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    淺談矩陣的初等行變換在線性代數(shù)中的應(yīng)用

    2022-08-01 01:21:58張亞龍
    數(shù)理化解題研究 2022年21期
    關(guān)鍵詞:行列式線性方程組階數(shù)

    張亞龍

    (北京科技大學(xué)天津?qū)W院基礎(chǔ)部 301830)

    目前,《線性代數(shù)》這門課程是理工科和經(jīng)管類必開設(shè)的一門課程,主要內(nèi)容包括行列式、矩陣、線性方程組、向量組、相似矩陣、二次型等.矩陣的初等行變換貫穿在整個(gè)線性代數(shù)的內(nèi)容中,為了方便學(xué)生學(xué)習(xí),下面歸納總結(jié)了關(guān)于矩陣初等行變換在線性代數(shù)中的應(yīng)用.

    1 矩陣中的應(yīng)用

    1.1 求矩陣的逆

    解作一個(gè)3×6的矩陣(A,E),并對其做矩陣的初等行變換.

    1.2 求矩陣的秩

    矩陣秩的定義是非零子式的最高階數(shù),我們知道初等變換不改變矩陣的秩,對矩陣A做初等行變換化為行階梯形矩陣B,由行列式的性質(zhì)可知,矩陣A和矩陣B的非零子式最高階數(shù)相同,所以矩陣A與矩陣B的秩相等.

    解對矩陣A做初等行變換化為行階梯形矩陣.

    因?yàn)榫仃嘊中有三個(gè)非零行,即R(B)=3,所以R(A)=3.

    2 在向量組中應(yīng)用

    2.1 求向量組的秩

    由于任何矩陣A,它的行秩=列秩=R(A),因此我們只需將向量組中的向量均按列構(gòu)成一個(gè)矩陣A,向量組的秩就等于矩陣A的秩.

    例3求向量組α1=(1,-2,2),α2=(1,-4,0),α3=(1,-2,2)的秩.

    2.2 求向量組的極大無關(guān)組

    由于初等行變換不改變矩陣列向量的線性關(guān)系,因此可由初等行變換求解向量組的極大無關(guān)組.

    例4求向量組α1=(1,2,3,0),α2=(-1,-2,0,3),α3=(2,4,6,0),α4=(1,-2,-1,0)的一個(gè)極大線性無關(guān)組.

    非零行首非零元1所在的列作極大線性無關(guān)組,因此向量組α1,α2,α3,α4的一個(gè)極大線性無關(guān)組為α1,α2,α4.

    3 在線性方程組中的應(yīng)用

    通過一系列的初等行變換,將系數(shù)矩陣或增廣矩陣化為行最簡形矩陣,判斷方程組是否有解,有解的情況下,求出通解.

    3.1 解齊次線性方程組

    例5求解齊次線性方程組

    3.2 解非齊次線性方程組

    解對增廣矩陣B進(jìn)行初等行變換,化為行最簡形矩陣.

    4 在矩陣特征向量中的應(yīng)用

    上面我們介紹了用初等行變換求解線性方程組,計(jì)算矩陣的特征向量就會(huì)涉及到解齊次線性方程組.

    矩陣的初等行變換貫穿于整個(gè)線性代數(shù)章節(jié)中,熟練應(yīng)用初等行變換是學(xué)好線性代數(shù)的基礎(chǔ),學(xué)生要在平時(shí)學(xué)習(xí)中,學(xué)會(huì)歸納總結(jié),使每個(gè)知識(shí)點(diǎn)建立聯(lián)系.

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