廣義波導不變量

高大治，康德祥，宋文華，李小雷，李玉征

（1.中國海洋大學海洋技術學院，山東青島 266100；2.中國海洋大學電子工程學院，山東青島 266100；3.中國海洋大學物理與光電工程學院，山東青島 266100）

0 引言1

淺海聲場在頻域、空間域及時域會出現(xiàn)亮暗相間的條紋，稱為淺海聲場干涉結構。淺海聲場干涉結構的系統(tǒng)研究可追溯到20 世紀50 年代[1]，Weston 推導了淺海聲場中射線和簡正波干涉結構的關系，分別給出了幾種典型波導中模態(tài)干涉距離表達式[2-3]，并在實驗室實驗[4]和海試實驗[5]中驗證了理論公式、進行了理論模型和實驗數(shù)據(jù)對比研究[6]。后來大量學者從不同角度分別論述了淺海聲場干涉現(xiàn)象[7-9]。Orlov 從20 世紀70 年代開始領導水聲研究者系統(tǒng)地研究聲場干涉現(xiàn)象，發(fā)表了一系列論文[10-13]。20 世紀80 年代初，Chuprov 探討空間-頻率（r-ω）域淺海波導聲場干涉結構特征，首次明確地提出了波導不變量β的概念，其定義式為[14-15]

波導不變量β由信號頻率ω、聲源和接收器間的水平距離r以及在（r-ω）平面內(nèi)干涉條紋的斜率?ω/?r決定。不同的海洋環(huán)境具有不同的波導不變量，β是環(huán)境參數(shù)的函數(shù)。科研人員除了對水平不變波導環(huán)境β的分布范圍進行研究[16]外，水平緩變波導環(huán)境[17-19]和水平突變波導環(huán)境[20]β的分布范圍也進行了深入探討和研究。近十年來，國內(nèi)外學者分別針對波導不變量進行了大量理論和應用研究[21-27]。以上研究均是在Chuprov 對波導不變量定義式（式（1））基礎上開展的，在傳播距離-頻率（r-ω）域干涉條紋的傾斜和彎曲僅考慮距離變化這一個因素。D’Spain 等曾經(jīng)在其波導不變量相關的論文[28]中討論過方位角對β的影響，但研究沒有給出系統(tǒng)論述，尤其是針對目標距離和方位角同時改變的情況。

在實際應用中，假設聲源目標直線運動，接收器靜止。通常存在聲源運動軌跡經(jīng)過接收器和不經(jīng)過接收器兩種情況；當聲源與接收器不經(jīng)過接收器時，不僅聲源與接收器間的距離變化，聲源與接收器之間的方位角也發(fā)生變化。傳統(tǒng)的研究往往忽略了方位角變化對干涉條紋的影響。本文研究發(fā)現(xiàn)，針對水平緩變楔形波導，如果沿用傳統(tǒng)波導不變量的定義，僅考慮距離r變化對β的影響，無法解釋實驗數(shù)據(jù)中干涉條紋的彎曲規(guī)律。因此本文引入了方位角變化對β的影響并定義為廣義波導不變量，成功解釋了干涉條紋中的彎曲規(guī)律。

1 海上實驗

2021 年6 月，中國海洋大學在青島近海海域展開了一次水聲調(diào)察實驗。實驗海域為典型的水平緩變楔形地形，西高東低，水平傾斜角僅有0.05°左右。實驗海區(qū)水深約26 m，采用RBR 公司的溫鹽深儀（Conductivity Temperature Depth,CTD）實測海域聲速剖面，實驗海域水體聲速變化不大，從上到下最大聲速與最小聲速相差約4.5 m·s-1。

實驗中航道上航行的船只為目標聲源，聲吶浮標通過水面下5 m 的單水聽器被動接收航道船只輻射的噪聲信號。浮標系統(tǒng)具備實時計算、GPS 定位及無線通信功能，可以實時記錄水聽器接收的聲信號及浮標自身的位置信息并傳輸?shù)酱d接收端。漁船上搭載船舶自動識別系統(tǒng)（Automatic Identification on System,AIS）獲取附近船只的船號、運動軌跡、速度、航向等信息，并實時地將數(shù)據(jù)通過串口傳輸?shù)诫娔X終端。

