基于小波分解的AVOA-DELM月徑流時間序列預(yù)測模型及應(yīng)用

張亞杰

(云南省玉溪市易門縣水利局，云南 玉溪 651100)

徑流時間序列預(yù)測是指依據(jù)已有的歷史監(jiān)測數(shù)據(jù)，通過科學(xué)的方法推測將來的徑流變化趨勢。提高徑流時間序列預(yù)測精度對區(qū)域水資源開發(fā)利用、防洪抗旱規(guī)劃、水庫優(yōu)化調(diào)度等具有重要意義。傳統(tǒng)中長期徑流預(yù)測模型有回歸類模型[1]、集對分析模型[2]和灰色模型[3-4]等，這類模型原理簡單、速度快，但由于徑流受氣候變化、人類活動、土地利用變化和植被覆蓋等多種因素的影響，徑流序列呈現(xiàn)出非平穩(wěn)性和多尺度等特征，為提高預(yù)測精度帶來了難度[5]。當(dāng)前，互補(bǔ)集合經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(CEEMD)、奇異譜分解(SSA)、變分模態(tài)分解(VMD)、極點(diǎn)對稱模態(tài)分解(ESMD)等分解算法是徑流時間預(yù)測前處理的常用和有效方法，通過分解算法可將復(fù)雜的原始徑流序列分解為多個平穩(wěn)子序列進(jìn)行預(yù)測，可大幅提升模型精度，如桑宇婷等[6]利用互補(bǔ)集合經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(CEEMD)方法和BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建立組合預(yù)測模型，將其應(yīng)用于汾河上游月徑流預(yù)測；王麗麗等[7]融合奇異譜分析(SSA)方法、灰狼優(yōu)化算法、回歸支持向量機(jī)模型，提出SSA-GWO-SVR月徑流組合預(yù)測模型；呂晗芳等[8]建立變分模態(tài)分解(VMD)-最小二乘支持向量回歸機(jī)(LSSVM)耦合模型，將其應(yīng)用于上靜游站等多個水文站月徑流預(yù)測；李繼清等[9]融合極點(diǎn)對稱模態(tài)分解(ESMD)與BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，構(gòu)建ESMD-BP模型對黃河上游唐乃亥站進(jìn)行徑流預(yù)報。

分解算法是月徑流時間預(yù)測前處理的常用方法之一，將復(fù)雜的原始月徑流序列分解為多個平穩(wěn)子序列進(jìn)行預(yù)測，可大幅提升模型精度。目前，CEEMD、SSA、VMD等時間序列分解方法已在月徑流時序數(shù)據(jù)分解中得到應(yīng)用，并取得較好的分解效果；BP、SVM、LSTM等模型是月徑流時間序列預(yù)測的最常用的模型之一，但BP、SVM、LSTM模型存在缺點(diǎn)與不足，如BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)存在設(shè)置參數(shù)多、易陷入局部最優(yōu)等缺點(diǎn)；SVM模型存在對參數(shù)敏感、大容量樣本預(yù)報中表現(xiàn)不佳等不足；LSTM模型預(yù)測性能較好，但存在內(nèi)存資源消耗大、運(yùn)行時間長等缺陷。小波分解(wavelet decomposition，WD)是以傅里葉變換為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的信號預(yù)處理方法，能很好地平衡時間分辨率和頻率分辨率之間的矛盾，由于其較好的時序數(shù)據(jù)分解效果，已在處理各類非平穩(wěn)信號中得到廣泛應(yīng)用。非洲禿鷲優(yōu)化算法(african vultures optimization algorithm，AVOA)是Abdollahzadeh B等[12]于2021年受非洲禿鷲覓食和導(dǎo)航行為啟發(fā)而提出的一種新型元啟發(fā)式優(yōu)化算法，具有尋優(yōu)能力強(qiáng)、收斂速度快等優(yōu)點(diǎn)。深度極限學(xué)習(xí)機(jī)(deep extreme learning machine，DELM)也叫多層極限學(xué)習(xí)機(jī)，其采用多個基于極限學(xué)習(xí)機(jī)(extreme learning machine，ELM)的自編碼器(ELM-AE)進(jìn)行無監(jiān)督預(yù)訓(xùn)練，然后利用各ELM-AE的輸出權(quán)重初始化整個DELM，從結(jié)構(gòu)上看DELM相當(dāng)于把多個ELM連接到一起，但它相對于ELM能更全面地捕捉到數(shù)據(jù)之間的映射關(guān)系并提高處理高維度輸入變量的精確度。與傳統(tǒng)ELM相比，具有隨機(jī)參數(shù)少，網(wǎng)絡(luò)復(fù)雜度低，激活函數(shù)類型多樣化等優(yōu)點(diǎn)[13-15]。但在實(shí)際應(yīng)用中，DELM隱含層神經(jīng)元數(shù)對DELM網(wǎng)絡(luò)預(yù)測性能影響較大，目前主要采用人工試算等方法確定，不但費(fèi)時繁瑣，且精度不高。

