考慮狀態(tài)約束的繩系組合體欠驅(qū)動(dòng)控制

郭新程， 孟中杰*， 魯迎波

1. 西北工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院, 西安 710072 2. 鄭州輕工業(yè)大學(xué)電氣信息工程學(xué)院, 鄭州 450001

0 引 言

隨著航天技術(shù)的發(fā)展，在軌服務(wù)的重要性與日俱增.針對(duì)其關(guān)鍵難題：非合作失穩(wěn)目標(biāo)抓捕，由繩系抓捕器、系繩組成的空間繩系機(jī)器人具有諸多優(yōu)勢(shì)[1]，引起了國內(nèi)外的廣泛關(guān)注.而在繩系機(jī)器人抓捕目標(biāo)后，如何進(jìn)行失穩(wěn)目標(biāo)衛(wèi)星的位姿接管控制一直是關(guān)注的重點(diǎn).

在這方面，文獻(xiàn)[2-5]建立了包含百米級(jí)短系繩空間繩系系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，為抓捕后繩系組合體穩(wěn)定控制奠定了基礎(chǔ).文獻(xiàn)[6]針對(duì)大質(zhì)量目標(biāo)的消旋穩(wěn)定問題，提出了一種解耦的PD消旋穩(wěn)定控制策略；文獻(xiàn)[7]研究了利用系繩常張力實(shí)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)目標(biāo)星拖曳控制問題，通過設(shè)計(jì)一種常值切換控制律，利用兩個(gè)恒定大小的張力實(shí)現(xiàn)目標(biāo)的穩(wěn)定控制.文獻(xiàn)[8]考慮了翻滾目標(biāo)移除中的碰撞問題，設(shè)計(jì)了一種T-S模糊控制律.文獻(xiàn)[9]考慮了能量消耗和碰撞風(fēng)險(xiǎn)，設(shè)計(jì)了一種混合張力控制律來實(shí)現(xiàn)繩系系統(tǒng)的穩(wěn)定；但是上述文獻(xiàn)中，由于僅利用了系繩張力，目標(biāo)繞繩方向的角速度不能消除.針對(duì)繩系組合體的三軸姿態(tài)穩(wěn)定問題，文獻(xiàn)[10-11]考慮了輸入飽和影響，通過反步法設(shè)計(jì)了一種自適應(yīng)姿態(tài)控制器，文獻(xiàn)[12]考慮組合體穩(wěn)定控制任務(wù)中輸入受限及狀態(tài)約束問題，設(shè)計(jì)了一種基于動(dòng)態(tài)面的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)控制方法；文獻(xiàn)[5]提出了一種基于預(yù)設(shè)性能的自適應(yīng)動(dòng)態(tài)面控制方法，以保證組合體系統(tǒng)存在狀態(tài)測(cè)量誤差情況下的收斂時(shí)間、穩(wěn)態(tài)誤差等控制性能指標(biāo).但在上述研究中，均假設(shè)繩系系統(tǒng)為全驅(qū)系統(tǒng).而系繩的物理特性導(dǎo)致直接在其面內(nèi)/面外通道施加主動(dòng)控制力難度極大.在考慮繩系組合體欠驅(qū)動(dòng)特性的穩(wěn)定控制方面，文獻(xiàn)[13]利用偏置系繩擺桿，考慮執(zhí)行器飽和，設(shè)計(jì)了一種分層滑?？刂破鲗?shí)現(xiàn)欠驅(qū)動(dòng)穩(wěn)定控制，在此基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)[14]研究了一種利用線性滑桿來實(shí)現(xiàn)拖曳過程中組合體的欠驅(qū)動(dòng)穩(wěn)定問題.文獻(xiàn)[15]提出了一種基于能量法的空間繩系組合體欠驅(qū)動(dòng)穩(wěn)定控制器.在目前考慮繩系組合體欠驅(qū)動(dòng)特性的控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)方面，均忽略了各被控狀態(tài)的強(qiáng)約束問題.例如，為避免系繩纏繞，目標(biāo)星姿態(tài)角、系繩擺角等狀態(tài)是嚴(yán)格受限的.

