面向運營結(jié)束時段可達性的地鐵末班車時刻表協(xié)調(diào)優(yōu)化

溫 芳，柏 赟，張 鑫，李寧海，陳 垚

（1.北京交通大學 交通運輸學院 綜合交通運輸大數(shù)據(jù)應(yīng)用技術(shù)交通運輸行業(yè)重點實驗室，北京 100044；2.北京市交通委員會政務(wù)服務(wù)中心（北京市船舶檢驗所），北京 100161）

地鐵時刻表協(xié)調(diào)優(yōu)化是指調(diào)整線網(wǎng)內(nèi)不同線路列車在換乘站的到發(fā)時刻，從而提高乘客換乘效率。在平常時段和高峰時段，時刻表協(xié)調(diào)優(yōu)化側(cè)重于減少乘客換乘等待時間以提升線網(wǎng)服務(wù)水平［1］；而在運營結(jié)束時段，各線路之間存在列車換乘銜接失效情形，導(dǎo)致線網(wǎng)服務(wù)可達性下降，乘客無法通過乘坐地鐵抵達目的地［2］。因此有必要從服務(wù)可達性的角度，研究地鐵末班車時刻表協(xié)調(diào)優(yōu)化問題，使盡可能多的乘客通過乘坐地鐵抵達目的地。

既有地鐵末班車時刻表協(xié)調(diào)優(yōu)化研究主要可分為2 類：第1 類側(cè)重優(yōu)化換乘站內(nèi)列車換乘銜接的成功性；第2 類則優(yōu)化線網(wǎng)OD 間乘客出行的服務(wù)可達性。在第1類換乘銜接優(yōu)化研究中，文獻［3—8］主要針對各線路末班車的時刻表展開研究，提高末班車乘客的換乘成功性、減少換乘等待時間；寧麗巧等［9］考慮末班車時段內(nèi)的所有列車，建立了以換乘等待時間和換乘失敗乘客數(shù)量最小為目標的末班車時段列車時刻表協(xié)調(diào)優(yōu)化模型。然而在地鐵線網(wǎng)內(nèi)，僅優(yōu)化列車換乘并不能保證到達目的地的乘客數(shù)量最多。

第2 類研究從OD 可達性角度優(yōu)化末班車時刻表。Chen等［10］進一步考慮了乘客在不同線路末班車與非末班車間的換乘，以在出行起點站乘坐末班車出發(fā)的乘客（末班車出發(fā)乘客）的可達乘客數(shù)量最大為目標，優(yōu)化末班車時刻表。Zhou等［11］考慮末班車出發(fā)乘客的需求，建立了基于MILP 的末班車時刻表優(yōu)化模型，并采用Cplex 求解。運營結(jié)束時段內(nèi)，不僅末班車出發(fā)乘客可能無法到達目的地，部分在出行起點站乘坐非末班車出發(fā)的乘客同樣可能面臨OD 不可達的情形。姚恩建等［12］考慮乘客在出行全過程均乘坐末班車，對線網(wǎng)OD 可達性進行優(yōu)化。Yang等［13］考慮了部分乘坐非末班車出發(fā)乘客的需求，構(gòu)建了時空網(wǎng)絡(luò)流模型，并設(shè)計了拉格朗日松弛算法，使OD 可達的乘客數(shù)量最大；但該研究考慮運營結(jié)束時段全部客流需求，可能導(dǎo)致問題規(guī)模較大，難以實現(xiàn)高效求解。溫芳等［14］建立了以運營結(jié)束時段內(nèi)各時刻下可達OD對數(shù)量總和最大為目標的數(shù)學模型，但模型未考慮不同時刻的客流需求差異。這些既有研究僅選取了運營結(jié)束時段內(nèi)部分客流需求（如末班車出發(fā)的客流）進行末班車時刻表優(yōu)化，未詳細考慮時段內(nèi)所有OD 客流需求（忽略了乘坐非末班車出發(fā)的乘客），難以保證線網(wǎng)服務(wù)可達性最大化。

鑒于此，本文以運營結(jié)束時段所有的客流需求為導(dǎo)向，建立以運營結(jié)束時段內(nèi)地鐵網(wǎng)絡(luò)OD 可達的乘客數(shù)量最大化為目標的末班車時刻表協(xié)調(diào)優(yōu)化模型；針對時段內(nèi)乘客出發(fā)時刻多、模型求解難度大的特點，設(shè)計基于預(yù)設(shè)車次的模型求解方法，求解優(yōu)化的各線路末班車時刻表。

