模型可以將復(fù)雜的具體問題抽象為重要參數(shù)與設(shè)計(jì)目標(biāo)之間較為簡潔的數(shù)量關(guān)系.在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)領(lǐng)域，拉丁方采樣與響應(yīng)面近似模型有著廣泛的運(yùn)用[9-14].Chen 等[15]基于拉丁超立方采樣（Latin Hypercube Sampling，LHS）和響應(yīng)面模型（Response Surface Model，RSM）對六韌帶手性蜂窩結(jié)構(gòu)（hexachiral structure）的自振頻率進(jìn)行了優(yōu)化.Chai 等[16]驗(yàn)證了響應(yīng)面模型分析靜定桁架的有效性，并提出了可以逼近靜不定桁架的有理函數(shù)基響應(yīng)面模型.羅琪等[17]采用拉丁超立方采樣方法和高斯隨機(jī)過程回歸模型，研究了鋼木混合結(jié)構(gòu)的自振周期與剛度比之間的關(guān)系.王成洋等[18]基于響應(yīng)面模型研究了擋土墻失效模式，得到了優(yōu)于單一失效模式的結(jié)果.利用算法進(jìn)行求解是結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)的重要步驟.陳逸杰、陳俊嶺等[19-20]針對鋼混組合式風(fēng)電機(jī)組塔分別提出基于粒子群算法和改進(jìn)遺傳算法的優(yōu)化結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方法，實(shí)現(xiàn)了結(jié)構(gòu)性能和造價(jià)的多目標(biāo)優(yōu)化.黃明華等[21]基于遺傳算法對太陽能煙囪發(fā)電站進(jìn)行了結(jié)構(gòu)優(yōu)化，優(yōu)化后實(shí)現(xiàn)成本提升2.47 倍的同時(shí)輸出功率提升3.91 倍.

本文在已有研究成果的基礎(chǔ)上，依據(jù)工程經(jīng)驗(yàn)提出了一種地下綜合管廊結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，并依托某管廊設(shè)計(jì)過程對該方法進(jìn)行了驗(yàn)證.該方法基于有限元分析確定力學(xué)響應(yīng)指標(biāo).采用優(yōu)化拉丁方抽樣（Optimized Latin Hypercube Sampling，OLHS）建立響應(yīng)面模型，并評估了抽樣方法的合理性.基于響應(yīng)面模型建立考慮配筋的綜合管廊設(shè)計(jì)優(yōu)化模型，模型以管廊的結(jié)構(gòu)參數(shù)作為設(shè)計(jì)變量，以管廊綜合造價(jià)作為目標(biāo)函數(shù).采用遺傳算法和非線性優(yōu)化2 種方法求解優(yōu)化模型，得到結(jié)構(gòu)的最優(yōu)化方案.

1 基于響應(yīng)面模型的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法

在對復(fù)雜非線性結(jié)構(gòu)體系進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)，首先確定結(jié)構(gòu)的輸入?yún)?shù)和控制輸出結(jié)果，進(jìn)而建立起設(shè)計(jì)變量與輸出變量之間的有效模型，基于該模型進(jìn)行多目標(biāo)的優(yōu)化.本文采用響應(yīng)面模型建立起設(shè)計(jì)變量（結(jié)構(gòu)尺寸）與中間變量（結(jié)構(gòu)內(nèi)力）之間的數(shù)量關(guān)系.之后在優(yōu)化模型中建立中間變量與目標(biāo)函數(shù)（綜合造價(jià)）之前的數(shù)量關(guān)系；最后采用優(yōu)化算法求解受目標(biāo)函數(shù)和邊界條件控制的設(shè)計(jì)變量的最優(yōu)解.

1.1 響應(yīng)面法響應(yīng)面模型是一種運(yùn)用簡單表達(dá)式（通常為四階以下多項(xiàng)式），擬合自變量與應(yīng)變量之間的函數(shù)關(guān)系，從而構(gòu)建近似模型的方法.該方法采用簡單多項(xiàng)式替代復(fù)雜模型，極大縮短分析時(shí)間，在機(jī)械、材料等諸多優(yōu)化設(shè)計(jì)領(lǐng)域均有廣泛運(yùn)用[10].本文采用二階響應(yīng)面模型：

式中：xi（i=1，2，···，t）為設(shè)計(jì)變量，本文中為綜合管廊結(jié)構(gòu)的頂板、底板、中板和側(cè)壁的厚度；表示響應(yīng)面擬合函數(shù)的結(jié)果，本文中為中板、底板、側(cè)壁的最大彎矩和軸力；a0，ai，aii，ai j為響應(yīng)面模型的待定系數(shù)，由最小二乘法求解確定.

