一個(gè)非線性演化方程的達(dá)布變換

朱賽柯,李芳

(河南工業(yè)大學(xué)理學(xué)院,河南 鄭州 450001)

1 引言

非線性演化方程是由有限維可積系統(tǒng)描述的非線性偏微分方程,是刻畫自然界中非線性現(xiàn)象的重要模型.對各種非線性演化方程精確解的研究在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中非常重要,并對數(shù)學(xué)、物理和其他科學(xué)的幾個(gè)領(lǐng)域產(chǎn)生了影響.隨著對孤立子理論的深入研究,近些年來已經(jīng)發(fā)展了一些系統(tǒng)的方法來求出非線性演化方程的精確解,如反散射法[1-3],非線性化法[4-5],Hirota雙線性法[6-7],幾何代數(shù)法[8-9],Darboux變換法[10-12],B¨acklund變換法[13-15],Painlev′e分析法[16-17]等.在眾多的方法中,Darboux變換法是一種簡單且富有成效的方法,它從種子解出發(fā),進(jìn)而求出非線性演化方程的精確解.截至目前,用Darboux變換法求解與2×2矩陣譜問題相關(guān)的非線性演化方程,已經(jīng)得到了很多豐富的結(jié)果,但是在處理與3×3矩陣譜問題相關(guān)的非線性演化方程時(shí),結(jié)果相對比較有限.同時(shí)與2×2矩陣譜問題的Darboux變換相比,3×3矩陣譜問題的Darboux變換的計(jì)算更復(fù)雜且難度更大.文獻(xiàn)[18]提出了一族與3×3矩陣譜問題相聯(lián)系的非線性演化方程,并且研究了其擬哈密頓結(jié)構(gòu)和無窮多守恒律.然而用Darboux變換法求方程(6)的解尚未有人研究,因此本文的主要研究內(nèi)容是構(gòu)造該與3×3矩陣譜問題相聯(lián)系的非線性演化方程的Darboux變換并得到其精確解的表達(dá)式.

本文研究內(nèi)容如下:在第二節(jié)中,通過譜問題找到相對應(yīng)的輔譜問題,從而得到非線性演化方程.在第三節(jié)中利用譜問題的規(guī)范變換構(gòu)造該非線性演化方程的Darboux變換.在最后一節(jié)中從種子解出發(fā),得到精確解的表達(dá)式.

2 非線性演化方程

考慮3×3矩陣空間部分譜問題

及時(shí)間部分譜問題

其中u,v,w是兩個(gè)關(guān)于x和t的位勢函數(shù),λ是譜參數(shù).

當(dāng)r=0時(shí),

由相容條件

可得零曲率方程

令t=t0,將時(shí)間部分譜問題和空間部分譜問題代入(5)式計(jì)算可得非線性演化方程

此方程為文獻(xiàn)[18]中方程族的第一個(gè)非平凡方程.

3 達(dá)布變換

在本節(jié)中,將構(gòu)造方程(6)的一個(gè)Darboux變換.它具有如下的Lax對表示:

其中U,V的表達(dá)式分別為(1)式和(3)式,u,v,w是兩個(gè)關(guān)于x,t的位勢函數(shù),λ是譜參數(shù).

首先引入規(guī)范變換

則(7)式變成新的Lax對

其中

假設(shè)

其中α1是常數(shù),bij(i,j=1,2,3)是關(guān)于x,t的函數(shù).

將(12)式-(13)式代入(10)式并比較λ的同次冪系數(shù)可得

故新舊位勢之間的關(guān)系為

因?yàn)閐etT是關(guān)于λ的三次多項(xiàng)式,故存在λj(j=1,2,3)使detT=0.因此

設(shè)

為問題(1)的三個(gè)基礎(chǔ)解.由于

故當(dāng)λ=λj時(shí),線性相關(guān),即存在不全為零的常數(shù)滿足

上式等價(jià)于

其中

將(12)式代入方程組(18)可得

命題3.1由(10)式確定的矩陣與U具有相同的形式,即可表示為

新舊位勢的關(guān)系為(14)式-(15)式.

證明T的伴隨矩陣是T*=T-1detT.設(shè)

通過計(jì)算得fij(λ)(i,j=1,2,3)是關(guān)于λ的三次或四次多項(xiàng)式.

由(1)式和(19)式可得,當(dāng)λ=λj(j=1,2,3)時(shí),有

由方程組(18)可得

易驗(yàn)證λj是fij(λ)的根,故(21)式可改寫為

其中Q(λ)的表達(dá)式為

比較(26)式中λ的同次冪系數(shù)得

命題3.2由(11)式確定的矩陣與V具有相同的形式,即可表示為

新舊位勢的關(guān)系為(14)式-(15)式.

證明T的伴隨矩陣是T*=T-1detT.設(shè)

通過計(jì)算得gij(λ)(i,j=1,2,3)是關(guān)于λ的三次或四次多項(xiàng)式.

由(2)式和(19)式可得,當(dāng)λ=λj(j=1,2,3)時(shí),有

由方程組(18)可得

易驗(yàn)證λj是gij(λ)的根,故(27)式可改寫為

其中P(λ)的表達(dá)式為

比較(32)式中λ的同次冪系數(shù)得

定理3.1命題3.1和命題3.2成立的前提下,利用Darboux變換法可將方程(6)的一組解(u,v,w)生成它們的另一組解,其中新舊位勢之間的關(guān)系為(14)式-(15)式.

4 精確解

本節(jié)通過以上討論的Darboux變換法來求解方程(6)的精確解.取u=v=w=0作為種子解,則三個(gè)基礎(chǔ)解為

當(dāng)λ=λj(j=1,2,3)時(shí),將(33)式代入(19)式可得

由克萊默法則求解方程組(20)得

其中

由以上式子可以求出bij,因此

是方程組(6)精確解的表達(dá)式.