旋轉(zhuǎn)基線相位干涉儀測(cè)向精度提高方法*

李 冬，焦義文，高澤夫

(航天工程大學(xué) 電子與光學(xué)工程系，北京 101416)

0 引 言

相位干涉儀通過比較若干個(gè)不同位置上陣元所接收的輻射源信號(hào)相位的大小來判斷信號(hào)的入射方向，得到輻射源的位置信息，具有很高的測(cè)向精度，是目前單站無源定位技術(shù)常用的測(cè)向方法之一。常見的相位干涉儀按天線陣擺放形式主要分為一維、二維和三維干涉儀。

在傳統(tǒng)干涉儀測(cè)向方法的基礎(chǔ)上，王國(guó)林等[1]提出了一種冗余虛擬基線的方法，提高了解模糊正確概率。張敏等[2]提出了一種多假設(shè)偽線性迭代最小二乘測(cè)向方法,通過模糊的相位差得到多組測(cè)向初值,采用線性最小二乘方法進(jìn)行迭代計(jì)算,通過檢測(cè)最小相位誤差確定來波方向。余忱等[3]提出的非固定比例基線法，相位容差適應(yīng)能力較強(qiáng)，在實(shí)際運(yùn)用中易于實(shí)現(xiàn)。居易等[4]基于參差基線解模糊算法原理，利用最長(zhǎng)基線鑒相精度，提出了一種解模糊的改進(jìn)算法，其具有計(jì)算量較小、適合實(shí)時(shí)計(jì)算以及正確概率較高的優(yōu)點(diǎn)，適合工程應(yīng)用。楊偉程等[5]介紹了二維相位干涉儀的定位數(shù)學(xué)模型，詳細(xì)地分析了干涉儀平臺(tái)穩(wěn)定性、基線長(zhǎng)度變化、波長(zhǎng)估計(jì)誤差及系統(tǒng)噪聲與相位偏差等測(cè)向定位誤差因素，提出了誤差改善途徑。司偉建等[6]提出了一種旋轉(zhuǎn)基線解模糊方法，通過一條基線兩端的天線繞基線中心點(diǎn)旋轉(zhuǎn)和相位積分實(shí)現(xiàn)解模糊，只使用了兩個(gè)陣元，具有占用資源少、測(cè)向算法簡(jiǎn)單等優(yōu)點(diǎn)。但旋轉(zhuǎn)基線法測(cè)向時(shí)利用相位值的最大和最小值這兩個(gè)數(shù)據(jù)求來波角度，在存在噪擾的情況下只采用兩個(gè)數(shù)據(jù)解算角度，誤差較大且數(shù)據(jù)利用率較低，因此需要對(duì)解模糊后的數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合處理，得到平滑的余弦曲線，增大測(cè)向精度。

在工程實(shí)踐中，常常會(huì)遇到根據(jù)一些離散的采樣數(shù)據(jù)進(jìn)行曲線擬合的問題，且得到的擬合函數(shù)應(yīng)該具有光滑性和精確性。目前常用的曲線擬合方法有拉格朗日插值擬合算法、分段三次埃米爾特?cái)M合法、三次樣條曲線法、多項(xiàng)式擬合法和最小二乘法，其中最小二乘法原理簡(jiǎn)單，擬合效果好，精度高。梁志國(guó)等[7]介紹了一種已知信號(hào)頻率的三參數(shù)余弦擬合算法，利用最小二乘法估計(jì)出除頻率外的三個(gè)參量，最終通過擬合求得余弦波的表達(dá)式。

本文在利用旋轉(zhuǎn)基線法求得陣元間無模糊相位差之后，采用三參數(shù)最小二乘法對(duì)解模糊后的相位差曲線進(jìn)行幅度、初相和偏移量的估計(jì)，進(jìn)而擬合出平滑的相位差曲線，以降低環(huán)境噪聲對(duì)測(cè)向系統(tǒng)的干擾，提高測(cè)向準(zhǔn)確度；且進(jìn)行余弦曲線參數(shù)估計(jì)時(shí)使用了全部的測(cè)量數(shù)據(jù)，擬合后的相位曲線增大了相位信息的利用度，測(cè)向精度更高。

