巧建坐標(biāo)系探討高考數(shù)學(xué)題中空間角的求解技巧

石 巧 陳國華

(湖南人文科技學(xué)院數(shù)學(xué)與金融學(xué)院 417000)

1 求異面直線所形成的角

在求異面直線所成角θ時(θ∈(0°，90°])，首先建立空間直角坐標(biāo)系，然后求出兩直線的方向向量，最后代入公式求出余弦值，因?yàn)棣葹殇J角，所以選正值即可.

例1(2015年全國Ⅰ卷理科第18題)如圖1，四邊形ABCD為菱形,∠ABC=120°，E,F是平面ABCD同一側(cè)的兩點(diǎn)，BE⊥平面ABCD,DF⊥平面ABCD，BE=2DF,AE⊥EC.求直線AE與直線CF所成角的余弦值.

圖1 圖2

解析由∠ABC=120°，四邊形ABCD為菱形，

所以AC⊥BD.

如圖2，以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以BG，CG為x軸，y軸.設(shè)|BG|=1,建立空間直角坐標(biāo)系G-xyz.

小結(jié)向量法是純代數(shù)運(yùn)算，避免了繁瑣的推理論證，已成為求解立體幾何問題的主要方法.但是特別要注意的是直線與直線所成角為銳角，所以最后結(jié)果要取正值.

2 求直線與平面所成的角

求直線與平面所成角θ(θ∈[0°，90°])與求直線與直線所成角大抵相同，在建立空間直角坐標(biāo)系后，求出直線的方向向量與平面的法向量，再代入公式求出題目中的相關(guān)問題.

例2(2020年全國Ⅱ卷理科第20題)如圖3，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，側(cè)面BB1C1C是矩形，M，N分別為BC，B1C1的中點(diǎn)，P為AM上的一點(diǎn)，過B1C1和P的平面交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F.設(shè)O為△A1B1C1的中心，若AO∥平面EB1C1F,且AO=AB,求直線B1E與平面A1AMN所成角的正弦值.

圖3 圖4

連接NP,則四邊形AONP為平行四邊形.

3 求平面與平面所成角即二面角

求二面角時先建立空間直角坐標(biāo)系，再求出題目里需要用到的點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求得兩個所求平面的法向量，最后利用公式求出二面角的余弦值.

例3(2017年全國Ⅰ卷理科第18題)如圖5，在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°.若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,求二面角A-PB-C的余弦值.

圖5 圖6

分析首先找到垂直于底面的一條線作為z軸，我們可以找到等腰△PAD,所以可以以三角形的高作為z軸，從而建立空間直角坐標(biāo)系，然后求出平面與平面的法向量，將二面角的平面角轉(zhuǎn)化為向量的夾角,向量法求二面角的大小,是當(dāng)前解這類題型的主要方法.

解析在平面PAD內(nèi)作PF⊥AD,垂足為點(diǎn)F.

由題知，AB⊥平面PAD.故AB⊥PF.

可得PF⊥平面ABCD.

設(shè)n=(x1,y1,z1)是平面PCB的法向量，

設(shè)m=(x2,y2,z2)是平面PAB的法向量，

可取m=(1,0,1)，則

小結(jié)建立空間直角坐標(biāo)系求解二面角時要將二面角的大小轉(zhuǎn)化成兩個半平面的法向量的夾角.如果兩個半平面的法向量所指的方向當(dāng)中，一個指向了二面角的外部，另一個指向二面角的內(nèi)部,那么法向量的夾角等于二面角的平面角.如果兩個半平面的法向量所指的方向均指向二面角的內(nèi)部或者外部,那么法向量的夾角等于二面角的平面角的補(bǔ)角,最重要的是，用平面的法向量求解二面角的大小時要先確定兩個半平面的法向量,然后再根據(jù)法向量的方向確定二面角的大小.

本文通過對空間角?？嫉娜齻€方面進(jìn)行了分析，主要介紹了如何建立空間直角坐標(biāo)系來求解這些問題，以及求解這類問題時的一般步驟和求解技巧.探討了高考題中這類問題應(yīng)該如何思考，在建立空間直角坐標(biāo)系時三維坐標(biāo)應(yīng)該如何選取才能使計算得到最簡單化，計算出來的結(jié)果應(yīng)該注意哪些方面尤其是二面角，要注意觀察.