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    基于教學(xué)實(shí)踐的矩陣秩教學(xué)設(shè)計(jì)研究

    2022-07-30 09:28:20張會平
    黑龍江科學(xué) 2022年13期
    關(guān)鍵詞:命題向量證明

    張會平

    (中國人民大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,北京 100872)

    矩陣的秩是線性代數(shù)教學(xué)中的一個重點(diǎn)與難點(diǎn),是線性方程組、矩陣、向量三個重要研究對象的交叉點(diǎn),地位十分重要。矩陣的秩的行列式定義與矩陣的行秩和列秩的關(guān)系是教學(xué)中的一個難點(diǎn)[1-6],本研究總結(jié)出了一個較為簡潔的講授方式。

    1 給出矩陣的列秩、行秩、秩的概念

    定義1:矩陣的列向量組的秩稱為矩陣的列秩;矩陣的行向量組的秩稱為矩陣的行秩。

    定義2:設(shè)A為m×n矩陣,在A中任選k行k列,位于這些選定的行和列的交點(diǎn)上的k2個元素按照原來的次序所組成的k階行列式被稱為矩陣A的k階子式。

    定義3:矩陣A中最高階非零子式的階數(shù)被稱為矩陣A的秩,當(dāng)A為零矩陣時,稱A的秩為零。

    注:這幾個概念都比較簡單,先給出概念,使學(xué)生能夠盡早理清并記住概念,這有助于后面理論內(nèi)容的學(xué)習(xí)。

    2 證明初等變換不改變矩陣的列秩與行秩

    在這一部分詳細(xì)證明幾個命題,使學(xué)生能夠清晰理解初等變換不改變矩陣的列秩與行秩。同時,命題1的證明過程也是向量組的極大線性無關(guān)組和秩的求法的理論保證,這為后續(xù)求極大無關(guān)組和秩做好了鋪墊。

    命題1:初等行變換不改變矩陣的列向量組的線性關(guān)系,從而不改變矩陣的列秩且保持極大無關(guān)組的位置不變。

    證明(如圖1可得結(jié)論):

    圖1 證明過程Fig.1 Process of proof

    同理可以證明下面的對稱結(jié)果命題2。

    命題2:初等列變換不改變矩陣的行向量組的線性關(guān)系,從而不改變矩陣的行秩。

    下面來證明命題3與它的對稱結(jié)果命題4。

    命題3:初等行變換保持矩陣的行向量組等價,從而不改變矩陣的行秩。

    證明(如圖2所示):

    圖2 證明過程Fig.2 Process of proof

    由圖2可知,左右兩個向量組等價,從而它們的秩相等,同理可以證明下面的對稱結(jié)果命題4。

    命題4:初等列變換保持矩陣的列向量組等價,從而不改變矩陣的列秩。

    綜合命題1至命題4的結(jié)果,可以得到矩陣的初等行列變換不改變矩陣的行秩與列秩。

    注:命題1和命題3的證明采用圖表,避免繁瑣的敘述,使學(xué)生能夠抓住問題的核心,領(lǐng)悟證明的主要思想。教學(xué)過程中,語言講解配合這兩個圖即可順利完成這一難點(diǎn)的證明。

    3 證明矩陣的行秩=矩陣的列秩

    3.1 復(fù)習(xí)矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形

    命題5:任何矩陣都可以經(jīng)過初等行變換化為階梯形矩陣,進(jìn)而通過初等行變換化為簡化階梯形矩陣,再經(jīng)過初等列變換可化為標(biāo)準(zhǔn)形。

    3.2 證明過程

    定理1:矩陣的行秩=矩陣的列秩

    證明:設(shè)矩陣A為m×n矩陣,由命題5可知A經(jīng)過一系列初等行變換與初等列變換可以化為標(biāo)準(zhǔn)形B。

    4 證明矩陣的秩=矩陣的列秩

    在這一部分,用以秩為2的4×4矩陣A為例來證明A的秩與A的列秩相等。這樣的處理不僅可以使學(xué)生理解該證明方法的核心思想,而且避免了證明這個結(jié)果的一般形式時的繁瑣表達(dá)。在教學(xué)實(shí)踐中,很多學(xué)生對該結(jié)果的一般情況的證明理解不透,而以低階矩陣的證明為例,學(xué)生以此為參照就可以自學(xué)教材中的一般情況的證明,這樣既達(dá)到了教學(xué)目標(biāo),又同步培養(yǎng)了學(xué)生的自學(xué)能力。

    定理2:矩陣的秩=矩陣的列秩

    證明:以秩為2的4×4矩陣為例來證明該結(jié)果,一般情形的證明類似。

    注:若其他二階子式不為零,證明方法類似。

    下面證明矩陣A的列秩為2,從而定理得證。

    (1)證明的A的列向量組{α1,α2,α3,α4}含有兩個線性無關(guān)的向量。

    (2)證明的A的列向量組{α1,α2,α3,α4}中的所有向量都可以由α1,α2線性表出。

    綜合(1)和(2)的結(jié)果,可知矩陣A的列秩為2,從而可得矩陣A的列秩等于矩陣A的秩。

    推論:矩陣的秩=矩陣的行秩

    5 給出極大無關(guān)組與秩的求法

    由命題1可知,求矩陣的列向量組的極大無關(guān)組和秩,只需對該矩陣作初等行變換化為階梯陣即可觀察得出。

    例:

    一般情況下,在B中很容易找到一個不為零的最高階子式,這是因?yàn)榫仃嘊是階梯形矩陣,只需選取矩陣B的全部非零行,再選取每一行的首非零元所在的列,這些行和列的交叉位置上的元素一定構(gòu)成B的一個非零子式,且B不可能有更高階的非零子式(這是因?yàn)橐呀?jīng)選取了B的所有非零行),這樣B的秩就是這些列的列數(shù),當(dāng)然也是這些行的行數(shù)(即階梯陣B的非零行的行數(shù));B的這些列就一定是B的列向量組的一個極大線性無關(guān)組,進(jìn)而由命題1可知矩陣A的秩和矩陣A的列向量組的一個極大線性無關(guān)組。

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