1 問題描述

1.1 參數(shù)定義

地鐵網(wǎng)絡(luò)由線路和車站組成，線路的上、下行雙方向被視為2 條線路。定義參數(shù)：nl為線路數(shù)量；L為線路集合，L={li，i=1，2，…，nl}；ns為地鐵網(wǎng)絡(luò)上的車站數(shù)量；S為車站集合，S={se，e=1，2，…，ns}；nis為線路li的車站數(shù)量；Sli為線路li的車站集合，其中ei，1，ei，2，…，ei，ni

s分別對應(yīng)線路各站在地鐵網(wǎng)絡(luò)車站集合S中的編號。

定義t0為運營結(jié)束時段的開始時刻，并將運營結(jié)束時段劃分為間隔為δ的若干時間點，則運營結(jié)束時段可表示為集合T={t0+δ，t0+2δ，…，t0+nδδ}，nδ為時段內(nèi)間隔數(shù)量。由于同一OD 間相同時刻出發(fā)的乘客可達性相同，可視為1組客流，將起點站sp∈S和終點站sq∈S組成的OD 對記為gpq；bγ為該OD間出發(fā)時刻為t的乘客組，bγ=(sp，sq，t)；運營結(jié)束時段內(nèi)所有乘客組需求則可表示為集合B={bγ，γ=1，2，…，nb}，nb為乘客組數(shù)量；uγ為乘客組bγ的乘客數(shù)。

對乘客組bγ=(sp，sq，t)，其OD 對gpq間的有效路徑集可表示為Rγ={rγ，k，k=1，2，…，nγr}，nγr為乘客組bγ的有效路徑數(shù)量；有效路徑集Rγ中，每1個有效路徑rγ，k又均由若干個乘車段v組成，即乘車段vγ，k，m=(li，se，)表示乘客組在線路li的車站se乘車至車站下車，nγ，kv為路徑rγ，k中的乘車段數(shù)量；和分別為乘客組bγ到達乘車段vγ，k，m起點站和終點站的時刻。某OD 對gpq間的有效路徑示意圖如圖1所示。由圖1可知，乘客組bγ=(sp，sq，t)的有效路徑集Rγ包含rγ，1與rγ，2共2 條路徑，分別為rγ，1={(l1，sp，s2)，(l4，s2，sq)}和rγ，2={(l1，sp，s1)，(l2，s1，s3)，(l3，s3，sq)}。

圖1 OD對gpq間的有效路徑示意圖

運營結(jié)束時段內(nèi)，線路li上的車次可表示為集合Hi={hi，j，j=1，2，…，nih}，nih為線路li上的車次數(shù)量（列車車次按出發(fā)時刻逆序排序）；和分別為線路li上的車次hi，j在沿線車站se的出發(fā)時刻和到達時刻；當se為換乘站時，為乘客組從線路li換乘至線路的換乘走行時間。

1.2 可達性分析

可達性隨出發(fā)時刻不同而變化，其與OD 間有效路徑的連通性直接相關(guān)。在某一時刻，若OD 間存在至少1條連通路徑，則認為OD可達［15-16］。以圖1中乘客組bγ=(sp，sq，t)為例，若路徑rγ，1={(l1，sp，s2)，(l4，s2，sq)}或rγ，2={(l1，sp，s1)，(l2，s1，s3)，(l3，s3，sq)}連通，則OD 對gpq可達，乘客組bγ=(sp，sq，t)可以抵達目的地。路徑連通的充分必要條件為：乘客組在路徑中每個乘車段均能乘坐上列車。這取決于乘客在乘車段起點站的乘車富余時間，而該時間等于乘車段線路列車的出發(fā)時刻與乘客組到達站臺的時刻之差。

