考慮軸力作用下的型鋼-混凝土組合梁抗彎承載力計(jì)算

許綺炎 劉全林,2 畢平均

(1.上海強(qiáng)勁地基工程股份有限公司, 上海 201806； 2.同濟(jì)大學(xué)土木工程學(xué)院, 上海 200092)

0 引 言

目前，關(guān)于鋼-混凝土組合梁的承載力計(jì)算，相關(guān)規(guī)范[1-2]均只給出了在彎矩作用下的承載力計(jì)算公式。盡管規(guī)范的計(jì)算公式能滿足主要承受彎矩作用的建筑、橋梁結(jié)構(gòu)等大部分工程的承載力計(jì)算需求，但對于某些特殊工程，如基坑工程中的鋼支撐體系，其圍檁一般是由H型鋼和鋼筋混凝土梁通過地腳螺栓連接而成的組合梁[3]。它不僅受到坑外土壓力的作用，還受到角撐處傳遞來的較大軸力，屬于壓(拉)彎構(gòu)件，如圖1所示。

a—設(shè)計(jì)方案；b—實(shí)景照片。圖1 H型鋼-鋼筋混凝土組合梁Fig.1 H-shaped steel reinfoned reinforced concrete composite beam

針對上述問題，可借鑒預(yù)應(yīng)力組合梁結(jié)構(gòu)承載力計(jì)算原理的方法。把體外預(yù)應(yīng)力當(dāng)作是軸壓力，聶建國等[4-5]以力法原理為基礎(chǔ)，采用塑性鉸理論，建立了預(yù)應(yīng)力連續(xù)組合梁在對稱集中荷載作用下負(fù)彎矩區(qū)和正彎矩區(qū)極限荷載的計(jì)算公式。上述文獻(xiàn)的計(jì)算公式均是為解決傳統(tǒng)預(yù)應(yīng)力組合梁的受彎承載力而給出的，即假設(shè)混凝土梁是一塊薄板，因此無需考慮塑性中和軸位于組合梁所有位置的情況，比如負(fù)彎矩區(qū)一般不考慮塑性中和軸位于混凝土梁內(nèi)的情況。

前人文獻(xiàn)無法完全解決本文提出的特殊組合梁結(jié)構(gòu)的承載力計(jì)算問題，因?yàn)榇私M合梁中的混凝土梁高度一般較大(圖1)，不同軸力下塑性中和軸可能位于組合梁的任意位置。因此，本文將基于若干假定，推導(dǎo)出考慮軸力作用下的組合梁抗彎承載力計(jì)算公式，使其具有普遍適用性，并給出試驗(yàn)驗(yàn)證。同時(shí)對承載力計(jì)算公式進(jìn)行歸納、統(tǒng)一，得出幾點(diǎn)有益結(jié)論。

1 承載力計(jì)算基本假定

我國相關(guān)規(guī)范[1-2]對于組合梁的抗彎承載力均采用了塑性設(shè)計(jì)理論。因此，本文將采用簡單塑性理論推導(dǎo)考慮軸力作用下的組合梁抗彎承載力計(jì)算公式。在推導(dǎo)過程中，作如下假定：

1)混凝土梁與鋼梁有可靠的連接，能有效地傳遞兩者之間的剪力；

2)混凝土達(dá)到抗壓強(qiáng)度設(shè)計(jì)值，且不考慮抗拉作用；

3)鋼梁受壓、受拉均達(dá)到相應(yīng)強(qiáng)度設(shè)計(jì)值；

4)正彎矩區(qū)，不考慮混凝土梁內(nèi)縱向主筋對截面承載力的貢獻(xiàn)；

5)負(fù)彎矩區(qū)，混凝土梁內(nèi)的縱向鋼筋拉應(yīng)力達(dá)到抗拉強(qiáng)度設(shè)計(jì)值。

2 抗彎承載力計(jì)算公式推導(dǎo)

計(jì)算組合梁的抗彎承載力時(shí)，需要先確定塑性中和軸的位置。軸力會(huì)影響塑性中和軸的位置，因此，計(jì)算組合梁的抗彎承載力時(shí)需要先假定一個(gè)軸力值，以判斷塑性中和軸的位置，然后根據(jù)上述假定及力的平衡條件等知識(shí)[6]求得組合梁的抗彎承載力。

