“一二三四”法破解追及相遇問(wèn)題*

安 然 何 娟

(阜陽(yáng)師范大學(xué)物理與電子工程學(xué)院 安徽 阜陽(yáng) 236037)

追及相遇問(wèn)題是高中物理中的難點(diǎn)問(wèn)題，同時(shí)也是歷年高考中的常見考點(diǎn).面對(duì)各種復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)情況，學(xué)生往往沒(méi)有頭緒，不知從何處入手.部分教師習(xí)慣于歸納總結(jié)具體類型以便學(xué)生解題，例如：勻加速追勻速、勻速追勻減速、勻加速追勻減速等等.然而學(xué)生在解決具體問(wèn)題時(shí)僅僅記住教師給出的模型，生搬硬套，一旦題目有變化便難以解答.因此,只有將所有類型統(tǒng)一起來(lái)，歸納出一般的解題思路與技巧，才能從根本上突破追及相遇問(wèn)題[1～4].本文根據(jù)筆者長(zhǎng)期的教學(xué)實(shí)踐，總結(jié)出“一二三四”法來(lái)破解追及相遇問(wèn)題并舉例說(shuō)明，供廣大物理教師參考與借鑒.

1 “一”個(gè)概念先牢記

追及相遇問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是研究?jī)蓚€(gè)物體的時(shí)空關(guān)系，而其中核心的概念“相遇”是指兩個(gè)物體在同一時(shí)刻處于同一位置.具體題目中可能會(huì)出現(xiàn)某些隱含字眼，例如“恰好”“剛好”“避免”等等，這些詞語(yǔ)往往意味著“相遇”的發(fā)生.此外，值得強(qiáng)調(diào)的是在追及相遇問(wèn)題中，“剛好相遇”與“剛好不相遇”描述的是同一種狀態(tài)，即兩物體同一時(shí)刻處于同一位置.

2 “兩”類圖像畫仔細(xì)

圖像對(duì)解決物理問(wèn)題有很大幫助，追及相遇問(wèn)題亦是如此.該問(wèn)題主要涉及兩類圖像，一是兩物體運(yùn)動(dòng)的示意圖；二是描述物體運(yùn)動(dòng)的物理量之間的函數(shù)關(guān)系圖(以v-t圖像為主).將兩類圖像準(zhǔn)確無(wú)誤地畫出，有助于讀懂題目，明確運(yùn)動(dòng)過(guò)程，為后續(xù)解題做鋪墊.

3 “三”條關(guān)系來(lái)分析

在明確運(yùn)動(dòng)過(guò)程之后需要分析題目，此時(shí)應(yīng)借助3條關(guān)系：時(shí)間關(guān)系、位移關(guān)系、速度關(guān)系.

時(shí)間關(guān)系是指兩個(gè)物體各自的運(yùn)動(dòng)時(shí)間之間的聯(lián)系.若同時(shí)運(yùn)動(dòng)同時(shí)停止則t1=t2；若兩個(gè)物體運(yùn)動(dòng)有先后順序則t1=t2+t0.

位移關(guān)系是指兩個(gè)物體各自的位移之間的聯(lián)系.在確定兩物體位移關(guān)系時(shí)通常借助兩物體運(yùn)動(dòng)示意圖.此外還要注意兩物體是否從同一地點(diǎn)出發(fā)，如不是，還要考慮初始位置之間的位移差.

速度關(guān)系是指兩個(gè)物體各自的速度之間的聯(lián)系，是3條關(guān)系中最重要的一條.當(dāng)速度相等時(shí)，是兩物體間距離最大或最小，恰好追上或恰好追不上，不相遇、相遇一次或相遇兩次，或恰好不相撞的臨界條件.

4 “四”大方法去解題

在完成了審題、析題之后就要進(jìn)行解題，具體有4種方法，分別是：臨界法、圖像法、函數(shù)法和相對(duì)運(yùn)動(dòng)法.下面以一道題為例，分別介紹4種方法并展示運(yùn)用這4種不同的方法解答，最后加以評(píng)析.

【例1】甲車以v1=20 m/s的速度在平直公路上勻速行駛，突然駕駛員發(fā)現(xiàn)正前方100 m處有另一輛汽車乙正以v2=10 m/s的速度同向勻速行駛，駕駛員立即制動(dòng)，假設(shè)制動(dòng)過(guò)程中甲車做加速度大小為a的勻減速直線運(yùn)動(dòng)，乙車保持勻速運(yùn)動(dòng)，若要使兩車不相撞，a應(yīng)滿足什么條件？

4.1 臨界法

臨界法在解決物理問(wèn)題過(guò)程中應(yīng)用廣泛，對(duì)于追及相遇問(wèn)題，臨界條件即共速.例如速度大者減速追趕速度小者勻速，當(dāng)共速時(shí)恰好追上，此時(shí)處于臨界狀態(tài)；又如速度小者加速追趕速度大者，在共速時(shí)兩物體間距離最大.此題運(yùn)用臨界法解答如下.

