基于低Q 腔的無(wú)集體弛豫量子信息處理

劉阿鵬，郭 奇

(1.山西工程技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)課教學(xué)部，山西 陽(yáng)泉 045000；2.山西大學(xué) 物理電子工程學(xué)院，山西 太原 030006)

腔量子電動(dòng)力學(xué)(Cavity Quantum Electrodynamics,Cavity QED)由于其優(yōu)秀的原子與光子之間相互作用的可操控性，已經(jīng)成為一個(gè)研究量子信息處理(Quantum Information Processing,QIP)的范式[1-5].然而，對(duì)于一個(gè)原子囚禁于量子化光場(chǎng)的系統(tǒng)，高Q值以及將原子精確囚禁于腔內(nèi)仍然是富有挑戰(zhàn)的.在實(shí)際量子系統(tǒng)中，量子系統(tǒng)與環(huán)境不可避免的相互作用會(huì)破壞其相干性.因此，人們提出了各種各樣的方案來(lái)對(duì)抗環(huán)境噪聲，例如拓?fù)淞孔佑?jì)算[6]、自避錯(cuò)量子計(jì)算[7-8]、無(wú)消相干子空間[9-26]等等.其中，當(dāng)環(huán)境噪聲具有某種對(duì)稱(chēng)性時(shí)，將量子比特編碼在無(wú)消相干子空間會(huì)是一種簡(jiǎn)便的方法.例如，為了避免集體消相位錯(cuò)誤，可以利用2 個(gè)量子比特編碼為1 個(gè)邏輯比特，即對(duì)于集體消相位錯(cuò)誤，人們已經(jīng)提出了一些量子邏輯門(mén)和量子通信方案[14-19].例如，魏海瑞等[17]提出了無(wú)消相干的量子態(tài)轉(zhuǎn)移和量子隱形傳態(tài)方案.2010 年，陳瓊等[16]提出了一個(gè)基于低品質(zhì)腔的無(wú)消相干糾纏制備方案，基于低Q腔的量子邏輯門(mén)[18]和糾纏濃縮方案也已經(jīng)提出[19].此外，基于光學(xué)系統(tǒng)，夏巖等[20-21]還提出了無(wú)消相干的光子極化糾纏態(tài)制備方案.最近，利用交叉克爾非線(xiàn)性，在集體旋轉(zhuǎn)無(wú)效消相干子空間內(nèi)的糾纏濃縮方案也被提出來(lái)了[22].

不僅如此，在另外一些情況下，當(dāng)環(huán)境噪聲是σx型集體噪聲時(shí)，1 個(gè)量子比特會(huì)發(fā)生如下變化：|0〉→|1〉，|1〉→|0〉.在這種對(duì)稱(chēng)性的集體弛豫噪聲下，可以將邏輯量子比特編碼為算符的2 個(gè)本征態(tài)此時(shí)，1個(gè)量子態(tài)會(huì)演化為所以，量子態(tài) |ψ〉對(duì)于集體弛豫錯(cuò)誤是免疫的.也就是說(shuō)，對(duì)于1 個(gè)量子比特系統(tǒng)，由展開(kāi)的2 維子空間是一個(gè)集體弛豫無(wú)消相干子空間(Collective-relaxation Decoherence-free Subspaces，CRDFS).目前為止，只有幾個(gè)基于超導(dǎo)量子比特系統(tǒng)[23-24]和腔QED 系統(tǒng)[25]的針對(duì)集體弛豫的量子計(jì)算方案.例如，2018 年，崔文學(xué)等[25]提出了對(duì) σx型集體噪聲免疫的量子邏輯門(mén)和糾纏濃縮方案，但是該方案需要強(qiáng)耦合和高品質(zhì)腔條件.受之前工作的啟發(fā)，本文首先提出了2 個(gè)構(gòu)建光子和CRDFS 內(nèi)邏輯量子比特之間的雜化受控相位翻轉(zhuǎn)(Controlled-phase-flip，CPF)門(mén)方案，然后展示了在CRDFS 內(nèi)的邏輯量子比特之間的糾纏制備方案.在我們的方案中，輸入輸出過(guò)程中由于法拉第旋轉(zhuǎn)效應(yīng)(Faraday Effect)，光子會(huì)根據(jù)囚禁腔內(nèi)原子的不同狀態(tài)得到不同的反射系數(shù)，我們分析了系統(tǒng)參數(shù)對(duì)反射特性的影響.我們的方案具有以下幾個(gè)優(yōu)點(diǎn)：首先，將邏輯量子比特編碼在CRDFS 內(nèi)，使得方案對(duì)于集體弛豫噪聲免疫.其次，這些方案只需要中度耦合和低Q腔條件，這使得相較于以前的需要強(qiáng)耦合和高Q腔條件的方案，我們的方案實(shí)驗(yàn)難度更小.