以下推導(dǎo)中，均假設(shè)軸力正值時(shí)為壓力(+)，負(fù)值時(shí)為拉力(-)。

2.1 正彎矩作用區(qū)抗彎承載力計(jì)算

2.1.1 情況一：塑性中和軸位于混凝土梁內(nèi)

當(dāng)Af≤bhcfc-N時(shí)，塑性中和軸位于混凝土梁內(nèi)。由圖2可知，鋼梁全部受拉，并達(dá)到抗拉強(qiáng)度設(shè)計(jì)值，混凝土梁僅有一部分受壓，并達(dá)到抗壓強(qiáng)度設(shè)計(jì)值。由力的平衡條件可得：

圖2 正彎矩區(qū)的組合梁截面及應(yīng)力分布(一)Fig.2 Cross section and stress distribution of composite beam in positive bending moment area (1)

N+Af-bxfc=0

(1)

其中x=(Af+N)/(bfc)

(1a)

式中：N為軸力設(shè)計(jì)值；b為混凝土梁寬度；fc為混凝土強(qiáng)度設(shè)計(jì)值；A、f為鋼梁截面積、強(qiáng)度設(shè)計(jì)值；x為混凝土梁受壓區(qū)高度。

(2)

式中：M+為正彎矩設(shè)計(jì)值；hc為高度；y0為軸力作用點(diǎn)至鋼梁與混凝土梁交界處的距離，本文假設(shè)位于混凝土梁內(nèi)為正值，位于鋼梁內(nèi)為負(fù)值；y1為混凝土梁受壓區(qū)截面應(yīng)力的合力點(diǎn)至鋼梁與混凝土梁交界處的距離；y2為鋼梁截面應(yīng)力的合力點(diǎn)至鋼梁與混凝土梁交界處的距離。

2.1.2 情況二：塑性中和軸位于鋼梁內(nèi)

當(dāng)Af>bhcfc-N時(shí)，塑性中和軸位于鋼梁內(nèi)。由圖3可知，混凝土梁全部受壓，并達(dá)到抗壓強(qiáng)度設(shè)計(jì)值，鋼梁部分受壓、部分受拉，并均達(dá)到相應(yīng)強(qiáng)度設(shè)計(jì)值。由力的平衡條件可得

圖3 正彎矩區(qū)的組合梁截面及應(yīng)力分布(二)Fig.3 Cross section and stress distribution of composite beam in positive bending moment area (2)

N+(A-Ac)f-Acf-bhcfc=0

(3)

其中Ac=0.5(Af-bhcfc+N)/f

(3a)

式中：Ac為鋼梁受壓區(qū)截面面積。

(4)

式中：y3為鋼梁受拉區(qū)截面應(yīng)力的合力點(diǎn)至鋼梁與混凝土梁交界處的距離；y4為鋼梁受壓區(qū)截面應(yīng)力的合力點(diǎn)至鋼梁與混凝土梁交界處的距離。

2.2 負(fù)彎矩作用區(qū)抗彎承載力計(jì)算

2.2.1 情況三：塑性中和軸位于鋼梁內(nèi)

當(dāng)Astfst≤Af-N時(shí)，塑性中和軸位于鋼梁內(nèi)。由圖4可知，混凝土梁縱向鋼筋達(dá)到抗拉強(qiáng)度設(shè)計(jì)值，鋼梁部分受壓、部分受拉，均達(dá)到相應(yīng)強(qiáng)度設(shè)計(jì)值。由力的平衡條件可得：

圖4 負(fù)彎矩區(qū)的組合梁截面及應(yīng)力分布(一)Fig.4 Cross section and stress distribution of composite beam in negative bending moment area (1)

Astfst+(A-Ac)f+N-Acf=0

(5)

其中Ac=0.5(Astfst+Af+N)/f

(5a)

式中：fst為混凝土梁內(nèi)縱向鋼筋的抗拉強(qiáng)度設(shè)計(jì)值；Ast為混凝土梁內(nèi)縱向鋼筋截面面積。

(6)

式中：M-為負(fù)彎矩設(shè)計(jì)值；y5為縱向鋼筋合力中心至鋼梁與混凝土梁交界處的距離。

2.2.2 情況四：塑性中和軸位于混凝土梁內(nèi)

當(dāng)Astfst>Af-N時(shí)，塑性中和軸位于混凝土梁內(nèi)。由圖5可知，混凝土梁縱向鋼筋達(dá)到抗拉強(qiáng)度設(shè)計(jì)值，混凝土部分受壓，鋼梁全部受壓，并達(dá)到相應(yīng)強(qiáng)度設(shè)計(jì)值。由力的平衡條件可得：

