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    近年來高考數(shù)學(xué)試題中概率與統(tǒng)計試題探析

    2022-08-01 10:39:52黃鐘慧廖小蓮
    數(shù)理化解題研究 2022年19期
    關(guān)鍵詞:概型古典題型

    黃鐘慧 廖小蓮

    (湖南人文科技學(xué)院數(shù)學(xué)與金融學(xué)院 417000)

    在概率與統(tǒng)計客觀題和主觀題的解題中,我們通常要弄清楚所給題目所涉及到的概率類型是否與抽樣方法、互斥事件、獨立事件、古典概型、幾何概型等有關(guān),針對不同的類型問題都有不同的解決方法,從而使未知變已知,來提高學(xué)生的解題效率.這些文獻(xiàn)主要探討利用概率的加法公式和概率的乘法公式求獨立事件的概率、利用古典概型和幾何概型的公式求古典概型和幾何概型的概率、利用表格數(shù)據(jù)求解平均值和方差并利用題干做出科學(xué)決策、利用計算分布列和數(shù)學(xué)期望作出科學(xué)決策、利用計算數(shù)據(jù)求出K2與臨界值表作對比并作出科學(xué)決策.通過閱讀文獻(xiàn),我發(fā)現(xiàn)離散型隨機(jī)變量的分布列及其期望是近幾年高考題目中概率與統(tǒng)計問題的熱點,這類問題主要考查學(xué)生理解題目的能力與思考問題能力,本文也有所體現(xiàn).在高考題中的概率與統(tǒng)計的選擇題中,通??疾榈念}型有:抽樣方法、互斥事件、獨立事件、古典概型、幾何概型;在解答題中,通??疾榈念}型有:樣本估計總體、獨立性檢驗、回歸方程、離散型隨機(jī)變量的分布列及其期望值.

    1 互斥事件與獨立事件的概率題型分析

    一般地,事件A(或B)的發(fā)生不會影響事件B(或A)發(fā)生的概率,此時事件A和事件B稱作相互獨立事件,在一次隨機(jī)試驗中,事件A和事件B不能同時發(fā)生,則這兩個不能同時發(fā)生的事件叫做互斥事件.

    例1(2021年全國Ⅰ卷理科第8題)有6個相同的球,分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,從中有放回的隨機(jī)取兩次,每次取1個球,甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”,丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”,丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”,則( ).

    A.甲與丙相互獨立 B.甲與丁相互獨立

    C.乙與丙相互獨立 D.丙與丁相互獨立

    分析我們可以先寫出兩點數(shù)之和為8的基本事件,再寫出兩點數(shù)之和為7的基本事件.再根據(jù)獨立事件的概率公式求解.

    小結(jié)本題考查事件獨立性的概念,易錯點在于考生獨立性事件概念理解不夠透徹,容易混淆獨立性概念與條件概率.

    2 幾何概型與古典概型的概率題型分析

    幾何概型的特點:(1)無限性,試驗中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果(基本事件)有無限多個;(2)等可能性,每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等.具有以下兩個特點的概率模型稱為古典概型.古典概型的特點:(1)有限性——試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個;(2)等可能性——每個基本事件的出現(xiàn)可能性相等.

    小結(jié)本題考查長度幾何概型的概率計算,可計算出基本事件與所要求事件所包含的長度、區(qū)域、面積、體積等,最后運用幾何概型的計算公式計算即可得出答案.

    例3(2020年江蘇卷理科第4題)將一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子先后拋擲2次,觀察向上的點數(shù),則點數(shù)和為5的概率是____.

    分析可以先寫出骰子先后拋擲2次點數(shù)之和所有的基本事件,再寫出點數(shù)之和為5的基本事件,最后利用古典概率的公式進(jìn)行計算.

    解析設(shè)事件A為將一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子先后拋擲2次,骰子向上的點數(shù)之和為5.

    小結(jié)本題考查古典概型的概率計算,可列舉出所有的基本事件,再從中數(shù)出滿足條件的基本事件的個數(shù),最后利用古典概型的計算公式計算即可得出答案.

    3 離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望的概率題型分析

    離散型隨機(jī)變量及其分布列可以一一列舉出隨機(jī)變量及其發(fā)生的概率,進(jìn)而得到概率分布列,有利于分析數(shù)據(jù);相互獨立事件概率乘法公式可以反映獨立事件發(fā)生的概率;期望綜合了隨機(jī)變量的取值和取值范圍的概率,反映隨機(jī)變量的平均水平.

    例4(2021年全國Ⅰ卷理科第18題)某學(xué)校組織“一帶一路”知識競賽,有A,B兩類問題,每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個問題回答,若回答錯誤則該同學(xué)比賽結(jié)束;若回答正確則從另一類問題中再隨機(jī)抽取一個問題回答,無論回答正確與否,該同學(xué)比賽結(jié)束.A類問題中的每個問題回答正確得20分,否則得0分;B類問題中的每個問題回答正確得80分,否則得0分.己知小明能正確回答A類問題的概率為0.8,能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6,且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān).

    (1)若小明先回答A類問題,記X為小明的累計得分,求X的分布列;

    (2)為使累計得分的期望最大,小明應(yīng)選擇先回答哪類問題?并說明理由.

    分析(1)通過理解隨機(jī)變量的分布列的定義和計算方法可以求出X的分布列;

    (2)利用期望公式,分別求出回答A,B類問題的數(shù)學(xué)期望,根據(jù)比較,作出決策.

    解析(1)由題意得,A類問題中的每個問題回答正確得20分,否則得0分,那么X的所有可能取值為0,20,100.即

    所以X的分布列為:

    表1

    (2)當(dāng)小明先選擇回答A類問題,由題意,得

    E(X)=0×0.2+20×0.32+100×0.48=54.4.

    當(dāng)小明先選擇回答B(yǎng)類問題,記Y為小明的總共得到的分?jǐn)?shù),則Y的所有可能取值為0,80,100.

    P(Y=0)=1-0.6=0.4,

    P(Y=80)=0.6×(1-0.8)=0.12,

    P(Y=100)=0.8×0.6=0.48,

    所以Y的分布列為:

    表2

    E(Y)=0×0.4+80×0.12+100×0.48=57.6.

    因為57.6>54.4,所以E(X)

    小結(jié)這道題考查分布列、期望并通過期望作出科學(xué)決策.針對求每一個隨機(jī)變量的概率從而得到分布列;針對求離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的問題時,我們可以把分布列表格的數(shù)字,每一列相乘后相加即可求出數(shù)學(xué)期望.

    概率與統(tǒng)計問題是高考數(shù)學(xué)中的重要考查內(nèi)容之一,我們需要牢牢掌握概率與統(tǒng)計方面相關(guān)的知識點.在解決概率統(tǒng)計問題時,我們首先要考慮這道題的類型,針對不同的類型有不同的解決方法.例如,在針對互斥事件、獨立事件的概率問題時,我們可以利用概率的加法和乘法公式解決這類問題.在針對離散型隨機(jī)變量的分布列及其期望的問題時,我們可以先理解X的含義,寫出X可能取得的所有值;其次求X取每個值的概率;再寫出X的分布列;最后根據(jù)分布列按照公式計算期望等.

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