選取決定系數(shù)（R2）和均方根誤差（RMSE）2 個(gè)指標(biāo)作為度量響應(yīng)面模型精度的參數(shù)[19]，表達(dá)式為：

式中：yi為第i個(gè)樣本的真實(shí)值，為y序列的平均值，為所得響應(yīng)面模型的預(yù)測值；q為樣本點(diǎn)個(gè)數(shù).在樣本空間內(nèi)，當(dāng)取得較大的R2和較小的RMSE時(shí)，表面響應(yīng)面模型有較好的擬合精度.

1.2 試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法由于設(shè)計(jì)變量與響應(yīng)結(jié)果之間的關(guān)系是未知的，需要以試驗(yàn)設(shè)計(jì)的方法，在設(shè)計(jì)變量的預(yù)設(shè)區(qū)間內(nèi)進(jìn)行采樣，構(gòu)建以結(jié)構(gòu)尺寸為自變量，結(jié)構(gòu)力學(xué)響應(yīng)為應(yīng)變量的樣本空間，在這個(gè)樣本空間進(jìn)行響應(yīng)面模型擬合，得到結(jié)構(gòu)尺寸與結(jié)構(gòu)力學(xué)響應(yīng)之間的響應(yīng)面模型[22].本文采用了全因子全尺度（Full Factorial Design，F(xiàn)ED）、拉丁超立方(LHS)、優(yōu)化拉丁超立方（OLHS）3 種試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法進(jìn)行采樣.

全因子全尺度（FED）方法是最常見的試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法，該方法將所有因子的所有水平的所有組合都列為抽樣點(diǎn)，是所有試驗(yàn)設(shè)計(jì)中抽樣最多的方法（如圖1(a)所示）.本文以FED 采樣方法得到的樣本點(diǎn)作為響應(yīng)面模型精度評價(jià)的檢驗(yàn)點(diǎn).

圖1 試驗(yàn)設(shè)計(jì)采樣空間示意Fig.1 Design of experiment schematic diagram

拉丁超立方抽樣（LHS）是在保證正交的情況下減少同一因子在同一水平的抽樣次數(shù).但最終需要保證每一因子在每一水平均有樣本點(diǎn).LHS 方法可以在實(shí)現(xiàn)有效空間覆蓋的情況下極大減小所需樣本點(diǎn)數(shù)量；該方法的不足在于無法保證樣本點(diǎn)在樣本空間均勻分布（如圖1(b)所示）.

優(yōu)化拉丁超立方抽樣（OLHS）是對拉丁超立方抽樣的改進(jìn)，該方法首先將各隨機(jī)變量劃分為等概率的區(qū)間，實(shí)現(xiàn)對樣本空間的均勻劃分，從而保證采樣點(diǎn)等概率地分布到整個(gè)采樣空間中（如圖1(c)所示）.

1.3 多目標(biāo)優(yōu)化模型與流程對多個(gè)子目標(biāo)同時(shí)求解最優(yōu)解的問題為多目標(biāo)優(yōu)化問題，實(shí)際的工程優(yōu)化問題大多屬于這一范疇.不同目標(biāo)之間?？赡苁窍嗷ビ绊懮踔潦敲艿?，某子目標(biāo)的改善可能引起其他子目標(biāo)的劣化，因此同時(shí)達(dá)到每個(gè)子目標(biāo)的最優(yōu)幾乎是不可能的，故在實(shí)際優(yōu)化中需要對多目標(biāo)進(jìn)行比較，并進(jìn)行權(quán)衡和折中.多目標(biāo)優(yōu)化問題的一般數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

式中，X表示一個(gè)p維的設(shè)計(jì)變量，分別表示第k個(gè)設(shè)計(jì)變量的上下限；fi(X)表示第i個(gè)目標(biāo)函數(shù)；gi(X)表示第j個(gè)約束函數(shù).

在多材料、多目標(biāo)的優(yōu)化問題中，可以按照如下步驟求解：

步驟 1根據(jù)實(shí)際問題，確定優(yōu)化目標(biāo)、設(shè)計(jì)變量以及變量空間范圍.