圖5 負(fù)彎矩區(qū)的組合梁截面及應(yīng)力分布(二)Fig.5 Cross section and stress distribution of composite beam in negative bending moment area (2)

Astfst+N-Af-bxfc=0

(7)

其中x=(Astfst+N-Af)/(bfc)

(7a)

(8)

3 試驗(yàn)驗(yàn)證

為驗(yàn)證本文承載力計(jì)算公式的可靠性，取文獻(xiàn)[7]的預(yù)應(yīng)力組合梁抗彎試驗(yàn)進(jìn)行分析。加載系統(tǒng)、試件截面及尺寸如圖6所示，其中，中支座鋼墊板寬度300 mm，厚度20 mm，采用兩個(gè)簡支點(diǎn)模擬。鋼梁采用箱梁，在中支點(diǎn)處5.5 m范圍內(nèi)的混凝土采用施加了預(yù)應(yīng)力的混凝土預(yù)制板，其余部分則在鋼梁上現(xiàn)澆混凝土，鋼梁和混凝土板采用群釘連接件連接?；炷涟骞舶?根φ15.24預(yù)應(yīng)力鋼絞線，24根φ8的普通螺紋鋼筋，單根鋼絞線張拉應(yīng)力1 166 MPa，混凝土、鋼板、鋼筋的材料特性詳見文獻(xiàn)[7]。

a—加載系統(tǒng)；b—組合梁截面。圖6 試驗(yàn)試件 mmFig.6 Experiment specimens

試件在兩端采用輥輪支撐，在試件跨中采用液壓千斤頂分級(jí)加載。加載過程中連續(xù)采集試驗(yàn)數(shù)據(jù)，鋼梁各位置的豎向位移以及鋼與混凝土之間的相對滑移都用位移計(jì)測得，鋼梁翼緣板、腹板和底板各截面處的應(yīng)變用電阻式應(yīng)變計(jì)測得?；炷涟屙斆娴膽?yīng)變用大標(biāo)距應(yīng)變計(jì)測得，混凝土中鋼筋的應(yīng)變用電阻式應(yīng)變計(jì)測得。

3.1 抗彎承載力對比

采用上述承載力公式計(jì)算負(fù)彎矩區(qū)的極限抗彎承載力，公式中軸力取鋼絞線預(yù)應(yīng)力，作用點(diǎn)取鋼絞線位置，鋼板、鋼筋強(qiáng)度均采用極限強(qiáng)度。由于鋼絞線應(yīng)力較大，根據(jù)文獻(xiàn)[8-9]的試驗(yàn)研究，可不考慮加載過程中鋼絞線的應(yīng)力增量。根據(jù)式(5)～(6)，求得組合梁的負(fù)彎矩抗彎承載力為1 636.9 kN·m。

對加載系統(tǒng)進(jìn)行加壓，當(dāng)荷載為550 kN時(shí)，支點(diǎn)處混凝土板內(nèi)鋼筋達(dá)到了屈服狀態(tài)；在荷載為709 kN時(shí)，中支點(diǎn)鋼梁上翼緣屈服；當(dāng)荷載達(dá)到800 kN時(shí)，中支點(diǎn)處鋼梁腹板及底板出現(xiàn)輕微的屈曲變形；當(dāng)荷載達(dá)到極限荷載1 032 kN時(shí)，中支點(diǎn)處鋼腹板和底板已經(jīng)大范圍屈曲，中支點(diǎn)截面喪失承載能力，但剪力釘都處于彈性狀態(tài)，能夠滿足假定中鋼梁與混凝土梁的抗剪要求。按照多跨連續(xù)梁考慮，根據(jù)結(jié)構(gòu)力學(xué)知識(shí)，可求得試件極限狀態(tài)下中支點(diǎn)的負(fù)彎矩為1 690.9 kN·m，與上述理論值誤差在4%以內(nèi)，兩者相當(dāng)吻合。

3.2 塑性中和軸位置對比

根據(jù)上述試驗(yàn)參數(shù)及本文2.2.1節(jié)計(jì)算公式，易求得組合梁塑性中和軸在箱梁腹板內(nèi)及箱梁受壓區(qū)高度。試驗(yàn)在箱梁翼緣板、腹板和底板各截面處采用電阻式應(yīng)變計(jì)測量應(yīng)變。選取荷載較大時(shí)跨中位置箱梁截面的應(yīng)變曲線，如圖7所示。由圖可知，塑性中和軸的理論值位置和實(shí)測值較為接近，吻合較好。

