利用導(dǎo)數(shù)多視角研究一道壓軸題

李昌成

(新疆烏魯木齊市第八中學(xué) 830002)

1 試題呈現(xiàn)

題目已知曲線f(x)=lnx+2x與曲線g(x)=a(x2+x)有且只有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為( ).

A.(-∞,0) B.(0,1] C.(0,+∞) D.(0,1)

2總體分析

此題是2022年一輪復(fù)習(xí)測(cè)試卷中的選擇題的壓軸題，通過(guò)仔細(xì)分析，筆者發(fā)現(xiàn)有幾種不同的方法來(lái)解決此題：可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題來(lái)解決；可以聯(lián)立方程組，轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，再運(yùn)用合適的方法化歸與轉(zhuǎn)化來(lái)解決；基于兩個(gè)函數(shù)有公共點(diǎn)，利用隔離直線，借助于凸凹翻轉(zhuǎn)和數(shù)形結(jié)合來(lái)解決；也可以聯(lián)立后，部分變形，化曲為直，借助臨界的切線作為工具來(lái)解決.以下具體來(lái)探討和展示求解過(guò)程，并進(jìn)行類題的歸納和整合.

3 試題解答

視角1 利用函數(shù)零點(diǎn)求解.

解法1記h(x)=a(x2+x)-(lnx+2x)，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為h(x)=0有兩個(gè)零點(diǎn).

求導(dǎo),得

因?yàn)閤>0，當(dāng)a≤0時(shí)，h′(x)<0.

所以函數(shù)h(x)=a(x2+x)-(lnx+2x)單調(diào)遞減，至多只有一個(gè)零點(diǎn)，不滿足題意.

評(píng)注此處直接轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題求解，此時(shí)需要對(duì)字母參數(shù)的正負(fù)進(jìn)行討論，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的正負(fù)得出原函數(shù)的增減，求出相應(yīng)的最值，最后得出不等式求出結(jié)果，基本上就是一道解答題的運(yùn)算量，作為選擇題，有些得不償失.

視角2 分離變量作答.

解法2 根據(jù)題意可知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞)，兩曲線y=f(x)與y=g(x)有且僅有兩個(gè)公共點(diǎn)，則方程lnx+2x=a(x2+x)有兩個(gè)實(shí)數(shù)解.

由x>0可知x2+x>0.

問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線y=a與函數(shù)y=h(x)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn).

由h′(x)>0,得0

由h′(x)<0,得x>1.

所以y=h(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+∞)上單調(diào)遞減.

所以h(x)≤h(1)=1.

又x→0+時(shí)，h(x)→-∞；

x→+∞時(shí)，h(x)→0且h(x)>0.

若使直線y=a與y=h(x)有兩個(gè)交點(diǎn)，則需要0

評(píng)注此解法利用函數(shù)圖象的交點(diǎn)與方程根的聯(lián)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化，建立等式關(guān)系，接著進(jìn)行變量分離，轉(zhuǎn)化為直線y=a與函數(shù)y=h(x)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，通過(guò)對(duì)y=h(x)求導(dǎo)，用導(dǎo)數(shù)判斷出單調(diào)性，作出函數(shù)的準(zhǔn)確圖象，然后上下移動(dòng)參數(shù)的值，看直線與函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.

視角3 利用兩曲線相切的臨界值求解.

解法3 由已知條件易知f(x)=lnx+2x為上凸函數(shù)，欲使曲線f(x)與g(x)有兩個(gè)公共點(diǎn)，則必有a>0.

所以g(x)=a(x2+x)為開(kāi)口向上的二次函數(shù)，且為下凸函數(shù).

不妨設(shè)兩函數(shù)切于點(diǎn)P(x0,y0)，分別求導(dǎo),得

①

②

代入①整理,得

所以lnx0+x0=1.解得x0=1.所以a=1.

所以0

評(píng)注解決兩曲線的交點(diǎn)問(wèn)題，可以采用數(shù)形結(jié)合思想，根據(jù)函數(shù)的圖象或者趨勢(shì)圖象，找出符合題意的條件即可.因此，用導(dǎo)數(shù)的幾何意義找出臨界的公切線，同時(shí)確定a的臨界值，再結(jié)合圖象得出參數(shù)的取值范圍，這種方法用來(lái)解決導(dǎo)數(shù)壓軸小題還是行之有效的.

視角4 利用化曲為直思想求解.

解法4由解法2，兩曲線f(x)與g(x)有且僅有兩個(gè)公共點(diǎn)，則方程lnx+2x=a(x2+x)有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，且x>0.

所以lnx+2x=ax(x+1).

所以切線方程為

而直線y=a(x+1)-2恒過(guò)點(diǎn)(-1,-2)，

化簡(jiǎn)，整理得

-(2x0+1)(x0-1)=(2x0+1)lnx0.

又x0>0，所以lnx0=-x0+1.

所以0

視角5去偽存真排除干擾.

解法5 令h(x)=lnx+2x-a(x2+x)，則h(x)有兩個(gè)零點(diǎn).

當(dāng)a=1時(shí)，h(x)=lnx+x-x2，

令h′(x)>0，得0

令h′(x)<0，得x>1.

則h(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，+∞)上單調(diào)遞減.

所以h(x)max=h(1)=0，只有一個(gè)零點(diǎn)，與已知矛盾，故a≠1，排除B,D.

當(dāng)a=-1時(shí)，h(x)=lnx+3x+x2，

所以h(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞增，從而h(x)>h(0)=0，無(wú)零點(diǎn)，與已知條件矛盾，故a≠-1，排除C，故選A.

4 解后反思

近幾年,兩函數(shù)圖象交點(diǎn)問(wèn)題、函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題在選擇題、填空題以及解答題中都出現(xiàn)過(guò)，該問(wèn)題主要考查函數(shù)與方程的關(guān)系，要求學(xué)生能夠用分類討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸的思想來(lái)解決問(wèn)題.對(duì)于復(fù)雜的非初等函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義及導(dǎo)數(shù)來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)性等來(lái)處理，問(wèn)題就不難解決了.因此，學(xué)好導(dǎo)數(shù)對(duì)我們更好地理解函數(shù)有積極作用.

當(dāng)然，解題中的不同思想和策略需要學(xué)生逐漸領(lǐng)悟，高考復(fù)習(xí)的終極目標(biāo)是讓學(xué)生學(xué)會(huì)獨(dú)立解題.因此，對(duì)于經(jīng)典試題，教師要引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度進(jìn)行思考，尋求多種解法.培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)，發(fā)展創(chuàng)造性思維.