1 相位干涉儀測(cè)向原理

1.1 單基線干涉儀測(cè)向原理

圖1為一維單基線相位干涉儀測(cè)向原理圖，陣元間的連線稱為基線，單基線干涉儀即由兩個(gè)陣元構(gòu)成的只有一條基線的干涉儀系統(tǒng)。

圖1 單基線干涉儀測(cè)向原理圖

假設(shè)信號(hào)到達(dá)接收天線前的陣前波為平行波，則兩天線接收到的信號(hào)相位差φ為

(1)

式中:f為入射信號(hào)頻率，λ為信號(hào)波長(zhǎng)，θ為入射信號(hào)的俯仰角，c為光速，D為基線長(zhǎng)度。則對(duì)應(yīng)的俯仰角為

(2)

在相位干涉儀測(cè)向方法中，由于鑒相器物理原理限制，其提取的信號(hào)相位差只能在[-π,π]范圍內(nèi)[8]。對(duì)于由兩個(gè)天線構(gòu)成的一維單基線，當(dāng)基線長(zhǎng)度小于入射信號(hào)二分之一波長(zhǎng)時(shí)，對(duì)于任意方向入射信號(hào)，實(shí)際相位差都在[-π,π]以內(nèi)，測(cè)量值反映實(shí)際值；當(dāng)基線長(zhǎng)度大于入射信號(hào)二分之一波長(zhǎng)時(shí)，相位差實(shí)際值在[-π,π]以外，此時(shí)鑒相器輸出值對(duì)實(shí)際相位差進(jìn)行截?cái)嗪推揭疲蛊湓赱-π,π]范圍內(nèi)翻折，這就是相位干涉儀測(cè)向方法中常見的相位模糊問題。因此單基線相位干涉儀不適用于高頻信號(hào)測(cè)向系統(tǒng)，需要采用多基線或者旋轉(zhuǎn)基線進(jìn)行解模糊，提高正確解角的概率。

1.2 旋轉(zhuǎn)基線干涉儀測(cè)向原理

一維單基線相位干涉儀只能測(cè)來波俯仰角，不能得到二維角度信息。旋轉(zhuǎn)基線相位干涉儀利用基線兩端的接收陣元圍繞基線中心點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)，使陣元間真實(shí)相位差變化規(guī)律滿足余弦曲線形式，通過判斷余弦曲線極值求出來波角度，達(dá)到同時(shí)測(cè)方位角和俯仰角的目的。

建立如圖2所示的天線旋轉(zhuǎn)模型，兩個(gè)接收天線S1、S2在一條直線上，基線長(zhǎng)度為D，以基線中心為原點(diǎn)繞z軸進(jìn)行逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)平面定義為xoy平面，旋轉(zhuǎn)角速度為ω，基線初始位置與x軸重合。目標(biāo)T的坐標(biāo)為T(r,φ,θ)，相對(duì)接收基線而言為遠(yuǎn)場(chǎng)，入射信號(hào)方位角為φ∈[0,2π)，表示從x軸正方向按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)的角度；俯仰角為θ∈[0,π/2)，表示入射波和xoy平面的夾角。

圖2 旋轉(zhuǎn)基線干涉儀測(cè)向模型

在旋轉(zhuǎn)基線相位干涉儀測(cè)向系統(tǒng)測(cè)向過程中，基線有效長(zhǎng)度隨著基線的旋轉(zhuǎn)變化，此時(shí)，兩天線接收的真實(shí)信號(hào)相位差不再是一個(gè)固定值，而是滿足下式所表達(dá)的余弦規(guī)律[9]:

(3)

由于鑒相器輸出的相位差將實(shí)際相位差限定在[-π,π]范圍內(nèi)，因此其輸出相當(dāng)于把φ(t)在主值區(qū)間進(jìn)行連續(xù)不斷的翻折，鑒相值如圖3所示，可知存在相位模糊。

圖3 鑒相相位差曲線

針對(duì)相位模糊現(xiàn)象，若想恢復(fù)出真實(shí)的相位差曲線，需要進(jìn)行解模糊處理。解模糊即是消除多值，消除相位跳變現(xiàn)象[10]。旋轉(zhuǎn)單基線可以利用數(shù)字積分器進(jìn)行相位的累加處理以達(dá)到解模糊的作用，數(shù)字積分器的原理如式(4)所示。根據(jù)鑒相器輸出的相位差，按式(4)進(jìn)行累加計(jì)算，可以還原出無模糊的真實(shí)相位差。

(4)