— P=824 kN; — P=709 kN; — P=643 kN; — P=528 kN; ----塑性中和軸； 塑性中和軸(不考慮預(yù)加軸力)。圖7 鋼梁截面應(yīng)變分布Fig.7 Steel beam section strain distribution

通過對比抗彎承載力、塑性中和軸位置的理論值和試驗(yàn)結(jié)果，兩者誤差較小，因此可認(rèn)為本文提出的承載力計(jì)算公式是可靠的。

4 計(jì)算公式的歸納、統(tǒng)一及應(yīng)用

根據(jù)上述公式可知，塑性中和軸位置受軸力影響，而組合梁的抗彎承載力又受塑性中和軸、軸力及軸力作用點(diǎn)位置影響。在組合梁其他參數(shù)不變時(shí)，下文將分析軸力及其作用點(diǎn)對承載力的影響，并用于實(shí)際工程中。

4.1 正彎矩區(qū)抗彎承載力分析

4.1.1 情況一：塑性中和軸位于混凝土梁內(nèi)

(9)

則結(jié)合式(2)、式(9)可得：

-bfcx2/2+bfc(hc-y0)x+C1=

(9a)

式中：hs為鋼梁的高度；Ci為與自變量無關(guān)的常數(shù)且為正數(shù)。

當(dāng)x=hc-y0時(shí)，此時(shí)塑性中和軸和軸力作用點(diǎn)重合，正彎矩承載力最大，定義抗彎承載力達(dá)到最大時(shí)的軸力值為最優(yōu)軸力值：

Nop=bfc(hc-y0)-Af≤bhcfc﹣Af

(10)

4.1.2 情況二：塑性中和軸位于鋼梁內(nèi)

圖8 簡化后的組合梁示意Fig.8 The simplified schematic diagram of composite beam

(11)

則結(jié)合式(4)、式(11)可得：

bstft/2-(2bstf+bhcfc-Af)y0=

-bsft2-2bsfy0t+C4=

-bsf(t+y0)2+C5

(11a)

當(dāng)t=-y0時(shí)，此時(shí)塑性中和軸和軸力作用點(diǎn)重合，抗彎承載力最大。由式(11)可得，此時(shí)最優(yōu)軸力值為：

Nop=-2bsfy0+bhcfc-Af≥bhcfc-Af

(12)

4.2 負(fù)彎矩區(qū)抗彎承載力分析

4.2.1 情況三：塑性中和軸位于鋼梁內(nèi)

(13)

當(dāng)t=hs+y0時(shí)，此時(shí)塑性中和軸和軸力作用點(diǎn)重合，負(fù)彎矩承載力最大，最優(yōu)軸力值為：

Nop=2bsfy0+Af-Astfst≤Af-Astfst

(14)

4.2.2 情況四：塑性中和軸位于混凝土梁內(nèi)

Mu-(x)=-bfc/2(x-y0)2+C3

(15)

當(dāng)x=y0時(shí)，此時(shí)塑性中和軸和軸力作用點(diǎn)重合，負(fù)彎矩承載力最大，最優(yōu)軸力值為：

Nop=bfcy0+Af-Astfst≥Af-Astfst

(16)

4.3 統(tǒng)一表達(dá)式

式(9a)、(11a)、(13)、(15)可統(tǒng)一為式(17a)、(17b)。由公式可知，當(dāng)組合梁其他參數(shù)不變時(shí)，Mu-δ、Mu-N是由一條或多條二次拋物線組成的曲線，且拋物線均開口向下。δ越小，承載力越大，當(dāng)δ等于零時(shí)，此時(shí)塑性中和軸與軸力作用點(diǎn)重合，N=Nop，承載力達(dá)到最大。

(17a)

(17b)

式中：δ為塑性中和軸、軸力作用點(diǎn)之間的距離。

在實(shí)際工程中，鋼梁截面一般是采用寬翼緣薄腹板的H型鋼、工字鋼、箱梁等鋼結(jié)構(gòu)，截面寬度是變化的，因此在腹板和翼緣板交界處曲線的形狀會(huì)發(fā)生變化。另外，材料強(qiáng)度的變化處也會(huì)引起曲線形狀的變化。