經(jīng)過對AIS 數(shù)據(jù)的解碼，提取525125019 號目標船的信息，聲吶浮標位置與目標船的運動軌跡信息如圖 1 所示。目標船自西向東駛離港口，為長199.96 m，寬 29.8 m 的大型貨船，吃水深度為10.2 m，航速v=8.75 m·s-1，目標船與聲吶浮標間最近點（Closest Position of Approach,CPA）的距離rCPA=1 930 m。

圖1 目標船運動軌跡以及聲吶浮標布放位置 Fig.1 Target ship trajectory and location of sonobuoy

根據(jù)OpenCPN 海圖數(shù)據(jù)庫，目標船運動軌跡處的海底地形為緩下坡，水平傾斜角0.05°，接收器處水深約26 m，目標船運動軌跡處水深約從24 m緩變到28 m。目標船在到達最近點CPA 之前，目標船處的水深小于聲吶浮標處的水深，經(jīng)過最近點CPA 之后，目標船處的水深大于聲吶浮標處的水深。聲吶浮標海上實驗照片如圖2 所示。

圖2 聲吶浮標海上實驗照片 Fig.2 Photo of sonobuoy in the sea trial

根據(jù)目標船和聲吶浮標的GPS 信息，截取時長為300 s 的聲信號，利用短時傅里葉變換（Short Time Fourier,STFT）對目標船聲信號做時頻分析，時間窗的長度為1 s，得到時頻圖如圖3 所示。通過時頻圖可以發(fā)現(xiàn)，以最近點tCPA為分割（圖3 中白色豎線），左右兩側的干涉結構明顯不對稱。利用時頻圖信息提取海域波導不變量，取0～100 s（圖3 中兩條紅色豎線間時間段）和200～300 s（圖3 中兩條黑色豎線間時間段）兩個時間段的聲數(shù)據(jù)分別提取波導不變量。首先根據(jù)GPS 數(shù)據(jù)將時頻圖進行坐標轉換，0～100 s 和200～300 s 時間段信號的時頻圖轉換到距離-頻率域[29]，如圖4（a）、4（b）所示。然后利用二維傅里葉變換（2D-FFT）提取β分布，tCPA之前0～100 s 時間段干涉譜提取出的波導不變量β=1.435，如圖4（c）所示。tCPA之后200～300 s 時間段干涉譜提取出的波導不變量β=0.87，如圖4（d）所示。

圖3 目標船輻射噪聲的時頻圖 Fig.3 Time-frequency diagram of radiated noise from target ship

圖4 從距離-頻率域干涉譜提取波導不變量β Fig.4 Extraction of waveguide invariant β from interference spectrum in range-frequency domain

本次實驗海域無明顯聲速躍層，且海底水平傾斜角僅僅只有0.05°，在幾千米范圍內(nèi)波導不變量值差別如此之大（突變65%）的情況未在以前的研究論文中發(fā)表過。傳統(tǒng)的波導不變量理論也無法解釋以上實驗結果。

作者認為，實驗中干涉結構出現(xiàn)左右不對稱現(xiàn)象是聲源運動時聲源相對于接收器的海底傾斜角變化導致的。在楔形傾斜海底，當方位角不變時，聲源相對于接收器的海底傾斜角不發(fā)生變化；當方位角變化時，聲源相對于接收器的海底傾斜角也發(fā)生變化，方位角變化和聲源相對于接收器海底傾斜角變化存在對應關系。因此，本文將傳統(tǒng)的波導不變量理論進行拓展，不僅考慮距離變化項對波導不變量的影響，還考慮方位角變化對波導不變量的影響。

2 廣義波導不變量理論

假設聲源直線運動，其軌跡不經(jīng)過接收器，示意圖如圖5 所示。在該情況下，聲源的運動不僅會引起聲傳播路徑距離隨時間的變化，還會引起方位角隨時間的變化。

圖5 中橙色圓圈表示接收器的位置，藍色矩形表示聲源，v表示聲源的運動速度，vτ、vn分別表示徑向速度和切向速度，θ表示方位角。

圖5 聲源直線運動且不經(jīng)過接收器運動示意圖 Fig.5 Schematic diagram of the sound source moving in a straight line without passing the receiver

假設海底地形緩慢變化，滿足絕熱近似條件，水平波數(shù)是距離r的函數(shù)，則距離聲源r處的聲場 可以表示為

其中：k n（r,ω）為第n號簡正波的水平波數(shù)；an（r）為聲壓的幅度項。則聲強可以表示為

其中：?k mn（r,ω）是第m階與第n階簡正波的水平波數(shù)差，即?kmn（r,ω）=km（r,ω）?k n（r,ω）；bmn(r)表示相干項的系數(shù)。式（3）中，當考慮聲強的相位隨方位角變化時，其表達式中需增加方位角θ，聲強的相位為