步驟 2利用優(yōu)化拉丁方等試驗(yàn)方法，在樣本空間內(nèi)生成構(gòu)建近似模型所需要的樣本點(diǎn)，對每個(gè)樣本點(diǎn)遞交有限元仿真計(jì)算，得出該點(diǎn)的控制響應(yīng)數(shù)據(jù)，用以建立響應(yīng)面模型.

步驟 3建立響應(yīng)面模型，評價(jià)近似模型的精度，驗(yàn)證近似模式替代有限元模型的可行性.

步驟 4基于響應(yīng)面模型建立優(yōu)化模型，對優(yōu)化模型進(jìn)行求解，最終得到該優(yōu)化問題的最優(yōu)解.

具體優(yōu)化流程如圖2 所示.

圖2 優(yōu)化設(shè)計(jì)流程圖Fig.2 Optimization design flow chart

2 綜合管廊優(yōu)化設(shè)計(jì)

2.1 有限元模型及設(shè)計(jì)變量的選取工程場地內(nèi)各土層土類別，層厚H（m），力學(xué)物理參數(shù)性能重度γ（kN/m3）、黏聚力c（kPa）、內(nèi)摩擦角φ（°）見表1.

表1 土層參數(shù)表Tab.1 Soil parameter

使用abaqus 軟件建立二維綜合管廊截面模型.綜合管廊是細(xì)長型建筑物，縱向尺寸較長，橫向相對尺寸小，符合平面應(yīng)變問題的基本假設(shè).采用平面應(yīng)變單元模擬土體.

有限元模型土層頂面選取至地面，水平向土體的寬度自結(jié)構(gòu)側(cè)壁起算，在結(jié)構(gòu)兩側(cè)各取結(jié)構(gòu)有效寬度的3 倍，深度方向從結(jié)構(gòu)底板迎土側(cè)起算不小于結(jié)構(gòu)有效高度的3 倍.計(jì)算模型土體總寬取27 m，豎向總高度15 m.其中，結(jié)構(gòu)上覆土厚1.9 m，自結(jié)構(gòu)下底板起算剩余10 m.

地下綜合管廊為寬9 m，高8 m 矩形截面，頂板埋深1.9 m，材料采用C40 混凝土，彈性模量為32.5 GPa，泊松比為0.2.綜合管廊采用梁單元建模，原始方案中各設(shè)計(jì)變量尺寸均為600 mm.

對于綜合管廊所處的區(qū)域，對土體網(wǎng)格進(jìn)行了加密.采用生死單元模擬土體開挖和回填的過程，結(jié)構(gòu)與土體之間的相互作用采用粗糙接觸進(jìn)行約束.

計(jì)算得到土體位移如圖3(a)所示，從該圖中可以看出，綜合管廊施工后，由于開挖區(qū)域的強(qiáng)度減弱，使得周圍土體向中心沉降，形成云圖中藍(lán)色的沉降槽區(qū)域.基坑底部的土體則受到周圍土體的擠壓，出現(xiàn)隆起.分析結(jié)果與實(shí)際工程中長條形基坑開挖后的變形情況相符.

原始方案模型計(jì)算得到結(jié)構(gòu)彎矩如圖3(b)所示.由圖3(b)可知，此類型的多艙管廊結(jié)構(gòu)，最大彎矩可能出現(xiàn)在底板、側(cè)壁底邊和中板中點(diǎn)3 個(gè)位置，選取這3 個(gè)位置作為該結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的控制點(diǎn).控制點(diǎn)處的力學(xué)響應(yīng)，主要受到頂板、中板、底板和側(cè)壁厚度的影響，將這4 個(gè)變量確定為優(yōu)化模型的設(shè)計(jì)變量.要直接得到上述設(shè)計(jì)變量與控制點(diǎn)力學(xué)響應(yīng)之間的函數(shù)關(guān)系比較困難.采用響應(yīng)面模型擬合二者之間的聯(lián)系，可以縮短計(jì)算時(shí)間、提高優(yōu)化效率.