以路徑rγ，1={(l1，sp，s2)，(l4，s2，sq)}為例，其在s2站換乘的出行路徑如圖2所示。圖2中：對于乘車段vγ，1，1=(l1，sp，s2)，乘客組bγ=(sp，sq，t)到達sp站站臺的時刻早于線路l1上車次h1，1和車次h1，2在sp站的出發(fā)時刻，則該乘客組bγ在車次h1，1、車次h1，2的乘車富余時間大于0，乘客組將乘坐先到站的車次h1，2，其到達s2站的時刻為；對于乘車段vγ，1，2=(l4，s2，sq)，乘客組bγ抵達乘車段起點站s2站臺的時刻等于與兩線間換乘走行時間之和，再結(jié)合線路l4上各車次的發(fā)車時刻，即可判斷出乘客組在乘車段vγ，1，2=(l4，s2，sq)能否順利上車及所乘坐的車次；由此，可依次計算乘客組在所有乘車段的乘車行為，從而判斷路徑是否連通。

圖2 出行路徑示意圖

2 末班車時刻表協(xié)調(diào)優(yōu)化模型

2.1 模型假設(shè)

（1）假設(shè)運營結(jié)束時段的乘客異質(zhì)性較低、換乘走行時間波動較小，即換乘站同一換乘方向的乘客換乘走行時間相同。

（2）OD間有效路徑采取無環(huán)前K短物理路徑。

（3）假設(shè)列車運力充足，不存在乘客滯留，乘客總選擇乘坐最先到站的車次。

2.2 模型構(gòu)建

2.2.1 決策變量

本文為提高運營結(jié)束時段內(nèi)線網(wǎng)的OD 可達性，模型中以各線路末班車在各個車站的到達和發(fā)車時刻（，?li∈L，se∈Sli）為決策變量。

2.2.2 約束條件

1）末班車區(qū)間運行時間和停站時間調(diào)整范圍約束

設(shè)tΔ1和tΔ2為區(qū)間運行時間調(diào)整的最大值和最小值，tΔ3和tΔ4為停站時間調(diào)整的最大值和最小值，時間調(diào)整應(yīng)符合實際運營要求，因此末班車在各站的到發(fā)時刻應(yīng)該在調(diào)整范圍之內(nèi)，即

2）最大發(fā)車間隔時間約束

為保障乘客服務(wù)水平，末班車與次末班車在首站的發(fā)車間隔時間不大于最大發(fā)車間隔時間，即

3）最小發(fā)車間隔時間約束

為確保區(qū)間行車安全，末班車與次末班車的發(fā)車間隔時間不小于最小發(fā)車間隔時間，即

為保證車站作業(yè)安全，在同一車站，末班車到站時刻與次末班車發(fā)車時刻的間隔時間不小于最小發(fā)到間隔時間Iida，即

4）最晚收車時刻約束

為避免干擾夜間檢修，各線路終點站的收車時刻不應(yīng)晚于最晚收車時刻timax，即

2.2.3 目標函數(shù)

定義xγ為0-1 變量，表示乘客組bγ的OD 可達性，當乘客組bγ可達時取1，否則取0。模型目標函數(shù)為運營結(jié)束時段內(nèi)乘客組集合B={bγ，γ=1，2，…，nb}的可達乘客總量最大化，即

2.2.4 可達性計算

1）計算可達性

定義yγ，k為0-1 變量，表示乘客組bγ的路徑rγ，k是否連通，當路徑rγ，k連通時取1，否則取0。若OD間存在連通的有效路徑，則OD 可達，那么OD 可達的約束條件可表示為

2）計算路徑連通性

定義zγ，k，m為0-1 變量，表示乘客組bγ在路徑rγ，k中的乘車段vγ，k，m能否成功乘上列車，當乘客組成功乘上列車時取1，否則取0；M1為足夠大的正整數(shù)。若乘客組在路徑中所有乘車段均能乘坐上列車，則路徑rγ，k連通，那么路徑連通的約束條件為

3）計算乘車段能否乘車

定義αγ，k，m，j為0-1 變量，表示乘客組bγ在路徑rγ，k的乘車段vγ，k，m（位于線路li）是否乘坐車次hi，j，若乘坐線路li上任一車次hi，j，則αγ，k，m，j=1，zγ，k，m=1；若乘客組無法乘上任一車次，則zγ，k，m=0。當有多列列車可供選擇時，乘客組只可選擇其中某一列車。為最大化乘客可達性，最先到站車次的αγ，k，m，j值應(yīng)為1，那么乘車段能否乘車的約束條件為