針對(duì)狀態(tài)嚴(yán)格約束的繩系組合體欠驅(qū)動(dòng)控制問題，本文在能量法的控制框架下，引入狀態(tài)約束輔助函數(shù)，設(shè)計(jì)了一種欠驅(qū)動(dòng)穩(wěn)定控制方法，并從理論上證明了在控制器作用下，系統(tǒng)各狀態(tài)均滿足約束條件，解決繩系組合體狀態(tài)約束下的欠驅(qū)動(dòng)控制問題.

1 繩系組合體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

繩系機(jī)器人抓捕目標(biāo)后的繩系組合體如圖1所示，包括平臺(tái)(含系繩收放裝置)、系繩、目標(biāo)星(含抓捕器)3部分.設(shè)o0x0y0z0為軌道坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點(diǎn)位于組合體系統(tǒng)質(zhì)心，o0x0軸由地心指向系統(tǒng)質(zhì)心，o0z0軸垂直于軌道面，與軌道角速度方向一致，o0y0軸服從右手定則.o2x2y2z2為捕獲后目標(biāo)星(含抓捕器)本體坐標(biāo)系，原點(diǎn)位于目標(biāo)星(含抓捕器)質(zhì)心，坐標(biāo)軸o2x2、o2y2、o2z2為慣量主軸.otxtytzt為系繩坐標(biāo)系，OXYZ為慣性坐標(biāo)系.

圖1 抓捕后組合體系統(tǒng)組成示意圖Fig.1 Schematic of the postcapture tethered system

為簡(jiǎn)化建模過程，假設(shè)如下：

1)假設(shè)目標(biāo)星為剛體，且空間平臺(tái)具有優(yōu)秀的姿/軌控制能力；

2)假設(shè)繩系組合體運(yùn)行在圓軌道上，軌道角速度為ω0；

3)系繩處于張緊狀態(tài)，且質(zhì)量較小，忽略彈性影響，長(zhǎng)度為l。

設(shè)狀態(tài)量為q=[φ2θ2ψ2αβl]T，利用拉格朗日動(dòng)力學(xué)建模方法，建立繩系組合體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，整理成如下二階標(biāo)準(zhǔn)形式[5]：

(1)

式中，τ=[τφ2τθ2τψ20 0τl]T為控制輸入，

(2)

Mij，Cij，Gi(i,j=1,2,…,6)具體表達(dá)式見團(tuán)隊(duì)前期研究文獻(xiàn)[5].

為了便于控制器設(shè)計(jì)，將式中狀態(tài)量調(diào)整順序.

定義qa=[φ2θ2ψ2l]T，qu=[αβ]T，u=[τφ2-G1τθ2-G2τψ2-G3τl-G6]T，則模型轉(zhuǎn)換為

(3)

2 繩系組合體欠驅(qū)動(dòng)控制器設(shè)計(jì)

2.1 控制目標(biāo)

定義系統(tǒng)期望狀態(tài)為

qd=[φ2dθ2dψ2dαdβdld]T

其中，φ2d=π/2，θ2d=0，ψ2d=0，αd=βd=0，ld為常數(shù).

同時(shí)為了防止組合體穩(wěn)定控制過程中系繩纏繞，保證系統(tǒng)的安全性，系統(tǒng)狀態(tài)應(yīng)滿足如下約束：

(4)

控制器設(shè)計(jì)的目標(biāo)是設(shè)計(jì)控制律u，使得

(5)

且控制過程中狀態(tài)q滿足約束

qim

(6)

式中，qim和qiM分別是狀態(tài)量qi(t)的下界和上界.

2.2 控制器設(shè)計(jì)

由系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型(式)可以得到下式

(7)

式中，Ma,Ca∈Rm×m，Cu∈Rm×(n-m)，Ga∈Rm，

(8)

式中，Ma為正定矩陣[17].

首先構(gòu)造能量函數(shù)為

(9)

顯然，Es(t)非負(fù)，對(duì)其求導(dǎo)可得

(10)

然后，定義誤差向量為：

ea=qa-qad

(11)

誤差向量的各分量可表示為

(12)

借鑒文獻(xiàn)[16]的思路，設(shè)計(jì)狀態(tài)約束輔助函數(shù)Δ1、Δ2為

(13)

(14)

當(dāng)qi∈(qim,qiM)時(shí)，通過推導(dǎo)可知：Δ1≥0、Δ2≥0.