圖3 有限元模型及計(jì)算結(jié)果Fig.3 Finite element model and result

2.2 響應(yīng)面模型與精度評價(jià)根據(jù)前文所述方法，采用全因子全尺度采樣方法建立的基準(zhǔn)樣本空間1 個(gè)（共625 個(gè)樣本點(diǎn)）.根據(jù)式（1）可知，對于m個(gè)變量二階響應(yīng)面模型，其待定系數(shù)（式（1）中a0,ai,aii,ai j）的數(shù)量和求解這些待定系數(shù)所需的最少樣本點(diǎn)數(shù)均為本文所采用的4變量二階響應(yīng)面模型所需最少樣本點(diǎn)數(shù)為15.采用拉丁超立方和優(yōu)化拉丁超立方方法建立7 組不同采樣水平的樣本空間.采樣點(diǎn)數(shù)量分別為1N，1.05N，1.5N，2N，4N，8N，20N.

目前常用的響應(yīng)面模型（RSM）精度評估方法是用得到的響應(yīng)面模型預(yù)測采樣的樣本空間內(nèi)的各個(gè)樣本點(diǎn).本文用該方法得到各響應(yīng)面模型的評估精度情況如表2 所示.該方法將響應(yīng)面模型結(jié)果與產(chǎn)生的采樣空間內(nèi)的樣本點(diǎn)進(jìn)行比較，為了把這種方法和將響應(yīng)面結(jié)果與基準(zhǔn)樣本空間內(nèi)樣本點(diǎn)比較的方法相區(qū)別，將其稱為自評估精度.

表2 中的結(jié)果表明，采用2 種采樣方法建立的響應(yīng)面模型，在樣本點(diǎn)比較少時(shí)，響應(yīng)面模型自評估精度很高；當(dāng)樣本點(diǎn)數(shù)量為N時(shí)，擬合結(jié)果的確定系數(shù)達(dá)到1，均方根誤差接近0.隨著樣本點(diǎn)的增加，響應(yīng)面模型與采樣樣本之間的誤差增大，確定系數(shù)減小.在采樣點(diǎn)數(shù)量超過2N后，響應(yīng)面模型的精度不再受采樣數(shù)量的影響.

表2 響應(yīng)面模型自評估精度Tab.2 The response surface model self-evaluates accuracy

為進(jìn)一步評估響應(yīng)面模型的精度，將2 種采樣方法得到的響應(yīng)面模型對全因子全尺度采樣得到的樣本空間進(jìn)行驗(yàn)證，得到響應(yīng)面模型的相對精度，如表3 所示.

從表3 中可知，樣本點(diǎn)較少時(shí)，響應(yīng)面模型R2出現(xiàn)小于0 的情況.根據(jù)式（2）可知，R2小于0 表明該組預(yù)測值與真實(shí)值之間的誤差要大于真實(shí)值與平均值之間的誤差，即采用該模型進(jìn)行預(yù)測的準(zhǔn)確性不如直接使用樣本均值作為預(yù)測值；此時(shí)二維響應(yīng)面模型完全失效，無法對優(yōu)化設(shè)計(jì)所需空間進(jìn)行有效預(yù)測.

根據(jù)表3 的結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)樣本點(diǎn)小于2N，采樣方法對響應(yīng)面模型精度影響較大.此時(shí)，優(yōu)化拉丁超立方方法得到的樣本點(diǎn)比拉丁超立方法更為均勻，模型的精度更高.

表3 響應(yīng)面模型相對精度Tab.3 The response surface model accuracy

隨著樣本點(diǎn)數(shù)量的增加，拉丁方采樣獲得的樣本點(diǎn)在空間中的分布也趨于均勻，優(yōu)化拉丁方采樣的優(yōu)勢不顯著.

樣本點(diǎn)數(shù)量從N增長到4N，2 種方法的均方根誤差減小分別為91.13%和95.38%，在采樣點(diǎn)數(shù)從4N增加到20N，兩種方法均方根誤差變化不超過5%.因此，采用4 倍最小樣本數(shù)量（60 點(diǎn)）的優(yōu)化拉丁法試驗(yàn)進(jìn)行采樣，是構(gòu)建響應(yīng)面模型兼顧效率與準(zhǔn)確性的最優(yōu)方法.

以4N個(gè)樣本點(diǎn)的優(yōu)化拉丁方采樣方法建立3 個(gè)控制點(diǎn)處的彎矩與軸力，以及結(jié)構(gòu)的最大應(yīng)力的響應(yīng)面模型，各變量組合和對應(yīng)的待定系數(shù)（式（1）中a0,ai,aii,ai j），模型各系數(shù)如表4 所示.