4）計算乘車段乘坐車次

變量αγ，k，m，j的取值與乘客組乘坐車次hi，j的富余時間有關(guān)。對于乘車段vγ，k，m=(li，se，se′)，乘客組bγ對車次hi，j的乘車富余時間等于車次hi，j在se站出發(fā)時刻與乘客組bγ到達該乘車段起點站se的時刻之差。若乘車富余時間小于0，則αγ，k，m，j=0；否則αγ，k，m，j＞0，表示乘客組可選擇乘坐車次hi，j，那么乘客組在乘車段能否乘坐某輛列車的約束條件為

5）計算乘客組在乘車段起點站到達時刻

式（12）中，若vγ，k，m為路徑第1個乘車段（m=1），則乘客組bγ到達乘車段起點站站臺時刻等于乘客組bγ=(spsqt)的出發(fā)時刻t；若vγ，k，m=(li，se，se″)為后續(xù)乘車段（m＞1），則乘客組到達乘車段vγ，k，m起點站se站臺時刻為乘客組在上一乘車段vγ，k，m-1=(li′，se′，se)終點站se到達時刻與換乘走行時間之和。因此，乘客組在乘車段起點站到達時刻的計算式為

6）計算乘客組在乘車段終點站到達時刻

式（13）中，乘客組在乘車段vγ，k，m-1=(li′，se′，se)終點站se的到達時刻由乘坐的車次決定［10］。若乘客組在乘車段vγ，k，m-1=(li′，se′，se)乘坐的車次為hi′，j，即αγ，k，m-1，j=1，則有若乘客組無法乘上線路li′任一列車，即則將其到站時間設(shè)為1個大的正整數(shù)M2（M2?M1）。因此，乘客組在乘車段終點站到達時刻計算式為

3 求解方法

建立的末班車時刻表協(xié)調(diào)優(yōu)化模型為混合整數(shù)非線性規(guī)劃模型，其決策變量和約束條件數(shù)量主要受乘客組數(shù)量和各線路車次集合Hli規(guī)模的影響。為判斷乘客組的乘車車次，對于乘客組bγ的任意有效路徑rγ，k，其每一乘車段vγ，k，m均需考慮|Hli|個變量αγ，k，m，j，這導(dǎo)致模型包含大量0-1 變量，采用商業(yè)求解器求解的時間過長。

為縮減變量數(shù)量，提出1 種基于預(yù)設(shè)車次的求解方法。預(yù)設(shè)車次指的是根據(jù)乘客組出發(fā)時間、非末班車時刻表信息以及末班車時刻表調(diào)整范圍，估計乘客組在出行路徑中可以選擇的最早車次。若出行路徑中乘客組無需乘坐末班車，則末班車時刻表的調(diào)整后乘客組仍可抵達目的地，算法將這部分乘客組篩除；若乘客組可選車次為末班車，則通過判斷乘客組是否能夠乘坐上該末班車確定其OD 可達性，使模型線性化，從而利用商業(yè)求解器對時刻表優(yōu)化模型快速求解。

3.1 乘車段車次的預(yù)設(shè)方法

乘車段的預(yù)設(shè)車次與乘車段對應(yīng)線路時刻表和乘客組到達乘車段起點站的時刻有關(guān)。針對乘客組bγ=(sp，sq，t)，以非末班車時刻表、末班車時刻表約束和路徑rγ，k為輸入，依次估算該乘客組在路徑rγ，k中各乘車段vγ，k，m的預(yù)設(shè)車次jγ，k，m。

1）步驟1

給定路徑rγ，k中乘車段vγ，k，m=(li，se，se′)和乘客組到達線路li上se站的時刻，判斷該乘車段的預(yù)設(shè)車次jγ，k，m：若乘客組到達時刻早于線路li非末班車在se站發(fā)車時刻，即存在列車hi，j=則乘客組乘坐最早到站的非末班車，預(yù)設(shè)車次為否則，乘客組在該乘車段只能選擇末班車，預(yù)設(shè)車次為末班車jγ，k，m=1。對rγ，k的第1 個乘車段vγ，k，1，等于乘客組的出發(fā)時刻t；對后續(xù)乘車段，等于乘客組在上一乘車段終點站的到達時刻與換乘走行時間之和。

