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    例析高中數(shù)學(xué)“齊次式”的處理策略

    2022-08-01 10:38:30李云錦
    數(shù)理化解題研究 2022年19期
    關(guān)鍵詞:分母直角三角形定值

    李云錦

    (福建省廈門市海滄中學(xué) 361000)

    1 齊次式

    2 典型例題分析

    2.1 三角中的齊次式

    解析分子分母同除以cosα,得

    所以tanα=-3.

    評(píng)析由于分子和分母都是齊1次式的,所以將分子分母同除以cosα,就能轉(zhuǎn)化為關(guān)于tanα的方程.本題是弦與切的轉(zhuǎn)化,當(dāng)分子分母是齊2次式時(shí),可以同除以cos2α,進(jìn)而得到關(guān)于tanα的方程.

    例2設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.若bcosC+ccosB=asinA,則△ABC的形狀為( ).

    A.銳角三角形 B.直角三角形

    C.鈍角三角形 D.不確定

    解析因?yàn)閎cosC+ccosB=asinA,

    所以由正弦定理,得

    sinBcosC+sinCcosB=sin2A.

    所以sin(B+C)=sin2A.

    所以sinA=sin2A.

    所以△ABC是直角三角形.

    2.2 解析幾何中的齊次式

    解析設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則

    所以kOA·kOB=-1.

    即OA⊥OB.

    (1)求C的方程;

    (2)設(shè)直線l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)P2且與C相交于A,B兩點(diǎn).若直線l過(guò)定點(diǎn)(2,-1),求證:直線P2A與直線P2B的斜率的和為定值.

    設(shè)A′(x′1,y′1),B′(x′2,y′2),則

    設(shè)直線A′B′的方程為mx′+ny′=1,

    因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)(2,-2),所以2m-2n=1.

    故直線P2A與直線P2B的斜率的和為定值.

    2.3 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)中的齊次式

    所以φ(t)在(1,+∞)上單調(diào)遞減.

    所以φ(t)<φ(1)=0.

    例6若0

    A.ex2-ex1>lnx2-lnx1

    B.ex2-ex1

    C.x2ex1>x1ex2

    D.x2ex1

    當(dāng)0

    當(dāng)00,

    所以0

    所以當(dāng)0

    所以y=ex2-ex1與y=lnx2-lnx1的大小關(guān)系沒(méi)辦法判斷,所以選項(xiàng)A,B不正確.

    所以g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減.

    當(dāng)0g(x2),

    所以x2ex1>x1ex2,故選項(xiàng)C正確.

    評(píng)析通過(guò)觀察不等式結(jié)構(gòu),可以將含有x1與x2的式子分開(kāi),利用齊次結(jié)構(gòu)構(gòu)造新的函數(shù),進(jìn)而解決問(wèn)題.

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