方陣可對(duì)角化的應(yīng)用研究

白昊月

(吉林建筑科技學(xué)院，長(zhǎng)春 130000)

1 反求矩陣

反求矩陣問(wèn)題是矩陣相似對(duì)角化的一個(gè)延伸問(wèn)題，教學(xué)過(guò)程中應(yīng)適當(dāng)滲透此方法。

例1：設(shè)三階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A的特征值分別為λ1=-7,λ2=λ3=2,該矩陣屬于λ1的特征向量為α1=(1,2，-2)T.求矩陣A。

于是令Q=(η1,η2,η3),Λ=diag(-7,2,2),則Q為正交矩陣，且Q-1AQ=QTAQ=Λ.則有

2 求解方陣的n次冪

在線性代數(shù)中，求解方陣的冪是一種特殊的矩陣乘法問(wèn)題，利用矩陣可對(duì)角化的性質(zhì)，以比較簡(jiǎn)單明了的方法解決了以下問(wèn)題。

求得兩個(gè)特征值對(duì)應(yīng)的特征向量分別為

故

3 實(shí)對(duì)稱(chēng)陣的正交對(duì)角化

除了上述比較常見(jiàn)的兩個(gè)例子之外，還有一些有意義的結(jié)論提出，對(duì)于一個(gè)實(shí)對(duì)稱(chēng)陣，在正交化的過(guò)程中存在的正交矩陣是不唯一的，那么是否能夠找到與同一個(gè)實(shí)對(duì)稱(chēng)陣相似的不同對(duì)角陣之間的關(guān)系，或者用另一個(gè)矩陣建立起聯(lián)系？這個(gè)矩陣該如何求解？通過(guò)下述例題來(lái)進(jìn)行簡(jiǎn)單說(shuō)明。

定理1[1]對(duì)于n階實(shí)對(duì)稱(chēng)陣A，若存在正交矩陣P、Q，使得PTAP=Λ、QTAQ=Λ1均為對(duì)角陣，則存在正交陣X，使得XT(QTAQ)X=Λ，那么還存在一個(gè)正交陣設(shè)為R使其建立起聯(lián)系，QX=PR。

R=P-1T=P-1QX=PTQX

4 求解數(shù)列通項(xiàng)公式

定理2[3]若n階方陣有n個(gè)不同的特征值，則該方陣可對(duì)角化。

例4：已知數(shù)列{xn},{yn}滿(mǎn)足xn=xn-1+3yn-1，yn=2xn-1+2yn-1，且y0=2x0=10，求x100,y100。

5 求解數(shù)列極限

求解數(shù)列極限可分為兩種情況：具有線性遞推關(guān)系的數(shù)列、可化為具有線性遞推關(guān)系的數(shù)列。通過(guò)例題分別對(duì)兩種情況加以說(shuō)明。

解：將已知條件的遞推關(guān)系組寫(xiě)為矩陣形式：

6 結(jié) 語(yǔ)

方陣的對(duì)角化在解決實(shí)際問(wèn)題中具有廣泛的應(yīng)用，在高等數(shù)學(xué)中也具有重要價(jià)值和意義。