1 原子-腔系統(tǒng)的輸入輸出過(guò)程

如圖1 所示，考慮N個(gè)原子囚禁在一個(gè)單邊光學(xué)腔內(nèi)，每一個(gè)原子都具有λ型能級(jí)結(jié)構(gòu)，這里PBS 代表一個(gè)極化光分束器，C 代表一個(gè)光學(xué)循環(huán)裝置.對(duì)于第j個(gè)原子，|0〉?|e〉之間的躍遷由H-極化光子驅(qū)動(dòng)，且共振地耦合于腔模，耦合常數(shù)為gj.這樣的系統(tǒng)具有與Jaynes-Cummings 系統(tǒng)相似的特性，它的哈密頓量為

圖1 腔輔助單光子輸入輸出過(guò)程示意圖Fig.1 Schematic diagram of the cavity-assisted singlephoton input-output process

這里 ω0和 ωc分別是原子的躍遷頻率和腔場(chǎng)頻率，a?和a分別是腔場(chǎng)的產(chǎn)生和湮滅算符，σ+、σ-和σz分別用于表示原子內(nèi)相應(yīng)2 個(gè)能級(jí)之間的的上升、下降和反轉(zhuǎn)算符.

當(dāng)考慮環(huán)境溫度很低，可以忽略真空輸入場(chǎng).根據(jù)輸入輸出關(guān)系[14,16,27]，得到

在輸入場(chǎng)很弱的情況下，也就是，取〈σz〉≈-1，這個(gè)系統(tǒng)的反射系數(shù)可以表述為

當(dāng)輸入光子不耦合于腔模時(shí)，即g=0 時(shí)，得到對(duì)于一個(gè)冷腔的反射系數(shù)

(4)式和(5)式中的反射系數(shù)意味著反射光子會(huì)根據(jù)腔內(nèi)原子的不同狀態(tài)經(jīng)歷不同的反射相移.根據(jù)以上的討論，當(dāng)1 個(gè)光子被微腔反射，它會(huì)變?yōu)? 個(gè)輸出脈沖，這里rn(ω)是由(4)式和(5)式確定的反射系數(shù).而在本文中，如圖1 所示，當(dāng)2 個(gè)原子囚禁于1 個(gè)腔內(nèi)時(shí)，對(duì)于1 個(gè)光子的H-極化部分，當(dāng)2 個(gè)原子都處于 |1〉態(tài)，反射系數(shù)為r0；當(dāng)2 個(gè)原子都處于 |0〉態(tài)，系統(tǒng)的反射系數(shù)為r2；而如果僅有1 個(gè)原子處于 |0〉態(tài)，系統(tǒng)的反射系數(shù)將是r1.另一方面，如果輸入1 個(gè)光子的V-極化部分，它會(huì)被PBS 反射而不進(jìn)入此腔內(nèi)，此時(shí)無(wú)論腔內(nèi)原子處于什么狀態(tài)，反射光子不會(huì)有任何相移，即反射系數(shù)為1.

2 基于輸入輸出過(guò)程的雜化CPF 門(mén)

為了執(zhí)行在CRDFS 內(nèi)的量子信息處理任務(wù)，接下來(lái)我們說(shuō)明如何實(shí)現(xiàn)1 個(gè)光子-邏輯量子比特之間的雜化CPF 門(mén)，其可以利用上述的光學(xué)旋轉(zhuǎn)選擇規(guī)則來(lái)實(shí)現(xiàn).當(dāng)腔內(nèi)僅有1 個(gè)原子時(shí)，考慮低Q情況，g=κ/2，κ?γ，當(dāng)ωc=ω0=ω+κ/2時(shí)，根據(jù)(4)式和(5)式，可以得到r1=-1，這個(gè)過(guò)程中的單光子輸入輸出操作可表達(dá)為UR1=exp(-|1〉〈1|?|H〉〈H|).在同樣的條件下，當(dāng)腔內(nèi)囚禁2 個(gè)原子時(shí)，可以得到r0=i，r1=-1，r2=-i，此輸入輸出操作可表示為UR2=exp[(-i|00〉〈00|+i|11〉〈11|-|01〉〈01|-|10〉〈10|)?|H〉〈H|].