2）步驟2

基于乘車段vγ，k，m=(li，se，se′)的預(yù)設(shè)車次jγ，k，m，估算乘客組到達乘車段終點站se′的時刻：若乘客組乘坐非末班車（jγ，k，m≥2），則乘客組到達se′時刻為該列車到站時刻，即若乘坐末班車（jγ，k，m=1），由于末班車在各站到發(fā)時刻為決策變量，是1個非固定值，因此以該末班車在該站的可行最晚到達時刻作為乘客組的預(yù)計到達時刻。

3）步驟3

判斷vγ，k，m是否為rγ，k中最后1 個乘車段，即是否有m=nγ，kv，若是，則輸出rγ，k中各乘車段的預(yù)設(shè)車次jγ，k，m，當前路徑rγ，k的預(yù)設(shè)車次計算結(jié)束；否則計算下一乘車段vγ，k，m+1的預(yù)設(shè)車次，轉(zhuǎn)步驟1。

3.2 基于預(yù)設(shè)車次的重構(gòu)模型

在給定乘車段預(yù)設(shè)車次之后，假設(shè)乘客組在出行路徑中只選擇預(yù)設(shè)車次，建立末班車時刻表協(xié)調(diào)優(yōu)化模型（后簡稱為原始模型）的重構(gòu)模型。

由于重構(gòu)模型僅考慮乘客組bγ能否乘上乘車段的預(yù)設(shè)車次jγ，k，m，因此可在無須考慮約束條件式（11）的情況下，將約束條件式（10）重構(gòu)為

對于約束條件式（12），可將乘客組bγ對預(yù)設(shè)車次jγ，k，m的乘車富余時間約束重構(gòu)為

與原始模型相似，對于路徑rγ，k中第1 個乘車段，等于乘客組的出發(fā)時刻t；對于后續(xù)乘車段vγ，k，m=(li，se，se″)，等于乘客組在上一乘車段vγ，k，m-1=(li′，se′，se)到達se站的時刻與換乘走行時間之和，為線路li′的預(yù)設(shè)車次j(vγ，k，m-1)在se站到達時刻。乘客組在乘車段起點站和終點站的到達時刻的計算式可表示為線性公約束（17）和式（18），即原模型約束條件式（13）和式（14）分別重構(gòu)為

其余約束條件不變，得到重構(gòu)模型為

式（1）—式（6），式（8）—式（9），式（15）—式（18）

與原始模型相比，重構(gòu)模型中關(guān)于車次的決策變量及約束規(guī)模大幅度減小，且重構(gòu)模型為線性模型，可采用Cplex軟件快速求解。

需要說明的是，由于模型僅調(diào)整各線路末班車時刻表，出行過程中乘坐非末班車即可抵達終點站的乘客組在時刻表調(diào)整后仍然可達，其可達性不受末班車時刻表調(diào)整的影響。對于出行過程中需乘坐末班車的乘客組，其可達性則受末班車時刻表影響。為提高求解效率，首先利用預(yù)設(shè)方法判斷運營結(jié)束時段內(nèi)所有乘客組各路徑乘車段的預(yù)設(shè)車次；根據(jù)預(yù)設(shè)車次，從運營結(jié)束時段所有客流需求B中篩選出行過程中必需乘坐末班車的乘客組，其集合用B′表示，即存在bγ∈B′，且其路徑rγ，k∈Rγ均存在jγ，k，m=1的乘車段。重構(gòu)模型僅以客流集合B′作為輸入，既可確保考慮運營結(jié)束時段所有需乘坐末班車乘客組的需求，又可減小問題的求解規(guī)模。

4 案例分析

以武漢地鐵為背景，將地鐵線網(wǎng)中上、下行視為2 條線路，并設(shè)置關(guān)鍵車站48 個，包括換乘站、線路首末站以及兩相鄰換乘站間客流量最大的車站，得到簡化后的線網(wǎng)圖如圖3所示。圖中：綠色和藍色箭頭分別表示線路的上行方向和下行方向；圓點表示線網(wǎng)中的關(guān)鍵車站。2 個關(guān)鍵車站組成關(guān)鍵OD（共2 256對），OD間考慮3條有效路徑。參數(shù)設(shè)置：運營結(jié)束時段為21：30 至24：00；初始時刻表中各車站的停站時間在30～60 s；區(qū)間運行時間在1～4 min；車站最小發(fā)車間隔、最小發(fā)到間隔均為2 min；線路首站末班車與次末班車最大發(fā)車間隔為10 min；線路收車時刻可延后10 min。

