相場模擬形態(tài)比對電遷移誘發(fā)夾雜演化的影響

董聰聰，黃佩珍

（南京航空航天大學(xué)機械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國家重點實驗室，江蘇 南京 210016）

集成電路的制程工藝已深入亞微米/納米級別。由于特征尺寸的縮小，金屬互連導(dǎo)線不可避免地會產(chǎn)生諸如裂紋、空洞等微缺陷［1］。這些原生微缺陷極大地影響了互連導(dǎo)線材料的性能，加速了互連導(dǎo)線失效過程。其中，夾雜是一種典型的微缺陷。

在高電流密度下，金屬互連導(dǎo)線內(nèi)部大量的電子流逆著電場方向運動形成“電子風(fēng)”，與金屬陽離子碰撞并傳遞動量，使金屬陽離子沿著與電子流相同的方向運動，即電遷移現(xiàn)象［2］。當(dāng)金屬互連導(dǎo)線的特征尺寸低于150 nm時，電遷移是決定互連導(dǎo)線壽命與可靠性的主導(dǎo)因素［3］。此外，電遷移誘發(fā)夾雜進行諸如粗化、分裂或聚合等復(fù)雜演化［4-6］，會極大地限制了互連導(dǎo)線的使用壽命。研究金屬互連導(dǎo)線中夾雜的形貌演化機理主要有兩個應(yīng)用：（1）對改善電子器件的可靠性與壽命具有重要價值［7］；（2）對納米圖案的形成、制備有著重要意義［8］。

當(dāng)前研究電遷移誘發(fā)金屬互連導(dǎo)線夾雜演化的數(shù)值模擬方法主要有尖銳界面法和相場法。

尖銳界面法假設(shè)基體-夾雜之間的界面是完美而無厚度的，其優(yōu)點在于基體-夾雜之間的界面可被表示為邊界積分方程［9］，易于程序?qū)崿F(xiàn)。相場法將基體-夾雜之間的界面視為有限厚度層，通過引入一個或數(shù)個可隨時間與空間連續(xù)變化的相場變量描述界面，避免了界面的顯式追蹤［10］。

基于以上數(shù)值模擬方法，得到了大量的數(shù)值模擬結(jié)果。既往報道表明，存在7個對相應(yīng)演化結(jié)果具有重要影響的參數(shù)［11-14］：相對電場強度、線寬比、初始形態(tài)比、基體與夾雜的電阻（導(dǎo)）率之比、各向異性強度、晶體取向?qū)ΨQ軸數(shù)、快速擴散方向與電場方向的偏轉(zhuǎn)角。

然而，上述這些工作對初始形態(tài)比的研究還不足。盡管He等［13］基于尖銳界面法探討了初始形態(tài)比對絕緣夾雜形貌演化的影響，但其研究限于微米級，且未考慮初始形態(tài)比小于1的取值，也未考慮界面擴散的各向異性。因此本文采用結(jié)合自適應(yīng)網(wǎng)格技術(shù)［15］的相場法，分析初始形態(tài)比對納米尺度的導(dǎo)電橢圓夾雜在電遷移誘發(fā)各向異性界面擴散下演化的影響。

1 基本理論

考慮如圖1所示的單晶二維互連導(dǎo)線模型。互連導(dǎo)線的線長與線寬依次為L、H，其兩端的電勢差為φ∞。在有限尺寸的金屬基體中，存在半軸長分別為a、b的初始橢圓夾雜?；w與夾雜的電導(dǎo)率依次為ξm和ξi。λ=ξi/ξm為電導(dǎo)率之比，β=a/b為初始形態(tài)比。序參數(shù)?的值用以表征不同的相：夾雜區(qū)域R-中?=-1，基體區(qū)域R+中?=+1，界面層RI內(nèi)?為由-1到+1的連續(xù)變化。

在外電場作用下，系統(tǒng)總自由能泛函G的構(gòu)造形式為

其中，γi為界面張力，ε為與界面層厚度相關(guān)的梯度能量系數(shù)，表示無量綱系數(shù)，其中W為兩平衡相之間的勢壘高度。體自由能密度fbk、梯度自由能密度fgr和電勢能密度fe組成系統(tǒng)的總自由能密度G，分別為