為提高月徑流時間序列預(yù)測精度，進(jìn)一步拓展徑流預(yù)測組合模型應(yīng)用范疇，基于WD方法、AVOA算法和DELM網(wǎng)絡(luò)，提出WD-AVOA-DELM月徑流時間序列組合預(yù)測模型，并構(gòu)建基于支持向量機(jī)(SVM)、BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)2種預(yù)測器的WD-AVOA-SVM、WD-AVOA-BP、AVOA-DELM、AVOA-SVM、AVOA-BP作分析對比模型，將該6種模型應(yīng)用于云南省丫勒水文站月徑流時間序列預(yù)測，旨在驗(yàn)證WD-AVOA-DELM模型用于月徑流時間序列預(yù)測的可行性。

1 研究方法

1.1 小波分解(WD)

小波分解(WD)基本思想是利用尺度空間Vj和小波空間Wj來表示平方可積函數(shù)空間L2(R)。定義{Vj}j∈Z是L2(R)上的一列閉子空間，小波空間Wj是Vj+1與Vj之差，即Vj+1=Vj⊕Wj，則可以推得[10-11]：

(1)

在此基礎(chǔ)上，利用Mallat提出的快速小波變換分解方法將非平穩(wěn)時間序列分解為若干不同尺度下的平穩(wěn)時間序列：

cj+1=Hcj，dj+1=Gcj，j=0，1，…，J

(2)

式中H——分解低通濾波器；G——分解高通濾波器；J——尺度數(shù)；{cj}、{dj}——原始時間序列c0的低頻、高頻成分。

1.2 非洲禿鷲優(yōu)化算法(AVOA)

AVOA是受非洲禿鷲覓食和導(dǎo)航行為啟發(fā)提出的一種元啟發(fā)式優(yōu)化算法。AVOA數(shù)學(xué)描述如下[12]。

a)確定最佳禿鷲。AVOA通過計(jì)算種群所有禿鷲適應(yīng)度，選擇最優(yōu)和次優(yōu)適應(yīng)度對應(yīng)的禿鷲作為最優(yōu)禿鷲和次優(yōu)禿鷲位置，其他禿鷲利用式(3)向最優(yōu)和次優(yōu)禿鷲移動。

(3)

式中Ri(t)——除最優(yōu)、次優(yōu)禿鷲外的其他禿鷲位置；BestV1、BestV2——最優(yōu)禿鷲和次優(yōu)禿鷲位置；L1、L2——介于0和1之間待測量參數(shù)，其和為1；pi——選擇最佳禿鷲的概率；fi——其他禿鷲適應(yīng)度；t——當(dāng)前迭代次數(shù)；其他參數(shù)意義同上。

b)禿鷲飽食率。禿鷲經(jīng)常覓食，若它們處于飽食狀態(tài)，則擁有較高能量，這使得它們可以在更廣闊的區(qū)域覓食；若處于饑餓狀態(tài)，則沒有足夠的能量飛行和在更強(qiáng)壯的禿鷹附近覓食。飽食率數(shù)學(xué)描述為：