圖3 線網(wǎng)及關(guān)鍵車站示意圖

4.1 重構(gòu)模型與原始模型的求解效率對比

分別以10，5 和1 min 為間隔時間δ劃分運營結(jié)束時段，以出行過程中必需乘坐末班車的乘客組集合B′為輸入，采用Cplex 軟件測試在不同間隔時間的客流數(shù)據(jù)下原始模型與重構(gòu)模型的求解效果，結(jié)果見表1。表中：“預(yù)設(shè)可達人數(shù)”指在求解的時刻表下乘坐預(yù)設(shè)車次出行的可達乘客數(shù)量，即重構(gòu)模型的目標函數(shù)值（原始模型則無這一結(jié)果）；“準確可達人數(shù)”包含了實際未選擇預(yù)設(shè)車次而抵達目的地的乘客（以解得的時刻表作為輸入，通過原始模型中式（7）—式（14）計算得到）；“上限”指Cplex求解的上界值；“相對差”指準確可達人數(shù)與上限的差值占上限的百分比。

表1 不同間隔時間的客流數(shù)據(jù)下原始模型與重構(gòu)模型求解結(jié)果

由表1可知：重構(gòu)模型的預(yù)設(shè)可達人數(shù)與準確可達人數(shù)的差值僅為44 人，這是由于預(yù)設(shè)車次的方法偏保守，其假設(shè)乘客在出行路徑中只選擇預(yù)設(shè)車次，但實際中乘客選擇的車次可能與預(yù)設(shè)車次存在偏差，這也說明預(yù)設(shè)方法對乘客在乘車段乘坐車次的估計準確度較高，模型計算誤差較小；隨著間隔時間的減小，問題規(guī)模和求解難度增大，2 種模型的相對差增大，求解時間也變長；在客流數(shù)據(jù)的間隔時間越小時，重構(gòu)模型求解速度快的優(yōu)勢更加明顯。因此，與原始模型相比，重構(gòu)模型能夠在相對更短的時間內(nèi)求解到趨近最優(yōu)的優(yōu)質(zhì)解。

4.2 優(yōu)化結(jié)果

以時間間隔為1 min 的客流數(shù)據(jù)為輸入，以出行過程中必需乘坐末班車的乘客組集合B′為輸入，通過重構(gòu)模型，對末班車時刻表進行優(yōu)化。優(yōu)化前、后的線網(wǎng)可達OD 比例隨時間變化過程如圖4所示，運營結(jié)束時段所有客流需求B的可達乘客數(shù)量變化過程如圖5所示，乘客平均旅行時間變化見表2。由于部分OD 乘客不能到達終點站，不可達乘客的旅行時間懲罰值設(shè)為100 min。

圖4 優(yōu)化前后線網(wǎng)可達OD比例變化過程

圖5 線網(wǎng)可達乘客數(shù)量變化過程

表2 優(yōu)化前后可達乘客比例和平均旅行時間

由圖4和圖5可知：運營結(jié)束時段內(nèi)優(yōu)化后的可達OD 比例和可達乘客數(shù)量較優(yōu)化前均有一定的提高；可達OD 比例在時段22：31—22：56 內(nèi)增幅較大，在22：32時增大了15.6%。

由表2可知：可達乘客比例在運營結(jié)束時段需乘坐末班車客流B′的由32.3%增加至42.3%，提高了10%；可達乘客的平均旅行時間增加了5.2 min，原因主要是部分線路末班車的發(fā)車時刻有所推遲，這意味著末班車時刻表優(yōu)化使得部分優(yōu)化前不可達的乘客到達目的地，但同時部分乘客的旅行時間也有小幅增加；綜合考慮B′中的所有乘客，優(yōu)化后平均總旅行時間由原始的79.2 min 下降至76.7 min，這意味著乘客總體服務(wù)水平有所提升。

綜上所述，優(yōu)化后的時刻表雖然小幅增長了部分優(yōu)化前可達乘客的旅行時間，但有效提高了運營結(jié)束時段的線網(wǎng)可達OD 比例和可達乘客數(shù)量，提升了線網(wǎng)整體服務(wù)水平。