基于上述輸入輸出過(guò)程，可以構(gòu)建光子和邏輯量子比特之間的CPF 門(mén).為此，將腔內(nèi)2 個(gè)原子編碼為這里 |0〉和|1〉是圖1 虛線(xiàn)框內(nèi)所示原子能級(jí).假設(shè)輸入光子和腔內(nèi)的邏輯量子比特組成的復(fù)合系統(tǒng)初始態(tài)為

方法1：第1 個(gè)實(shí)現(xiàn)雜化CPF 門(mén)的方法是基于UR1操作的.過(guò)程如下：首先，將原子1 送入腔中而保持原子2 在腔外，讓輸入光脈沖的H 部分注入腔中.在光脈沖從腔反射出來(lái)后就對(duì)原子1 執(zhí)行UR1操作，此操作可記為.其次，將原子2 送入腔中而保持原子1 在腔外，并且通過(guò)利用一個(gè)光學(xué)旋轉(zhuǎn)裝置讓輸入光脈沖的H部分再次注入腔內(nèi).在這個(gè)相互作用過(guò)程之后，就執(zhí)行1 次操作.實(shí)驗(yàn)上已經(jīng)實(shí)現(xiàn)了基于腔QED 系統(tǒng)對(duì)原子的囚禁和運(yùn)輸[28-30].最后，需要將原子1 再次移入腔內(nèi).這樣，雜化CPF 門(mén)構(gòu)建如下：

方法2：為了構(gòu)建雜化CPF 門(mén)，也可以基于UR2操作，按順序?qū)Τ跏紤B(tài)執(zhí)行UR2操作，也就是這里代表腔內(nèi)原子1 對(duì)原子2 的受控相位翻轉(zhuǎn)門(mén)，它可以以很高的保真度和成功概率實(shí)現(xiàn)[29-31].具體過(guò)程為：2 個(gè)原子始終保持在腔內(nèi)，首先執(zhí)行原子1 對(duì)原子2 的CPF 操作，其次輸入1 個(gè)初始態(tài)為的光脈沖，在這個(gè)相互作用過(guò)程之后，執(zhí)行1 次UR2操作.之后，再次執(zhí)行原子1 對(duì)原子2 的CPF 操作，并且利用一個(gè)光學(xué)旋轉(zhuǎn)裝置讓輸入光脈沖再次注入腔內(nèi)，最終執(zhí)行UR2操作.這個(gè)操作過(guò)程可以表述為

3 在無(wú)弛豫子空間內(nèi)的糾纏態(tài)制備

在這一部分，我們說(shuō)明利用上述的雜化CPF 門(mén)實(shí)現(xiàn)無(wú)弛豫糾纏態(tài)的制備方案.如圖2 所示裝置可以制備2 個(gè)邏輯量子比特之間的糾纏態(tài)，其中 HWP 代表半波片，D 代表單光子探測(cè)器.假設(shè)這2 個(gè)邏輯量子比特初始制備于態(tài)，這里 α，β，γ，δ是歸一化常數(shù).令1 個(gè)處于態(tài)的光子，連續(xù)進(jìn)入2 個(gè)腔.HWP 是1 個(gè)半波片，其功能是這個(gè)混合系統(tǒng)的演化可以具體地寫(xiě)為：

圖2 貝爾態(tài)制備裝置示意圖Fig.2 Schematic illustration of setups for Bell states

很明顯，利用更多的邏輯量子比特，結(jié)合自發(fā)拉曼絕熱通道[32-33]對(duì)邏輯量子比特進(jìn)行合適的單量子比特操作[25]，這個(gè)方案可以很直接地拓展來(lái)制備在CRDFS 內(nèi)的多邏輯量子比特Greenberger-Horne-Zeilinger (GHZ)態(tài)和團(tuán)簇態(tài)[34].