(4)

式中F——禿鷲飽食率；T——最大迭代次數(shù)；z——-1和1之間的隨機(jī)數(shù)；h——-2和2之間的隨機(jī)數(shù)；rand1——0和1之間的隨機(jī)數(shù)；w——控制勘探過程參數(shù)，隨著w值增大，算法進(jìn)入勘探階段的概率增大，反知概率減小。

c)探索階段。禿鷲具有很高的視覺能力和較好的覓食能力。在AVOA中，禿鷲通過式(5)隨機(jī)搜尋不同區(qū)域。

(5)

式中Pi(t+1)——第t+1次迭代禿鷲位置；Pi(t)——第t次迭代禿鷲位置；X——禿鷲隨機(jī)移動的地方，以保護(hù)食物免受其他禿鷲奪取，X=2×rand，rand表示0和1之間的隨機(jī)數(shù)；P1——探索階段選擇參數(shù)；rand2、rand3、randP1——0和1之間的隨機(jī)數(shù)；ub、lb——搜索空間上、下限值；其他參數(shù)意義同上。

d)開發(fā)階段。AVOA中，開發(fā)階段分為開發(fā)一階段和開發(fā)二階段2種策略，并通過開發(fā)階段選擇參數(shù)P2、P3決定采用何種策略進(jìn)行位置更新。開發(fā)第一階段禿鷲位置更新描述如下：

Pi(t+1)=

(6)

式中 rand4、rand5、rand6、randP2——0和1之間的隨機(jī)數(shù)；P2——開發(fā)第一階段更新策略選擇參數(shù)；其他參數(shù)意義同上。

開發(fā)第二階段禿鷲位置更新描述如下：

(7)

式中 BestV1(t)、BestV2(t)——第t次迭代最優(yōu)、次優(yōu)禿鷲位置；randP3——0和1之間的隨機(jī)數(shù)；P3——開發(fā)第二階段更新策略選擇參數(shù)；Levy(d)——隨即游走，其每一步方向完全隨機(jī)而各向同性，步長為重尾分布；其他參數(shù)意義同上。

1.3 深度極限學(xué)習(xí)機(jī)(DELM)

深度極限學(xué)習(xí)機(jī)(DELM)從結(jié)構(gòu)上看相當(dāng)于把多個極限學(xué)習(xí)機(jī)(ELM)連接到一起，能更全面地捕捉到數(shù)據(jù)之間的映射關(guān)系，有效提高處理高維度、非線性數(shù)據(jù)的能力。

設(shè)DELM有Q組訓(xùn)練數(shù)據(jù){(xi,yi)|i=1,2,…,Q|}和M個隱含層，將輸入訓(xùn)練數(shù)據(jù)樣本根據(jù)自編碼器極限學(xué)習(xí)機(jī)(ELM-AE)理論得到第一個權(quán)值矩陣β1，接著得到隱含層特征向量H1，…，以此類推，能夠得到M層的輸入層權(quán)重矩陣βM和隱含層特征向量HM。DELM數(shù)學(xué)模型表述式為[16-18]：

(8)

1.4 WD-AVOA-DELM建模流程

步驟一采用deny小波作為WD的基函數(shù)，將丫勒水文站1990年1月至2009年12月共240個月月徑流時序數(shù)據(jù)分解為4個子序列分量S1—S4，見圖1。從圖1可以看出，S1幅值最大，聚集了原始月徑流時序數(shù)據(jù)的大部分能量，描述了徑流序列的趨勢。S4為所有分解分量中的最高頻成分，也是幅值最低的分量，描述了原始月徑流時序數(shù)據(jù)的波動情況。

圖1 丫勒站月徑流時序WD分解結(jié)果

步驟二在延遲時間為1的條件下，采用虛假最鄰近法(FNN)確定各子序列分量及原序列的嵌入維度m，即利用序列前m個月徑流預(yù)測當(dāng)月月徑流量。本文大致按2∶1劃分訓(xùn)練、預(yù)測樣本，即利用實(shí)例1～156個月月徑流數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練樣本，157～240月徑流數(shù)據(jù)作為預(yù)測樣本。