4.3 考慮時段整體客流需求的必要性驗證

既有研究僅考慮了乘坐末班車出發(fā)的乘客組集合B″，進行末班車時刻表優(yōu)化。為驗證本文模型考慮運營結(jié)束時段內(nèi)整體客流需求的必要性，設(shè)置以乘坐末班車出發(fā)的乘客組集合B″為輸入客流的對比案例，和以需乘坐末班車出行的乘客組集合B′為輸入客流的本文案例，對兩者求解結(jié)果進行對比分析。

設(shè)兩者客流數(shù)據(jù)的時間間隔均為1 min，通過構(gòu)建重構(gòu)模型并采用Cplex 求解后的結(jié)果見表3。由表3可知：在對比案例和本文案例中，客流B″可達乘客比例的增幅分別為24.9%和24.1%，客流B′可達乘客比例的增幅分別為28.0%和31.0%；相比于對比案例，本文案例對客流B″可達乘客數(shù)量的提升效果略低，但對客流B′可達乘客數(shù)量的增幅高出3.0%，能夠使更多的乘客乘坐末班車抵達目的地。因此，末班車時刻優(yōu)化研究中有必要考慮運營結(jié)束時段內(nèi)所有的客流需求。

表3 優(yōu)化后可達乘客數(shù)量和增幅對比

4.4 最晚收車時刻靈敏度分析

各線路最晚收車時刻約束了末班車在各車站到發(fā)時刻的調(diào)整范圍，從而對線網(wǎng)服務(wù)可達性有較大影響。本文將各線路最晚收車時刻tmaxi分別設(shè)置為相對原始收車時刻延遲0，5，10 和15 min，客流數(shù)據(jù)的時間間隔取1 min，優(yōu)化客流B′的可達乘客比例，分析最晚收車時刻tmaxi對可達性優(yōu)化效果的影響，結(jié)果如圖6所示。

圖6 最晚收車時刻延遲對可達乘客比例的影響

由圖6可知：在不延遲各線路收車時刻時，僅通過模型協(xié)調(diào)優(yōu)化各線路末班車時刻表，使可達乘客比例增大了6.5%；隨著最晚收車時刻的延遲，需乘坐末班車的客流B′的可達乘客比例逐漸增大，當延遲5 min 時增大了3.4%；當收車時刻可延遲10 和15 min 時，可達乘客比例幾乎沒有進一步提高。這說明：適當?shù)匮舆t線路收車時刻可增大線網(wǎng)可達乘客比例；由于客流需求減小，收車時刻延遲對可達比例的提升存在瓶頸。因此，運營公司可通過靈敏度分析確定合理的收車時刻，實現(xiàn)服務(wù)可達性最大化并避免收車時刻過晚。

5 結(jié) 論

（1）從提高運營結(jié)束時段可達性的角度出發(fā)，建立了末班車時刻表協(xié)調(diào)優(yōu)化模型。針對運營結(jié)束時段內(nèi)乘客組和車次數(shù)量多導(dǎo)致模型難以求解的問題，提出基于預(yù)設(shè)車次的求解方法，將原始模型重構(gòu)為決策變量更少的混合整數(shù)線性規(guī)劃模型，可實現(xiàn)快速求解。

（2）相對于原始模型，重構(gòu)模型及求解方法能夠在相對更短的時間內(nèi)求解到優(yōu)質(zhì)解，且誤差較??；在客流數(shù)據(jù)的間隔時間越小時，其求解速度快的優(yōu)勢更加明顯；優(yōu)化后，運營結(jié)束時段內(nèi)出行過程中需乘坐末班車乘客的可達比例增大了10%，驗證了本文模型的有效性。

（3）相較于僅考慮末班車出發(fā)乘客的既有研究，案例中運營結(jié)束時段出行過程中乘坐末班車乘客的可達數(shù)量增幅高3.0%，表明末班車時刻表優(yōu)化研究有必要考慮運營結(jié)束時段整體客流需求。

（4）適當?shù)匮舆t線路收車時刻可增大線網(wǎng)可達乘客比例，但由于客流需求減小，收車時刻延遲對可達比例的提升存在瓶頸。

（5）本文通過調(diào)整末班車時刻表來優(yōu)化線網(wǎng)可達性，后續(xù)研究可考慮協(xié)調(diào)優(yōu)化運營結(jié)束時段所有車次時刻表，擴大模型解空間，達到更好的優(yōu)化效果。