4 分析與討論

有必要在實(shí)際環(huán)境下證明這個(gè)模型的可行性并評(píng)估我們方案的表現(xiàn).之前已經(jīng)有很多方案研究了2個(gè)原子囚禁于1 個(gè)光學(xué)腔內(nèi)系統(tǒng)的輸入輸出過(guò)程.(3)式的一個(gè)關(guān)鍵條件是〈σz〉≈-1，如果保持 κ足夠大的話(huà)，這一條件總是能滿(mǎn)足的，所以(3)式即使在g大于 κ時(shí)也是適用的.正如文獻(xiàn)[35]所討論的，在輸入輸出過(guò)程中的弱激發(fā)條件也可以通過(guò)利用高品質(zhì)單光子源來(lái)滿(mǎn)足.我們畫(huà)出了反射系數(shù)的實(shí)部(圖3(a))和虛部(圖3(b))與比率(ωc-ω)/κ之間的關(guān)系，這里紅色實(shí)線(xiàn)代表光子脈沖與原子不耦合的情況(g=0).綠色點(diǎn)劃線(xiàn)和藍(lán)色虛線(xiàn)分代表有1 個(gè)原子和2 個(gè)原子在腔內(nèi)時(shí)的反射系數(shù)r1(ω)和r2(ω)，其中采用κ/γ=100.圖3 說(shuō)明，在中度耦合條件下(g=κ/2)，當(dāng)ωc=ω0=ω+κ/2滿(mǎn)足時(shí)，我們可以得到想要的反射系數(shù).同時(shí)，我們畫(huà)出了反射系數(shù)的實(shí)部(圖4(a))和虛部(圖4(b))與比率g/κ之間的關(guān)系，這里紅色實(shí)線(xiàn)代表光子脈沖與原子不耦合的情況(g=0)，綠色點(diǎn)劃線(xiàn)和藍(lán)色虛線(xiàn)分別代表有1 個(gè)原子和2 個(gè)原子在腔內(nèi)時(shí)的反射系數(shù)r1(ω)和r2(ω)，其中κ/γ=100.注意到當(dāng)g/κ增大時(shí)，r0(ω) 趨近于i，這個(gè)結(jié)果可以寫(xiě)為UR=exp(i|11〉〈11|?|H〉〈H|)，這實(shí)質(zhì)上是一個(gè)iPHASE 門(mén).此外，我們畫(huà)出了UR2操作的保真度與比率 γ/κ和g/κ之間的關(guān)系，如圖5 所示.從圖5 可以看出，隨著比率γ/κ的增大，UR2操作的保真度逐漸降低，當(dāng)γ/κ ＜0.01，g=κ/2時(shí)，保真度F＞0.971.

圖3 當(dāng)g=κ/2時(shí)，反射系數(shù)的實(shí)部(a)和虛部(b)與單光子脈沖頻率與腔模頻率之間失諧量的關(guān)系Fig.3 The real part (a) and the imaginary part (b) of the reflection coefficients as functions of the detuning between the input single photon pulse and the cavity mode on condition that g=κ/2

圖4 當(dāng)ωc=ω0=ω+κ/2時(shí)，反射系數(shù)的實(shí)部(a)和虛部(b)與比率g/κ之間的關(guān)系Fig.4 The real part (a) and the imaginary part (b) of the reflection coefficients as functio ns of the ratiog/κon condi tion that ωc=ω0=ω+κ/2

圖5 UR2操作的保真度與比率γ/κ和g/κ之間的關(guān)系（ωc=ω0=ω+κ/2）Fig.5 The fidelity of theUR2 operation versus the ratioγ/κ and g/κ (ωc=ω0=ω+κ/2 is adopted)

我們的方案要求2 個(gè)原子與腔模的耦合常數(shù)相等，這從實(shí)驗(yàn)角度是有困難的.假設(shè)g2=(1+ε)g1，g1=g，我們畫(huà)出了UR2操作的保真度與 ε之間的關(guān)系，如圖6 所示.從圖6 可以看出，即使存在偏差ε，UR2操作的保真度仍然很高并且隨著 |ε|的增大而有輕微下降.例如，ε從-0.2 變化到0.2，UR2操作的保真度仍然大于0.979.所以即使2 個(gè)原子的耦合強(qiáng)度存在偏差，這對(duì)我們的方案的保真度影響也很小.盡管實(shí)驗(yàn)上已經(jīng)實(shí)現(xiàn)了在強(qiáng)耦合條件下中對(duì)超冷原子的單獨(dú)尋址和探測(cè)[28]，但是為了能夠更好地完成當(dāng)前方案，仍然需要更好的實(shí)驗(yàn)技術(shù).在糾纏制備過(guò)程中，原子態(tài)的弛豫時(shí)間必須比光子間隔時(shí)間和操作時(shí)間更長(zhǎng)，以完成編碼和解碼量子比特，否則會(huì)很難獲得高保真度的糾纏態(tài).