步驟三選用3隱層DELM網(wǎng)絡(luò)。針對各子序列分量，通過AVOA優(yōu)化各隱含層神經(jīng)元數(shù)，構(gòu)建WD-AVOA-DELM模型目標(biāo)函數(shù)：

(9)

步驟四設(shè)置AVOA種群規(guī)模N，最大迭代次數(shù)T，各階段更新策略選擇參數(shù)P1、P2、P3；隨機(jī)初始化禿鷲種群位置Pi(i=1,2,…,N)，令當(dāng)前迭代次數(shù)t=0。

步驟五計(jì)算所有禿鷲適應(yīng)度值，確定最優(yōu)、次優(yōu)禿鷲位置BestV1、BestV2。

步驟六對于種群所有禿鷲，利用式(3)其他禿鷲位置；利用式(4)計(jì)算禿鷲飽食率，若|F|≥1，利用式(5)更新禿鷲位置；若0.5≤|F|< 1，利用式(6)更新禿鷲位置；若0≤|F|< 0.5，利用式(7)更新禿鷲位置。

步驟七計(jì)算更新后所有禿鷲種適應(yīng)度，比較并確定最優(yōu)、次優(yōu)禿鷲位置BestV1、BestV2。

步驟八令t=t+1。判斷是否滿足終止條件，若是，輸出BestV1，算法結(jié)束；否則轉(zhuǎn)至步驟六。

步驟九輸出BestV1，即DELM最佳隱含層神經(jīng)元數(shù)。利用AVOA-DELM模型對各子序列分量S1—S4進(jìn)行預(yù)測，預(yù)測結(jié)果疊加重構(gòu)后即得到丫勒站最終月徑流預(yù)測結(jié)果。

2 實(shí)例應(yīng)用

丫勒水文站位于云南玉溪市峨山縣，建于1958年12月，1975年撤銷，1990年恢復(fù)，屬綠汁江干流控制站，控制徑流面積7 098 km2，為國家重要水文站及省級報汛站。綠汁江發(fā)源于楚雄州武定縣貓街鎮(zhèn)干沙溝西麓，為元江右岸一級支流，屬紅河水系。綠汁江由北向南流經(jīng)祿豐、雙柏、易門、峨山、新平等縣后匯入元江，徑流面積8 613 km2，河流長294 km，自然落差1 651 m，平均比降4.9‰，流域水力資源理論蘊(yùn)藏量為330.7 MW。本文數(shù)據(jù)來源于云南省丫勒水文站1990年1月至2009年12月共240個實(shí)測月徑流序列。從圖2可以看出，丫勒水文站月徑流時序數(shù)據(jù)呈現(xiàn)出典型的多尺度、非線性特征。

圖2 1990—2009年丫勒水文站月徑流變化曲線

2.1 參數(shù)設(shè)置

WD-AVOA-DELM、WD-AVOA-SVM、WD-AVOA-BP、AVOA-DELM、AVOA-SVM、AVOA-BP模型參數(shù)設(shè)置見表1。

表1 各模型參數(shù)設(shè)置

2.2 預(yù)測結(jié)果及分析

利用所構(gòu)建的6種模型對實(shí)例月徑流進(jìn)行預(yù)測，結(jié)果見表2，預(yù)測結(jié)果見圖3、4。利用平均相對誤差(MAPE)、平均絕對誤差(MAE)、確定性系數(shù)(DC)、合格率(QR)對各模型進(jìn)行評估，見式(10)。

(10)