其中，式（2）中的fbk采用四次雙阱勢函數(shù)。式（4）中，φ為電勢，Ω為單位原子體積，Z?為原子的有效化合鍵，e為電子電荷。

由G對?的變分導(dǎo)數(shù)推導(dǎo)出化學(xué)勢u為

驅(qū)動力?u和界面的原子流量J呈線性關(guān)系，即

式（7）確保了原子的界面擴散只發(fā)生在RI內(nèi)。引入的各向異性函數(shù)f(θ)［11］為

其中，Q為各向異性強度，j為晶體取向?qū)ΨQ軸數(shù)，θ0為快速擴散方向與電場方向的偏轉(zhuǎn)角，，表示夾雜表面的局部切線方向與外電場順時針方向（正x軸）形成的夾角，它與序參數(shù)?的耦合是引入各向異性界面擴散的關(guān)鍵。

由于質(zhì)量守恒的約束，?對時間t的變化率為

式（8）為修正的四階Cahn-Hilliard方程，即

求解式（9）需要聯(lián)立電勢φ的拉普拉斯方程，即

式（10）中，ξ(?)表示與序參數(shù)?相關(guān)的電導(dǎo)率。

2 可靠性驗證

首先根據(jù)前文的相場控制方程，基于MOOSE編制有限元程序，再進行程序可靠性驗證。在無限大且各向同性的金屬材料中，考慮半徑為R的圓形夾雜（β=1），對導(dǎo)線施加小電場，則夾雜保持圓形并沿電場方向穩(wěn)定漂移的理論解［12］為

下標th和num分別表示理論解和數(shù)值解。由圖2可見，數(shù)值解與理論解吻合良好，故本文的有限元算法是可靠的。

3 數(shù)值模擬與討論

本節(jié)數(shù)值模擬電遷移誘發(fā)各向異性界面擴散下夾雜的形貌演化規(guī)律，討論不同β對夾雜形貌演化的影響。外電場的方向均為從左向右。晶體取向為<110>方向，則j=1。其余參數(shù)分別為χ=30，λ=1，θ0=0°，Q=5。

3.1 初始形態(tài)比β<1的演化

圖3-4所示為β=0.25、0.30和0.50時夾雜的形貌演化圖。由圖3可見，夾雜經(jīng)歷了復(fù)雜的形貌演化。橢圓夾雜沿電場方向內(nèi)凹形成“鋸齒”形，“鋸齒”隨著演化的進一步進行而沿電場方向延伸，最終導(dǎo)致夾雜沿垂直電場方向分裂為5個相似的“指”形。分裂之后的“指”形夾雜沿電場方向穩(wěn)定遷移。由圖4可見，β=0.30的夾雜最終分裂為4個“指”形夾雜，而β=0.50的夾雜分裂為2個“指”形夾雜。可見，隨著β的增大，分裂完成的時間減少，而分裂之后“指”形夾雜的長度增大。

3.2 初始形態(tài)比β>1的演化

圖5所示為β=2、3和4時夾雜的形貌演化圖。由圖5可見，夾雜沿電場方向遷移，夾雜前端向電場方向延伸，夾雜尾端垂直于電場方向的長度縮小。而且，β=4的夾雜前端的延伸長度比β=2、3更長。此外，三者均未發(fā)生失穩(wěn)分裂。

如圖6所示，曲線的斜率為夾雜遷移速度。當(dāng)t?<0.15時，夾雜形貌還不穩(wěn)定；當(dāng)t?≥0.15時，夾雜保持穩(wěn)定形貌遷移。而且，隨著β的增加，穩(wěn)定形態(tài)的夾雜遷移速度逐漸減小。

4 結(jié) 論

本文建立了電遷移誘發(fā)各向異性界面擴散下夾雜演化的相場模型，模擬了初始形態(tài)比β對λ=1時夾雜形貌演化的影響，得到主要結(jié)論如下。

（1）電遷移驅(qū)動下，夾雜沿電場方向發(fā)生遷移，并存在分裂與穩(wěn)定兩種演化模式。

（2）若β<1，則β越小，夾雜越易發(fā)生分裂，分裂形成的新夾雜數(shù)目越多，新夾雜保持穩(wěn)定遷移時的x向長度越短。

（3）若β>1，則β越大，夾雜前端延伸越長，穩(wěn)定形態(tài)的遷移速度越小。