根據(jù)表4 中的響應(yīng)面模型，可以計(jì)算得到原始方案的控制點(diǎn)彎矩，將該結(jié)果與圖3(b)中的彎矩結(jié)果進(jìn)行對比見表5.

根據(jù)表5 結(jié)果可以看出，響應(yīng)面模型計(jì)算結(jié)果與有限元模型的計(jì)算結(jié)果相對誤差不超過15%；中板位置為彎矩最大點(diǎn)，該點(diǎn)誤差僅為-1.65%，說明響應(yīng)面模型能夠有效地替代有限元模型.

表5 力學(xué)響應(yīng)結(jié)果比較Tab.5 Comparison of mechanical response results

2.3 目標(biāo)函數(shù)與優(yōu)化模型對于單一材料或材料性能比較接近的優(yōu)化問題，只需要選取唯一變量作為目標(biāo)函數(shù)就能獲得比較好的優(yōu)化結(jié)果；然而對于鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)，由于鋼筋和混凝土在性能和價(jià)格上均有較大差異，如果僅把力學(xué)性能或質(zhì)量、體積作為優(yōu)化目標(biāo)，得出的結(jié)果勢必是小截面高配筋率.這種結(jié)果在性能、造價(jià)、施工方面都是不合理的.目前常用的方法是將結(jié)構(gòu)的綜合材料價(jià)格作為目標(biāo)函數(shù)，以材料的價(jià)格作為調(diào)整因子建立的目標(biāo)函數(shù)，可以對結(jié)構(gòu)的用鋼量進(jìn)行有效限制.

為了保證結(jié)構(gòu)的安全性和合理性，還需要對結(jié)構(gòu)的尺寸、配筋、應(yīng)力等物理力學(xué)因素建立約束條件.

最終建立優(yōu)化模型如式(5)所示.

式中，Cc為 混凝土單價(jià)（元/m3），xi為截面總高度（m），也就是待優(yōu)化的設(shè)計(jì)變量，b為截面寬度（m），截面計(jì)算長度取1 m，故省略，Cs為鋼筋單價(jià)（元/m3），Asj為由配筋約束確定的配筋截面積（m2），為鋼筋的長度（m），本例中簡化取結(jié)構(gòu)的外尺寸.式（3）為優(yōu)化設(shè)計(jì)變量的尺寸約束，式（4）約束計(jì)算配筋量處于合理區(qū)間，式（5）約束混凝土應(yīng)力不超過規(guī)范中的混凝土抗壓強(qiáng)度標(biāo)準(zhǔn)值.

根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，地下結(jié)構(gòu)各構(gòu)件厚度都有一定限制；若尺寸過大，則浪費(fèi)材料，若尺寸過小，則安全、抗裂、防水等性能均難以保證，取4 個(gè)設(shè)計(jì)變量尺寸約束條件如表6 所示.

表6 尺寸約束Tab.6 Size constraints

以響應(yīng)面模型得到3 個(gè)控制點(diǎn)位置的彎矩和軸力為基礎(chǔ)，通過計(jì)算，可以得到控制截面的配筋.中板、側(cè)壁和底板均可按照大偏心壓彎構(gòu)件進(jìn)行配筋，采用對稱配筋，即As=As′.取偏心距如式（6），式中M/N為初始偏心距.ea為附加偏心距，按照規(guī)范取20 或截面最大尺寸的1/30.x為截面總高度，也就是待優(yōu)化的設(shè)計(jì)變量，a為保護(hù)層厚度，因結(jié)構(gòu)所在環(huán)境屬于3 類環(huán)境，取保護(hù)層厚度為40 mm.

式中fc為混凝土強(qiáng)度，b為計(jì)算寬度，取1 000 mm，h0=1 000x-a.

根據(jù)材料本身的特性，混凝土材料為C35，鋼筋為HRB400，約束截面配筋率在最小配筋率（0.518%）與最大配筋率（2.4%）之間.頂板按照最小配筋率計(jì)算配筋.

2.4 模型求解與分析為了驗(yàn)證優(yōu)化模型的魯棒性，避免收斂于局部最優(yōu)解，使用非線性規(guī)劃和遺傳算法2 種方法對優(yōu)化模型進(jìn)行求解[21-22].結(jié)果如表7 所示.