表2 丫勒月徑流時間序列訓(xùn)練、預(yù)測結(jié)果對比

圖3 丫勒站月徑流時間序列預(yù)測相對誤差

圖4 丫勒站月徑流時間序列預(yù)測效果

依據(jù)表2及圖3、4可以得出以下結(jié)論。

a)WD-AVOA-DELM模型對丫勒站預(yù)測的MAPE、MAE分別為3.02%、0.411 m3/s，預(yù)測誤差較WD-AVOA-SVM、WD-AVOA-BP模型降低55.1%以上，預(yù)測精度較AVOA-DELM、AVOA-SVM、AVOA-BP模型提高1個數(shù)量級以上，QR為100%，DC達(dá)0.999 7，模型精度評價等級為甲級(合格率大于等于85%、確定性系數(shù)大于等于0.90)?？梢姡琖D-AVOA-DELM模型具有更好的預(yù)測精度，將其用于月徑流時間序列預(yù)測是可行的。

b)從表2來看，經(jīng)WD方法分解處理的WD-AVOA-DELM、WD-AVOA-SVM、WD-AVOA-BP模型預(yù)測精度遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于未經(jīng)分解處理的AVOA-DELM、AVOA-SVM、AVOA-BP模型，可見，采用WD對月徑流時間序列進(jìn)行分解，可達(dá)到弱化復(fù)雜環(huán)境對徑流時間序列影響的目的，從而提高模型預(yù)測精度。

c)依據(jù)GB/T 22482—2008《水文情報預(yù)報規(guī)范》，WD-AVOA-DELM、WD-AVOA-BP模型達(dá)到預(yù)測精度等級甲級；WD-AVOA-SVM模型達(dá)到預(yù)測精度等級乙級；AVOA-DELM、AVOA-SVM、AVOA-BP模型預(yù)測合格率低于30%，已不能滿足徑流預(yù)測精度需求。WD-AVOA-SVM模型僅達(dá)到預(yù)測精度等級乙級，預(yù)測精度低于WD-AVOA-BP模型，表明SVM模型雖然在小樣本預(yù)測中具有優(yōu)勢，但在相對大容量樣本的月徑流中長期預(yù)測中不具優(yōu)勢。

d)從圖4來看，WD-AVOA-DELM模型預(yù)測的絕大多數(shù)月徑流相對誤差在-5%～5%范圍內(nèi)波動，具有較小的預(yù)測誤差；從圖5來看，WD-AVOA-DELM模型預(yù)測結(jié)果能夠很好地逼近實(shí)測徑流，具有較好的預(yù)測效果。通過AVOA優(yōu)化DELM隱含層神經(jīng)元數(shù)，有效提高了DELM網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測精度和智能優(yōu)水平。

3 結(jié)論

為提高月徑流時間序列預(yù)報精度，提出WD-AVOA-DELM月徑流時間序列預(yù)測模型，并構(gòu)建WD-AVOA-SVM、WD-AVOA-BP、AVOA-DELM、AVOA-SVM、AVOA-BP作對比分析模型，通過云南省丫勒站月徑流時間序列預(yù)測實(shí)例對各模型進(jìn)行檢驗(yàn)，得到如下結(jié)論。

a)WD-AVOA-DELM模型對丫勒站月徑流預(yù)測精度遠(yuǎn)優(yōu)于WD-AVOA-SVM、WD-AVOA-BP模型，較AVOA-DELM、AVOA-SVM、AVOA-BP模型提高1個數(shù)量級以上，預(yù)測精度評價等級為甲級，具有較好的預(yù)報精度和實(shí)際應(yīng)用價值。

b)采用WD對月徑流時間序列進(jìn)行分解，可將原月徑流時間序列分解為更簡潔、更具規(guī)律的子序列分量，大大降低預(yù)測器的預(yù)測難度，從而提高預(yù)測精度；通過AVOA優(yōu)化DELM隱含層神經(jīng)元數(shù)，有效提高了DELM網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測精度和智能優(yōu)水平。

c)WD-AVOA-DELM模型能充分發(fā)揮WD方法、AVOA算法和DELM網(wǎng)絡(luò)優(yōu)勢，表現(xiàn)出較好的預(yù)測精度和穩(wěn)定性能。本文提出的預(yù)測模型及預(yù)測方法可為相關(guān)徑流時間序列預(yù)測研究提供新途徑。