對(duì)Δ1、Δ2求導(dǎo)，得

(15)

(16)

針對(duì)繩系組合體系統(tǒng)式，構(gòu)造標(biāo)量函數(shù)為

(17)

式中，kE、kv為正實(shí)數(shù)，κp∈Rm×m為正定對(duì)角矩陣.則，該標(biāo)量函數(shù)為非負(fù)標(biāo)量函數(shù).

對(duì)式(7)求導(dǎo)可以得到

(18)

式中

(19)

(20)

式中，Im為m×m單位矩陣.

根據(jù)式，設(shè)計(jì)控制律為

(21)

式中，κd1,κd2,κd3∈m×m均為正定對(duì)角陣.

2.2 穩(wěn)定性分析

控制器穩(wěn)定性證明分三步：

1)證明控制系統(tǒng)是穩(wěn)定的；

2)證明當(dāng)初始狀態(tài)滿足狀態(tài)約束時(shí)，在設(shè)計(jì)的控制律作用下，系統(tǒng)狀態(tài)始終滿足約束；

3)證明在設(shè)計(jì)的控制律作用下，系統(tǒng)狀態(tài)能收斂到期望值.

首先證明控制系統(tǒng)是穩(wěn)定的.

將控制律代入式可得

(22)

因此，系統(tǒng)是穩(wěn)定的.

其次，證明當(dāng)初始狀態(tài)滿足狀態(tài)約束時(shí)，在整個(gè)控制過程中狀態(tài)變量均滿足約束.

V(t)∈L∞,t∈[0,T)

(23)

假設(shè)狀態(tài)量qi(t)在時(shí)刻T有離開區(qū)間(qim,qiM)的趨勢(shì)，不妨假設(shè)qi(t)從上界qiM離開，即有qi(T)=qiM，由此可得

同時(shí)根據(jù)V(t)表達(dá)式可以得到

這與式(23)矛盾.因此qi(t)不會(huì)越過上界qiM，同理qi(t)也不會(huì)越過下界qim，所以有qi(t)∈(qim,qiM).因此，在整個(gè)控制過程中所有狀態(tài)量均滿足約束.

最后，證明在控制律作用下，狀態(tài)q可以收斂到期望值qd.

(24)

式中，V(0)是V(t)的初值.

當(dāng)狀態(tài)初值滿足狀態(tài)約束時(shí)，由式(9)、(13)、(14)、(17)和(22)可知

(25)

由Ma正定可以得到A也是正定的，因此控制律計(jì)算中不會(huì)出現(xiàn)奇異，且u∈L∞.

由式(24)可得

(26)

(27)

因此可以得到[19]

(28)

將式(27)和(28)代入式(3)可得

(19)

(30)

(31)

因此有

(32)

由式(29)和(32)可知，設(shè)計(jì)的控制律可以使得系統(tǒng)狀態(tài)收斂到平衡位置.

3 仿真驗(yàn)證

設(shè)繩系組合體系統(tǒng)參數(shù)為

m1=5 000 kg，m2=3 200 kg，mt=0.000 5 kg，Rc=6 371 km，Idx=6 300 kg·m2，Idy=6 246 kg·m2，Idz=4 497 kg·m2，b2y=1.6 m，ω0=0.001 033 rad/s.

初始狀態(tài)為

設(shè)繩系組合體期望狀態(tài)為

控制律τc參數(shù)選擇為

為了說明本文控制方法的優(yōu)越性，下面進(jìn)行仿真分析.將系統(tǒng)模型無量綱化[20-21]，并將本文方法與文獻(xiàn)[15]的分層滑?？刂坡搔親SMC進(jìn)行對(duì)比.仿真結(jié)果中，橫軸表示無量綱時(shí)間，每1單位無量綱時(shí)間實(shí)際表示1/2π個(gè)軌道周期的時(shí)間.

