線性代數教學案例設計
——向量組線性相關性

劉建豐，李秀展

(山東華宇工學院，山東 德州 253000)

隨著現代科學的進一步發(fā)展，線性代數這門數學類基礎專業(yè)課程在多領域得到了廣泛應用。相較于高等數學，線性代數的具體內容更加抽象化，新含義與定理比較多，非數學專業(yè)類學生學習起來較為困難。在課堂教學中，要引入恰當的實例，通過構建難題分析模型來提升學生思考的專注度與深度，這是提升學生學習效果的有效方法。

1 線性代數教學存在的問題

(1)學生方面。與學生同時期學習的專業(yè)課程相比，線性代數的知識理解更為困難，難以用具體的圖像來直觀展示其相關概念性質，學生對線性代數的重要性認識不夠，難以提高學習積極性；(2)教師方面。教師在教學過程中主要關注線性代數知識的理論性和系統(tǒng)性，缺乏知識實踐性和應用性方面的拓展，難以與學生所學專業(yè)學科進行互動。

2 線性代數教學中使用教學案例的必要性

教學案例有現實意義，較為典型，能夠給學生帶來一定啟發(fā)，幫助學生養(yǎng)成良好的學習行為習慣，擅長運用數學思維解決問題，強化學生的刻苦鉆研精神、項目合作意識及科學文化素質。

3 教學設計

A.教學背景。向量組的線性相關性是線性代數中求線性方程組的重要知識點，通過引入教學案例啟發(fā)學生思考，引出線性表示、線性相關等概念，讓學生能夠應用所學知識解決實際問題。

B.教學內容。向量組的線性組合與線性表示的概念、向量組的線性相關性與線性無關性、極大線性無關組的概念、用向量組的秩判斷向量組線性相關性的方法。

C.教學重難點。教學重點：向量組線性相關性的定義、判斷向量組線性相關性的兩種方法、向量組線性相關性的相關結論；教學難點：向量組的線性相關性的判定。

D.教學理念。用問題吸引學生主動學習，問題設計要緊緊圍繞向量的線性相關性這一重要知識點。通過生活中的例子引入知識點，讓學生發(fā)現生活中的數學內在規(guī)律并掌握其應用方法。

E.教學方式。使用“難題情境—查看反思—形成數學概念—應用實例”的結構設計。提出問題：剖析問題，創(chuàng)造問題情境；查看反思：從學生已經掌握的知識點出發(fā)，提出相對簡單的問題，逐步吸引學生進行觀察、剖析、思考，使學生在剖析難題的過程中了解數學，探究數學，掌握數學現象與基本規(guī)律；形成數學概念：由淺入深，讓學生用原有的向量運算方式理解線性相關性，用相對簡單的例子幫助學生形成具體的數學概念。

4 案例分析

A.引入案例。問題引入：某藥廠使用9類藥品，編號分別為A～I，按如下比例配制成了7種新的成品藥，如表1所示。

表1 成品藥配置 (單位：g)Tab.1 Finished drug configuration (unit:g)

試解答：(1)某廠家準備要購買成品藥，但藥廠的3號成藥和6號成藥已經賣完，請問能否用其他成品藥配制出這兩種藥品？(2)某醫(yī)院想配制3種新的特效藥，表2給出了3種新的特效藥的成分含量，請問如何配置？

表2 3種新藥成分含量 (單位：g)Tab.2 3 kinds of composition content of new drug (unit:g)

利用線性相關性的概念進一步求出3種新藥的配制方法：可假設3種新藥分別為v1,v2,v3，分別列得線性方程組求解，最終可得v1=m1+3m2+2m4，v2=3m1+4m2+2m4+m7，即可得到v1,v2兩種新藥的配制方法，而v3無法用mi線性表示，即無法用原藥品配置3號新藥。

C.典型例題講解，練習鞏固。例：討論向量組

解：設存在不全為0的數字x1,x2,x3,x4使得x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=0，即

0×α1+(-2)×α2+0×α3+1×α4=0

存在不全為0的數字x1,x2,x3,x4使得x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=0，即向量組α1，α2，α3，α4線性相關。

總結性質：從向量組線性相關性的概念推導出其對應性質。在推導的過程中，使學生進一步理解向量組線性相關性的含義。

D.掌握算法，拓展延伸。在案例中能否配制6號成品藥的問題與3號、6號成品藥能否同時配制成功的問題可拓展為向量組的線性相關性在實際生產生活中的應用實例。

E.總結方法，深化理解。結合所講習題活學活用，進行小結，掌握解題的辦法及基本規(guī)律，引導學生總結判別方程組線性相關的辦法。

F.課后思考。提出思考題：(1)若由向量組組成系數矩陣構成的齊次線性方程組無解，則該向量組是否線性相關？(2)若存在一向量組線性無關，在添加部分向量組后是否會改變線性相關性？考慮向量組是否線性相關是檢驗學生對向量組線性相關性定義的理解，而添加向量組判斷線性相關性則是為下一個內容極大無關組做鋪墊，起到承上啟下的作用。

5 特色與創(chuàng)新

以問題驅動和互動式學習為教學形式，以學生為活動主體，課堂教學過程由易到難，簡單明了地講解了深層次的課程知識。從生活中的常見案例和目前的時代背景出發(fā)，啟示學生夢想與堅持是密不可分的，要學習持之以恒、團結協作、永不言棄的精神，提高學生的學習熱情和內在動力。