圖6 UR2操作的保真度與 g2和g1之間偏差 ε關(guān)系（假設(shè)g2=(1+ε)g1，g1=g.這里ωc=ω0=ω+κ/2）Fig.6 The fidelity of theUR2 operation versus deviationε betweeng2 andg1(Assumeg2=(1+ε)g1,g1=g.Here ωc=ω0=ω+κ/2 is adopted)

在實(shí)際情況中，可以考慮2 個(gè)87Rb 原子囚禁于1個(gè)法布里-珀羅(Fabry-Perot)腔[36].取原子的5S1/2能級(jí)的|F=2，mF=±1〉態(tài)為基態(tài) |0〉和|1〉，而采用5P3/2的|F′=3，mF=0〉態(tài)為激發(fā)態(tài) |e〉.此時(shí)，躍遷頻率為ω0=2πc/λ(λ=780 nm).正如文獻(xiàn)[36]報(bào)道的，一個(gè)F-P 腔的Q值可以達(dá)到3.63×106，此時(shí)，相關(guān)實(shí)驗(yàn)參數(shù)為[g,κ,γ]/2π=[215,53,3]MHz，如果增大腔鏡的透射率，壞腔條件g=κ/2是可以滿(mǎn)足的，此時(shí)腔的Q值減小到僅僅～105.為了得到(6)式的反射系數(shù)，光子脈沖帶寬 Δω要遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于腔模損耗κ，可以精確設(shè)定頻率失諧量(ωc-ω)，這樣可以得到確定的反射系數(shù).這就要求|?φ/?ω|ωceΔω ?π/2(ωce是光子脈沖的中心頻率)[22].當(dāng)Δω ?κ/2時(shí)，這一條件可以很好地滿(mǎn)足.實(shí)驗(yàn)中可以通過(guò)量子點(diǎn)單光子源[33-34]或者納秒級(jí)光脈沖來(lái)得到這樣的單光子脈沖.

應(yīng)該強(qiáng)調(diào)的是，我們的方案中單光子探測(cè)并不會(huì)破壞原子的狀態(tài)，所以方案是以一種“重復(fù)直到成功”的方式運(yùn)行，所以如腔鏡吸收、光纖吸收以及探測(cè)失效等實(shí)驗(yàn)缺陷的存在只會(huì)降低方案的成功概率而不會(huì)降低方案的保真度.隨著邏輯量子比特?cái)?shù)的增加，方案的效率會(huì)降低，但是原則上它仍然是可拓展的.當(dāng)利用高品質(zhì)單光子源(每30 s 產(chǎn)生300 000 個(gè)高品質(zhì)單光子)[35]，本文的方案可以快速完成.

5 結(jié)論

基于2 個(gè)原子囚禁于單模光學(xué)腔系統(tǒng)，分析了其輸入輸出過(guò)程.基于該系統(tǒng)，利用2 個(gè)原子編碼為1個(gè)邏輯量子比特，提出了2 種光子-邏輯量子比特之間雜化CPF 門(mén)的方案以及無(wú)弛豫的Bell 態(tài)制備方案.將量子信息編碼在CRDFS，使得我們制備的糾纏態(tài)對(duì)于集體弛豫錯(cuò)誤是免疫的.提出的方案只需要低Q腔條件和原子與腔場(chǎng)之間的中度耦合，這可以降低實(shí)驗(yàn)難度.實(shí)驗(yàn)缺陷僅僅會(huì)降低方案的成功概率而不會(huì)降低其保真度.分析結(jié)果表明，提出的方案在當(dāng)前實(shí)驗(yàn)條件下可能實(shí)現(xiàn)，隨著腔QED 系統(tǒng)構(gòu)造技術(shù)的進(jìn)步，這些方案對(duì)未來(lái)的量子信息處理會(huì)是有用的.