表7 優(yōu)化結(jié)果Tab.7 Optimization results

分析表7 中結(jié)果可知，對于2 種求解方式得到的結(jié)果，頂板主要受到邊界條件的尺寸約束，而中板、底板和側(cè)壁則對目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化起主導(dǎo)作用，與實(shí)際設(shè)計(jì)中的情況相符.

兩方案誤差最大為6.12%，最大誤差出現(xiàn)在底板，方案1 底板厚度增加25.91 mm 的情況下，實(shí)現(xiàn)側(cè)壁和中板厚度分別減小21.06 mm 和11.54 mm；從而實(shí)現(xiàn)對目標(biāo)函數(shù)綜合造價(jià)的減少；而從結(jié)構(gòu)受力情況，頂板所承受的方案1 更為合理.

將2 種優(yōu)化方法得到的解帶入建立的響應(yīng)面模型和有限元分析模型，得到目標(biāo)函數(shù)和控制點(diǎn)力學(xué)響應(yīng)結(jié)果如表8 所示.

表8 方案對比Tab.8 Scheme comparison

由表8 中的結(jié)果可知，2 個(gè)優(yōu)化方案的目標(biāo)函數(shù)值（綜合造價(jià)）分別為9 335.54 元/m 和9 351.65元/m，與原始方案綜合造價(jià)12 890.44 元/m 相比，分別下降了27.58%和27.45%.2 種方法求解結(jié)果較為接近，模型魯棒性好.

優(yōu)化得到的3 個(gè)控制截面的彎矩分別為252.66、255.52 kN·m 和475.63 kN·m，與原方案相比分別下降45.10%、45.72%、24.40%，優(yōu)化效果明顯.

表8 中的響應(yīng)面模型結(jié)果與有限元分析結(jié)果非常接近；方案1 兩種方法最大誤差13.83%，方案2 最大誤差12.62%，均未超過14%；再次驗(yàn)證了采用響應(yīng)面模型替代有限元分析過程是有效可行的.

3 結(jié)論

針對地下綜合管廊結(jié)構(gòu)，本文基于有限元方法與響應(yīng)面模型，提出了一種適用性較高的優(yōu)化方法，并給出了計(jì)算實(shí)例，得到以下結(jié)論.

（1）根據(jù)有限元結(jié)構(gòu)分析中正負(fù)彎矩最大值結(jié)果，確定文中結(jié)構(gòu)的優(yōu)化控制點(diǎn)為中板、側(cè)壁、底板.優(yōu)化結(jié)果表明，控制點(diǎn)位置處設(shè)計(jì)變量最終結(jié)果受到目標(biāo)函數(shù)（綜合造價(jià)）控制，而非控制點(diǎn)位置處（頂板）設(shè)計(jì)變量最終結(jié)果則受到邊界條件約束.

（2）采用非線性規(guī)劃和遺傳算法2 種方法對優(yōu)化模型進(jìn)行求解，2 種方案得到的結(jié)果高度重合.最優(yōu)化方案的目標(biāo)函數(shù)值與原始方案相比，下降了27.58%.控制截面彎矩與原方案相比分別下降45.10%、45.72%、24.40%，因此本文提出的優(yōu)化模型具有很好的魯棒性.

（3）研究了采樣點(diǎn)數(shù)量對響應(yīng)面模型精度的影響，結(jié)果表明，當(dāng)采樣點(diǎn)數(shù)量從1N增長到4N，2種采樣方法得到的模型的均方根誤差分別減小91.13%和95.38%；當(dāng)采樣點(diǎn)數(shù)量從4N增長到20N，模型均方根誤差變動(dòng)不超過5%，因此，綜合考慮模型精度和計(jì)算效率，采用4N作為樣本點(diǎn)數(shù)量是最為合理的.

（4）比較優(yōu)化后結(jié)構(gòu)的響應(yīng)面模型與有限元分析結(jié)果，響應(yīng)面模型計(jì)算的各項(xiàng)指標(biāo)與有限元計(jì)算結(jié)果的誤差均小于14%，采用二階響應(yīng)面模型能很好地替代有限元分析的過程.

（5）對拉丁超立方采樣和優(yōu)化拉丁超立方采樣方法的精度進(jìn)行比較.結(jié)果表明，采樣點(diǎn)較少時(shí)優(yōu)化拉丁超立方采樣方法優(yōu)于拉丁超立方采樣方法；采樣點(diǎn)超過2N時(shí)，2 種方法區(qū)別較小.