4.4 抗彎承載力曲線曲率

曲線的彎曲程度可用曲率K表征，由曲率的定義[10]得:

(18)

則不同軸力下抗彎承載力曲線的曲率：

(19)

4.5 理論應(yīng)用

上述承載力計(jì)算公式的統(tǒng)一表達(dá)式可用于解釋預(yù)應(yīng)力鋼混凝土組合梁提高承載力的機(jī)理，如下：

對正彎矩區(qū)，由式(1a)、(3a)可知，當(dāng)在鋼梁底施加一個(gè)預(yù)應(yīng)力(假設(shè)作用點(diǎn)位置為梁底端)，軸力N>0，則塑性中和軸往組合梁底移動(dòng)，δ變小，由式(17a)可得承載力變大。

對負(fù)彎矩區(qū)，由式(5a)、(7a)可知，當(dāng)在混凝土梁施加一個(gè)預(yù)應(yīng)力(假設(shè)作用點(diǎn)位置為梁頂端)，軸力N>0，則塑性中和軸往組合梁頂移動(dòng)，δ變小，由式(17a)可得承載力變大。

5 算 例

5.1 鋼-混凝土組合梁參數(shù)

組合梁截面情況(圖9)如下：混凝土梁截面尺寸為b×hc=600 mm×600 mm，混凝土標(biāo)號(hào)為C30，混凝土梁上側(cè)配置縱向鋼筋4E25(三級(jí)鋼)，鋼筋保護(hù)層厚度取30 mm，其余配筋信息滿足構(gòu)造要求即可。鋼梁采用H400×400×13×21型鋼，鋼材采用Q345鋼，計(jì)算不同軸力時(shí)的抗彎承載力。

圖9 組合梁截面尺寸 mmFig.9 Section sizes of composite beam

當(dāng)軸力作用點(diǎn)難以確定時(shí)，根據(jù)塑性理論，材料強(qiáng)度充分發(fā)揮，可取鋼梁和混凝土梁的軸力分擔(dān)比為兩者的材料抗壓承載力之比，以此求得軸力的作用點(diǎn)。易求得軸力作用點(diǎn)在混凝土梁內(nèi)，且距離O點(diǎn)24.2 mm。

5.2 計(jì)算結(jié)果

根據(jù)上述公式，Mu-δ-N曲線如圖10、圖11所示，曲率變化如表1、表2所示。

表1 正彎矩區(qū)不同軸力下的塑性中和軸位置Table 1 The position of plastic heautral axis under different axial forces in positive bending moment area

表2 負(fù)彎矩區(qū)不同軸力下的曲率Table 2 The curvatures under different axial forces in negative bending moment area

圖10 正彎矩承載力與軸力、距離δ的關(guān)系曲線Fig.10 Relation of positive bending capacity, axial force and distance δ

圖11 負(fù)彎矩承載力與軸力、距離δ的關(guān)系曲線Fig.11 Relation of negative bending capacity, axial force and distance δ

隨著軸力的增加，δ先變小至零，承載力也相應(yīng)增大到最大值；當(dāng)δ從零開始增大后，承載力急劇下降。

6 結(jié)束語

本文基于塑性設(shè)計(jì)理論及若干假定，推導(dǎo)得出考慮軸力作用下的型鋼-混凝土組合梁的抗彎承載力計(jì)算公式，公式具有普遍適用性，并對公式進(jìn)行了歸納、統(tǒng)一，有如下結(jié)論：

1)通過與試驗(yàn)結(jié)果對比，理論值和試驗(yàn)結(jié)果吻合較好，驗(yàn)證了本文承載力計(jì)算公式的可靠性。

2)當(dāng)軸力變化時(shí)，Mu-δ是一條或由多條二次拋物線組成的曲線，且拋物線開口向下。δ越小，Mu越大，當(dāng)δ等于零時(shí)，此時(shí)塑性中和軸和軸力合力點(diǎn)重合，承載力達(dá)到最大。

3)Mu-N曲線曲率主要由組合梁寬度、材料強(qiáng)度決定，其值越大，曲率越小，曲線越平，這可用于判斷軸力變化時(shí)抗彎承載力的變化趨勢。

上述結(jié)論對基坑鋼支撐中軸力和彎矩共同作用下的型鋼-混凝土組合梁的工程設(shè)計(jì)有較大的參考價(jià)值。