式中：φi是鑒相器當(dāng)前時(shí)刻的相位差，φi-1是上一次的相位差，φ(i)是積分器當(dāng)前累加的相位差，φ(i-1)是積分器上一次的相位差[11]。通過數(shù)字積分器后得到的真實(shí)相位差變化曲線如圖4所示，由積分后的相位值曲線可看出，旋轉(zhuǎn)基線法可以消除相位跳變現(xiàn)象，恢復(fù)出完整的相位差變化曲線。

由公式(3)可知，當(dāng)θ固定即目標(biāo)俯仰角不變時(shí)，測(cè)量相位差一個(gè)周期最大值處對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)角度即為目標(biāo)方位角，即基線旋轉(zhuǎn)角度為φ時(shí)測(cè)量相位差有最大值，基線旋轉(zhuǎn)角度為φ+π時(shí)測(cè)量相位差有最小值，由此可以得到俯仰角和相位差的關(guān)系式。

(5)

因此，通過判斷曲線的極大值φmax和極小值φmin點(diǎn)就可以確定θ的值。則目標(biāo)俯仰角為

(6)

得到目標(biāo)的方位角為

φ=ωt|φ=φmax=π+ωt|φ=φmin。

(7)

由上述分析可知，旋轉(zhuǎn)基線法可以同時(shí)測(cè)量方位角和俯仰角，且不會(huì)產(chǎn)生俯仰角的模糊。

2 三參數(shù)最小二乘估計(jì)算法

理論上，鑒相相位差經(jīng)過解模糊處理后能夠得到無模糊的相位差數(shù)據(jù)，但在存在噪聲的真實(shí)環(huán)境下進(jìn)行測(cè)向時(shí)相位差往往存在誤差。因此需要對(duì)解模糊后的相位差曲線進(jìn)行擬合處理，以降低系統(tǒng)誤差，并且擬合可以利用全部相位點(diǎn)信息，提高測(cè)角精度。本文采用三參數(shù)最小二乘法對(duì)解模糊后的相位差曲線進(jìn)行擬合。該算法通過最小二乘法估計(jì)出余弦曲線的幅度、初相、偏移量三個(gè)參數(shù)，進(jìn)而擬合得到誤差較小的光滑曲線[12]。

設(shè)基線旋轉(zhuǎn)角頻率為ω，理想余弦信號(hào)為

y(t)=Acos(ωt)+Bsin(ωt)+D。

(8)

yi(i=1,2,…,n)為時(shí)刻ti處的無模糊相位差值，擬合過程即為選取或?qū)ふ褹、B、D，使公式(9)所述殘差平方和最小：

(9)

為了找到合適的A、B和D值，首先構(gòu)造下列矩陣：

(10)

(11)

(12)

則式(9)可以用矩陣方式表示如下：

ε=(y-ψx)T(y-ψx) 。

(13)

式中：(·)T表示(·)的轉(zhuǎn)置。當(dāng)式(13)最小時(shí)可以得出x的最小二乘解

(14)

擬合函數(shù)為

(15)

將其轉(zhuǎn)換為幅度和相位表達(dá)式：

微納測(cè)頭支撐機(jī)構(gòu)的主要參數(shù)如圖3所示，l、wb、tb分別為支撐梁長(zhǎng)度、寬度和厚度,ls為測(cè)桿長(zhǎng)度，wi為中心體半徑。其中：Z向?yàn)檩S向，Y向?yàn)闄M向。

(16)

式中：

(17)

(18)

擬合殘差ri如下：

ri=yi-Acos(ωti)-Bsin(ωti)-D。

(19)

擬合殘差有效值如下：

(20)

3 仿真驗(yàn)證與分析

本文主要分析在不同帶內(nèi)功率信噪比條件下相位擬合后的測(cè)向精度(擬合前后已通過系統(tǒng)標(biāo)校降低了鑒相器自身的誤差對(duì)測(cè)向精度的影響)，帶內(nèi)功率信噪比即信號(hào)帶寬與噪聲帶寬相等情況下的信號(hào)功率與噪聲功率之比。選取基線長(zhǎng)度為1 m的單基線相位干涉儀，采用旋轉(zhuǎn)基線法對(duì)S頻段信號(hào)進(jìn)行測(cè)向，基線轉(zhuǎn)速60 r/min，來波方位角為90°，俯仰角為50°。先提取陣元間來波信號(hào)相位差，再對(duì)鑒相相位差進(jìn)行解模糊處理，最后對(duì)解模糊后的相位差分別進(jìn)行多項(xiàng)式擬合和最小二乘擬合。