解：設(shè)a最小值為a0，此時(shí)甲乙兩車恰好不相撞.由臨界法可知，當(dāng)甲乙兩車共速時(shí)如未相撞，則將不會(huì)相撞.根據(jù)速度關(guān)系有

v1-at=v2

根據(jù)甲、乙兩車位移關(guān)系有

其中

s0=100 m

以上代入數(shù)據(jù)可得

a0=0.5 m/s2

所以要使兩車不相撞

a≥0.5 m/s2

評(píng)析：臨界法是解決追及相遇問(wèn)題最普遍、最常用的方法，其思路清晰、邏輯流暢，同時(shí)也是最常規(guī)的方法，在教學(xué)中應(yīng)使全體學(xué)生掌握.

4.2 圖像法

圖像法是指根據(jù)x-t圖像和v-t圖像，利用圖像的斜率、截距、面積的物理意義求解的方法.利用x-t圖像求解時(shí)，分別作出兩個(gè)物體的x-t圖像，如果兩個(gè)物體的x-t圖線相交，則說(shuō)明兩物體相遇；利用v-t圖像求解時(shí)，注意比較v-t圖線與時(shí)間軸所圍圖形的面積與初始距離.此題運(yùn)用圖像法解答如下.

解：分別作出甲、乙兩車的速度-時(shí)間圖像如圖1所示，即t0時(shí)刻兩車恰好不相撞，由題意及v-t圖線與t軸所圍圖形面積的物理意義有

圖1 甲、乙兩車的v-t圖

代入數(shù)據(jù)解得

t0=20 s

解得

則a≥0.5 m/s2.

評(píng)析：利用圖像將追及和相遇的物理過(guò)程清晰、直觀地展示出來(lái)，有助于學(xué)生理解與分析題目，圖像法解題還可以培養(yǎng)學(xué)生作圖、識(shí)圖、用圖的能力，提升數(shù)形結(jié)合的思維.

4.3 函數(shù)法

先求出在任意時(shí)刻t兩物體間的距離y=f(t)，若對(duì)任何t均存在y=f(t)>0，則這兩個(gè)物體不能相遇；若存在某個(gè)時(shí)刻t使得y=f(t)≤0，則這兩個(gè)物體能相遇.此題運(yùn)用函數(shù)法解答如下.

解：為使兩車不相撞，其位移關(guān)系應(yīng)滿足

代入數(shù)據(jù)得到

根據(jù)二次函數(shù)知識(shí)可知，若使函數(shù)值大于或等于零，其頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)必然大于或等于零，因此代入數(shù)據(jù)可得

解得

a≥0.5 m/s2

評(píng)析：函數(shù)法將物理問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行求解，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)水平有一定要求，且有利于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)與物理相結(jié)合的思想.

4.4 相對(duì)運(yùn)動(dòng)法

相對(duì)運(yùn)動(dòng)法是利用相對(duì)運(yùn)動(dòng)的知識(shí)求解追及相遇問(wèn)題，通過(guò)選擇合適的參考系，簡(jiǎn)化物理情境，最終解決問(wèn)題.在運(yùn)用此方法時(shí)應(yīng)注意將兩物體相對(duì)地面的物理量(位移、速度和加速度)轉(zhuǎn)化為相對(duì)的物理量.此題運(yùn)用相對(duì)運(yùn)動(dòng)法解答如下.

解：設(shè)a最小值為a0，此時(shí)甲、乙兩車恰好不相撞.以乙車為參考系，則甲車的初速度為v0=10 m/s，以加速大小a0減速，行駛s0=100 m后“停下”，末速度為vt=0.根據(jù)勻變速直線運(yùn)動(dòng)位移時(shí)間公式有

代入數(shù)據(jù)解得

a0=0.5 m/s2

則

a≥0.5 m/s2

評(píng)析：相對(duì)運(yùn)動(dòng)法過(guò)程簡(jiǎn)單，運(yùn)算量小，但對(duì)學(xué)生知識(shí)水平要求較高，需在扎實(shí)并熟練掌握勻變速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律的基礎(chǔ)上運(yùn)用，適用于學(xué)有余力的學(xué)生，不做全體要求.

綜上所述，掌握“一個(gè)概念先牢記、兩類圖像畫仔細(xì)、三條關(guān)系來(lái)分析、四大方法去解題”的解題步驟與思路，方能以不變應(yīng)萬(wàn)變，徹底破解追及和相遇問(wèn)題.