式中：?kmn（ω,θ,r′）=km（ω,θ,r′）?kn（ω,θ,r′）是當前聲傳播路徑上的水平波數(shù)差；r′為聲傳播路徑上的距離，其中距離r′和方位角θ都是時間t的函數(shù)。方位角定義為：最近點位置處θ=0，最近點之前θ<0，最近點之后θ>0。此時沿著等相位線，可以得到：

其中：

對式（8）進行變換，可以得到：

根據(jù)圖5 的幾何關系可知：

式（10）中：α是聲源相對于接收器的角速度；vτ是聲源相對于接收器的徑向速度。角速度α與切向速度vn的關系式為

由此可得：

將式（6）～（12）代入式（5），可以得到：

對式（13）進行變換，可以得到：

進而根據(jù)波導不變量的定義式可以得到：

其中：sp,mn（ω,θ,r′）和sg,mn（ω,θ,r′）分別為當前聲傳播路徑上第m階與第n階簡正波的相慢度差和群慢度差。在這種情況下，波導不變量β與聲傳播路徑的距離以及方位角有關，式（15）中分子第一項對應的是聲傳播路徑距離改變的貢獻量，第二項對應的是方位角改變的貢獻量。當聲源接近最近點位置時，方位角θ→ 0，波導不變量取值存在奇點，當聲源與接收器的距離足夠遠時，方位角θ的變化非常微弱，β主要由式（15）中的第一項決定，方位角對波導不變量的影響可以忽略不計。式（15）中的第一項是經(jīng)典的波導不變量表達式，增加第二項后，波導不變量β不僅與聲源和接收器間距離變化項有關，還與聲源和接收器間方位角變化項有關，稱之為廣義波導不變量。

3 數(shù)值仿真

下面各種情形的仿真環(huán)境主要參數(shù)設置如下：仿真環(huán)境的水體聲速剖面使用2021 年6 月在某近海海域的CTD 實測數(shù)據(jù)，聲速剖面如圖6 所示。海底聲速設為1 620 m·s-1，海底密度為1.76 g·cm-3，海底衰減為0.3 dB·λ-1。聲源深度為8 m，聲源發(fā)射信號頻率范圍200～400 Hz，能量均勻分布，接收器深度為5 m，聲源與接收器的深度在仿真過程中保持不變。

圖6 仿真環(huán)境水體聲速剖面 Fig.6 Sound speed profile in the simulation environment

3.1 聲源以接收器為圓心做圓周運動

3.1.1 水平不變波導

假設聲傳播環(huán)境為水平不變波導，水深為26 m。水平不變波導聲源圓周運動示意圖如圖7 所示。聲源沿藍色圓做勻速運動，圓軌跡半徑2 km。利用Kraken 程序，每隔5°計算一次圓心位置接收到信號的頻譜。如圖8 所示為接收到聲信號的時頻譜，圖中橫坐標對應聲源沿圓弧運動角度的變化，縱坐標為頻率。

圖7 水平不變波導聲源圓周運動示意圖 Fig.7 Circular motion diagram of sound source in a horizontal depth invariant waveguide

圖8 水平不變波導水聽器接收的聲信號角度-頻率譜 Fig.8 The angle-frequency spectrum of the acoustic signal received by a hydrophone in a horizontal invariant waveguide

由于波導為水平不變波導，水聽器接收到聲信號與聲源運動角度無關，圖8 中信號的頻譜隨角度變化保持不變。

3.1.2 水平緩變楔形波導

假設聲傳播環(huán)境為水平緩變楔形波導，海底西高東低。水平緩變楔形波導聲源圓周運動示意圖如圖9 所示，聲源運動軌跡的圓半徑為2 km，海底傾斜角僅為0.057°。利用RAM 聲場計算程序，每隔5°計算一次圓心位置接收到信號的頻譜。如圖10所示為接收到聲信號的時頻譜，圖中橫坐標對應聲源沿圓弧運動角度的變化，縱坐標為頻率。

圖9 水平緩變楔形波導聲源圓周運動示意圖 Fig.9 Circular motion diagram of sound source in a horizontal depth slow-varying wedge waveguide

圖10 水平緩變楔形波導水聽器接收的聲信號角度-頻率譜 Fig.10 The angle-frequency spectrum of the acoustic signal received by a hydrophone in a horizontal slowly var-ying wedge waveguide