將多項(xiàng)式擬合與本文所提最小二乘法擬合進(jìn)行對(duì)比。圖5是帶內(nèi)功率信噪比為25 dB時(shí)擬合前、多項(xiàng)式擬合后及最小二乘法擬合后的相位差變化曲線對(duì)比圖，由仿真結(jié)果可知，在環(huán)境中存在較大干擾時(shí)，擬合前的相位差曲線波動(dòng)較大，測(cè)角精度較低，擬合后的相位差曲線誤差較小，精度更高。

圖5 信噪比為25 dB時(shí)擬合前及兩種方法擬合后相位差變化曲線

基線長(zhǎng)度為1 m，轉(zhuǎn)速60 r/min，對(duì)來波角度不同的S頻段信號(hào)進(jìn)行測(cè)向，帶內(nèi)功率信噪比為25 dB。將信號(hào)相位差擬合前與兩種方法分別擬合后求得的方位角、俯仰角進(jìn)行對(duì)比分析，結(jié)果如表1所示。

表1 擬合前與兩種方法擬合后不同來波角度

由表1可知，擬合后的角度偏差遠(yuǎn)小于擬合前，且最小二乘法性能優(yōu)于多項(xiàng)式擬合。

下面采用蒙特卡洛仿真實(shí)驗(yàn)對(duì)提取的相位差進(jìn)行兩種方法擬合前后的測(cè)向性能分析。帶內(nèi)功率信噪比為-5～35 dB，其余參數(shù)與圖5實(shí)驗(yàn)相同。在不同帶內(nèi)功率信噪比下分別進(jìn)行1 000次蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)，得到不同信噪比下擬合前和兩種方法擬合后測(cè)量相位差均方誤差。

圖6為測(cè)向均方誤差與帶內(nèi)功率信噪比關(guān)系圖。為了能夠更加直觀地顯示擬合前后測(cè)量相位差均方誤差關(guān)系，我們利用了semilogy函數(shù)，使用y軸的以10為基數(shù)的對(duì)數(shù)刻度和x軸的線性刻度繪制了均方誤差與信噪比關(guān)系，如圖6中小圖所示?？梢钥闯?，擬合前，帶內(nèi)功率信噪比大于15 dB時(shí)，系統(tǒng)測(cè)向性能穩(wěn)定；信噪比小于15 dB時(shí)，系統(tǒng)測(cè)向性能迅速降低，且當(dāng)環(huán)境中噪聲干擾足夠大時(shí)，測(cè)向系統(tǒng)無法進(jìn)行測(cè)向；而擬合后無論環(huán)境中是否存在強(qiáng)噪聲干擾，相位干涉儀測(cè)向性能始終保持穩(wěn)定，且最小二乘法擬合比多項(xiàng)式法擬合性能更優(yōu)，精度更高。

圖6 測(cè)向均方誤差與信噪比關(guān)系圖

采用最小二乘法對(duì)解模糊后數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合雖然能夠提高測(cè)向精度，但在實(shí)際工程應(yīng)用中，當(dāng)信噪比較低時(shí)最小二乘法擬合殘差有效值較大，如圖7所示；圖8所示為信噪比15 dB時(shí)信號(hào)相位差最小二乘法擬合殘差。

圖7 不同信噪比下最小二乘法擬合殘差有效值

圖8 15 dB時(shí)最小二乘法擬合殘差

不同信噪比下最小二乘法擬合殘差有效值和測(cè)向均方誤差對(duì)比結(jié)果如表2所示。

表2 不同信噪比下擬合殘差有效值和測(cè)向均方誤差

由表2可知測(cè)向均方誤差隨信噪比增大始終小于擬合殘差有效值，符合第2節(jié)理論分析的結(jié)果。

4 結(jié)束語

針對(duì)旋轉(zhuǎn)基線法在低信噪比時(shí)測(cè)量相位差誤差較大、傳統(tǒng)擬合方法計(jì)算量大且復(fù)雜的情況，本文采用三參數(shù)最小二乘估計(jì)法對(duì)相位差曲線參數(shù)估計(jì)后進(jìn)行正弦曲線擬合，得到均方誤差較小的相位差曲線，實(shí)現(xiàn)了在信噪比較低時(shí)高精度測(cè)向的目的。但目前本方法僅適用于單目標(biāo)情況下測(cè)向，在多目標(biāo)情況下需要對(duì)算法進(jìn)一步改進(jìn)。