圖2 姿態(tài)角φ2變化曲線Fig.2 Time responses of state φ2

圖3 姿態(tài)角θ2變化曲線Fig.3 Time responses of state θ2

圖4 姿態(tài)角ψ2變化曲線Fig.4 Time responses of state ψ2

圖5 面內(nèi)角α變化曲線Fig.5 Time responses of state α

圖2～4給出了在控制器作用下，姿態(tài)角φ2,θ2,ψ2的變化曲線.紅色實(shí)線代表控制律τHSMC，藍(lán)色虛線本文控制律τc.從圖2可以看出姿態(tài)角φ2在控制律τc作用下經(jīng)過約0.3的仿真時(shí)間收斂到期望值π/2附近，而在控制律τHSMC作用下大約需要5的仿真時(shí)間才能收斂到期望值附近，且τc控制精度高于τHSMC.由圖3可知，姿態(tài)角θ2在兩種控制律作用下，τc作用下的穩(wěn)態(tài)誤差略小于τHSMC.從圖4可知，姿態(tài)角ψ2在兩控制律作用下均能快速收斂，但在τHSMC作用下姿態(tài)角震顫現(xiàn)象明顯.從控制過程中三軸姿態(tài)角φ2,θ2,ψ2變化幅度來看，τc作用下姿態(tài)角變化范圍小于控制律τHSMC作用下的，這是由于控制律τc中的狀態(tài)約束輔助函數(shù)起了作用.

圖6 面外角β變化曲線Fig.6 Time responses of state β

圖7 系繩長(zhǎng)度l變化曲線Fig.7 Time responses of state l

圖8 控制輸入τφ2Fig.8 The control input τφ2

從圖5可以看出，面內(nèi)角α在控制律τc作用下振蕩收斂至期望值附近，收斂速度較慢，但控制精度高于τHSMC.由圖6可知在兩種控制律作用下，面外角β振幅均有衰減的趨勢(shì)，而在τc作用下振幅衰減更快，大約經(jīng)過100/2π個(gè)軌道周期的時(shí)間后，面外角振幅由初始的10°衰減至5°.由圖7可知在τc作用下系繩長(zhǎng)度l收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差均優(yōu)于控制律τHSMC.

圖8～11為控制輸入曲線，紅色實(shí)線代表控制律τHSMC，藍(lán)色虛線代表本文控制律.從圖8可以看出，τHSMC中，τφ2變化范圍為[-2,2]N·m，且存在劇烈的抖振現(xiàn)象，而τc中，在控制開始的一段時(shí)間內(nèi)需要較大的τφ2，這是由于控制律τc設(shè)計(jì)中狀態(tài)約束輔助函數(shù)的引入導(dǎo)致的，當(dāng)控制一段時(shí)間后，τφ2變化范圍減小，且變化平穩(wěn)無抖振現(xiàn)象.由圖9可知，τHSMC中，τθ2雖然變化范圍較小，但是抖振嚴(yán)重，而控制律τc中，僅在一些時(shí)間段內(nèi)需要較大的τθ2，其余時(shí)間則較為平滑.分析圖10的仿真結(jié)果可以得到與圖8類似的結(jié)論.由圖11可知，控制律τHSMC中，τl存在張力為負(fù)的情形，且抖振劇烈，而在控制律τc中，系繩張力τl始終為正，且變化平穩(wěn).綜上所述，在控制律τc作用下，捕獲后組合體系統(tǒng)可以實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定，且系繩張力恒大于0，并保證系統(tǒng)狀態(tài)約束.

圖9 控制輸入τθ2Fig.9 The control input τθ2

圖10 控制輸入τψ2Fig.10 The control input τψ2

圖11 控制輸入τlFig.11 The control input τl

4 結(jié) 論

針對(duì)繩系機(jī)器人抓捕失穩(wěn)目標(biāo)星后的欠驅(qū)動(dòng)控制問題，為避免系繩纏繞，本文重點(diǎn)研究了狀態(tài)嚴(yán)格約束下的穩(wěn)定控制問題，基于能量法的控制框架，提出了一種加入狀態(tài)約束輔助函數(shù)的欠驅(qū)動(dòng)控制方法，并從數(shù)學(xué)上證明了加入控制器后，系統(tǒng)能夠滿足狀態(tài)約束要求，穩(wěn)定且能收斂到期望值.文中給出的仿真實(shí)例說明了該方法的有效性.