對比圖10 和圖8 的結果，明顯看到圖10 中聲信號頻譜出現(xiàn)了隨角度變化的“起伏”結構，探討引起起伏結構的原因，其中一種猜想是楔形波導的三維效應導致。作者分析了美國聲學學會（Acoustical Society of America,ASA）的典型三維楔形波導算例（如圖11 所示），其海底水平傾斜角接近3°，本文的聲傳播環(huán)境的海底水平傾角只有0.057°，二者的傾斜角相差50 倍。因此作者認為本文設置的聲傳播環(huán)境下，圖10 中的起伏現(xiàn)象不是聲場三維效應引 起的。

圖11 ASA 的三維楔形波導幾何示意圖 Fig.11 Geometric diagram of the 3D wedge waveguide of ASA

圖10 中引起聲信號頻譜出現(xiàn)了隨角度起伏變化的原因，可解釋為由于不同角度對應的海底傾斜角有輕微的改變，這一改變引起簡正波水平干涉跨度微小改變進而導致簡正波干涉項相位變化并表現(xiàn)在圖10 中的干涉圖像上。從仿真結果可知，即使在海底傾斜角很小的情況下，式（5）中的第三項也不可忽略，而這一項也恰恰是以前聲場干涉相關研究所忽略的。

3.2 聲源直線運動

3.2.1 水平不變波導

假設聲傳播環(huán)境為水平不變波導，水深為26 m，水平不變波導聲源直線運動示意圖如圖12所示。聲源沿藍色直線做勻速運動，水聽器與聲源運動軌跡的距離為1.93 km（圖12 中OA的長度）。假設聲源運動速度為8.75 m·s-1，仿真中設置的運動參數(shù)與前文實驗相同，水深假定水平不變，利用KRAKEN 程序在聲源軌跡上每隔2 s 計算一次水聽器接收到信號的頻譜。如圖13 所示為接收到聲信號的時頻譜，圖中橫坐標為時間，縱坐標為頻率。圖12 中聲源在150 s 時到達運動軌跡與縱坐標軸的交點，即圖12 中的點A。

圖12 水平不變波導聲源直線運動示意圖 Fig.12 Linear motion diagram of sound source in a horizontal depth invariant waveguide

圖13 水平不變波導水聽器接收的聲信號時頻譜 Fig.13 The time-frequency spectrum of the acoustic signal received by a hydrophone in a horizontal invariant waveguide

由于聲源運動時與水聽器之間的徑向距離變化呈現(xiàn)雙曲線的規(guī)律：

因此圖13 中水聽器接收到信號的時頻譜同樣為雙曲線形狀且曲線關于最近點時刻tCPA（150 s）左右對稱。與圖13 類似的時頻譜經(jīng)常在海上實驗中觀測到，文獻[29-30]研究了從時頻譜中提取目標運動參數(shù)的方法。

3.2.2 水平緩變楔形波導

假設聲傳播環(huán)境為水平緩變楔形波導，海底西高東低，水深由24 m 經(jīng)4 km 傳播距離后變化到28 m，以1 m·km-1的斜率改變，傾斜角僅為0.057°，如圖14 所示，聲源沿藍色直線做勻速運動，水聽器與聲源運動軌跡的最近距離為 1.93 km（圖中OA的長度）。假設聲源運動速度為 8.75 m·s-1，仿真中設置的運動參數(shù)與水深變化參數(shù)與前文實驗相同，利用拋物方程RAM-PE 模型聲場計算程序，每隔2 s 計算一次水聽器接收到信號的頻譜，得到如圖15 所示的時頻譜，圖中橫坐標為時間，縱坐標為頻率。

圖14 水平緩變楔形波導聲源直線運動示意圖 Fig.14 Linear motion diagram of sound source in a horizontal depth slow-varying wedge waveguide

圖15 水平楔形緩變波導水聽器接收的聲信號時頻譜 Fig.15 The time-frequency spectrum of the acoustic signal received by a hydrophone in a horizontal slowly varying wedge waveguide

3.2.1節(jié)和3.2.2 節(jié)的仿真唯一變化的是海底傾斜角，情況1 假設海底水平不變，海底無傾斜，3.2.2 節(jié)假設海底傾斜角為0.057°。對比圖13 和圖15 可明顯看到圖13 是左右對稱結構，圖15 出現(xiàn)不對稱現(xiàn)象，左側斜率明顯高于右側，說明左側波導不變量β較大，右側較小。圖15 的不對稱現(xiàn)象與海試實驗測量的時頻譜（圖3）的不對稱現(xiàn)象吻合，說明海試實驗中的時頻譜不對稱現(xiàn)象與海底微小的傾斜有關。

以最近到達時間tCPA為分割點將干涉譜分為兩部分，按照時間和距離信息將時間-頻率域干涉譜轉換成距離-頻率域干涉譜[29]，如圖16（a）、16（b）所示。由于最近點附近方位角快速變化，對波導不變量的取值影響非常大，所以取離最近點較遠的0～100s 時間段和200～300 s 時間段的距離-頻率域干涉譜分別做二維傅里葉變換得到波導不變量β的取值分布，最近到達時間tCPA之前0～100 s 時間段干涉譜提取出的最優(yōu)波導不變量β=1.63，如圖16（c）所示，最近到達時間tCPA之后200～300 s 時間段干涉譜提取出的最優(yōu)波導不變量β=0.93，如圖16（d）所示。雖然仿真提取的波導不變量β與實驗數(shù)據(jù)中提取的有一定誤差（實驗中左側β=1.435，右側β=0.87），但左側明顯高于右側的規(guī)律是一致的。波導不變量仿真值與實驗結果的誤差是仿真中海底參數(shù)設置量與真實海底的誤差造成的。

圖16 從距離-頻率域干涉譜提取波導不變量β Fig.16 Extraction of waveguide invariant β from interference spectrum in range-frequency domain

為了驗證本文理論部分公式推導的正確性，根據(jù)上述仿真環(huán)境，利用kraken 軟件進行聲場建模，使用N×2D 算法模擬三維環(huán)境，假設每一個二維（2D）平面滿足絕熱近似。經(jīng)過聲場計算，聲源頻率為300 Hz 時，取第2 號簡正波和第3 號簡正波的相慢度和群慢度等相關參數(shù)代入式（15）分子中進行分析，結果如圖17 所示。由圖17 可以看出，式（15）分子中第一項在聲源運動過程中是緩變的，對應著聲傳播路徑距離變化對波導不變量β的影響，分子中第二項在最近點左右兩部分的取值存在明顯差異，對應方位角對波導不變量的影響。當聲源在最近點附近時，分子中的第二項出現(xiàn)明顯的跳變。當聲源逐漸遠離最近點時，分子中第二項的取值趨于一致。從圖17 的結果可知，式（15）分子中第二項（方位角）對β的影響非常大，不可忽略。

圖17 式（15）中分子項分析示意圖 Fig.17 Schematic diagram of molecular term analysis in Formula (15)

取前三號簡正波的相慢度和群慢度等相關參數(shù)代入式（15）中進行分析，任意兩號簡正波相互疊加得到三組波導不變量的分布曲線，β的變化情況如圖18 所示。在最近點tCPA附近的波導不變量取值出現(xiàn)不連續(xù)現(xiàn)象，在0～100 s 時間窗內(nèi)波導不變量取值在1.6 附近，200～300 s 時間窗內(nèi)波導不變量取值在0.9 附近。結果表明，通過聲場仿真的時間-頻率域干涉條紋提取的波導不變量β（圖 16（c）、16（d））與簡正波推導式預報結果（圖18）相符。

圖18 根據(jù)式（15）計算得到的不同簡正波組合的β Fig.18 Values for β calculated from Formula (15) for different combinations of modes

4 結論

本文首先在實驗數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)，水聽器接收的聲信號時頻譜干涉結構出現(xiàn)左右不對稱也就是左右波導不變量差異巨大的現(xiàn)象。為了解釋這一現(xiàn)象，本文在波導不變量的定義式中考慮了方位角對β的影響，并將新定義的β稱之為廣義波導不變量。對于淺海大陸架常見的水平緩變楔形海底地形，采用本文提出的廣義波導不變量概念，成功解釋了同一航跡聲場干涉結構左右波導不變量差異巨大的現(xiàn)象。

水平緩變楔形海底是我國淺海大陸架常見地形，針對具體海域，當海底地形已知時，利用本文的廣義波導不變量理論可僅用單標量水聽器實現(xiàn)目標航跡方向判定，作者下一步將針對該應用問題開展細致研究。

致謝感謝參與2021 年6 月青島近海調(diào)查實驗的全體人員，他們的辛勤工作為本文提供了可靠寶貴的實驗數(shù)據(jù)。