研究高考真題 探究命制軌跡 提升備考效率
——以一道解析幾何高考真題為例

甘肅 張 科 廣東 駱妃景

(作者單位：甘肅省蘭州市榆中縣恩玲中學 廣東省東莞市麻涌中學)

往年的高考試題是精雕細磨的產(chǎn)物，它反映了對考試內(nèi)容的深思熟慮、對設問和答案的準確拿捏、對學生水平的客觀判斷.研究這些試題，就如同和試題的命制者對話.解析幾何真題往往具有很多優(yōu)美的性質(zhì)與結論，不少解析幾何試題源于圓錐曲線的某幾個性質(zhì)，背景深遠，內(nèi)涵豐富，是研究的好素材，備受高中數(shù)學教師青睞.2021年高考數(shù)學全國乙卷理科第21題就是一道極具內(nèi)涵的試題，從解法和背景來看，正是歷經(jīng)千年，無窮魅力的阿基米德三角形及其性質(zhì)內(nèi)蘊好題，試題如下：

【例】(2021·全國乙卷理·21)已知拋物線C：x2=2py(p>0)的焦點為F，且F與圓M：x2+(y+4)2=1上點的距離的最小值為4.

(1)求p；(2)若點P在M上，PA，PB是C的兩條切線，A，B是切點，求△PAB面積的最大值.

本題以拋物線和圓這兩種熟悉的幾何圖形為載體，考查拋物線的切線和最值問題，作為2021年高考數(shù)學全國乙卷理科壓軸題，表面上看似熟題，但做起來容易產(chǎn)生思維“卡殼”，讓學生無從下手.

第(1)問求p值，比較基礎，只需對已知條件進行“翻譯”，即用p表示出焦點坐標，再運用“圓外一點到圓上一點的距離”相關知識列出一元一次方程即可順利求解.本小問雖然簡單，但是求第(2)問的必經(jīng)之路，若計算錯誤，則第(2)問必將一敗涂地.

第(2)問求三角形面積的最大值，題干敘述簡潔明了，但解題時不好入手.首先要選對方法，本題中幾何法應當被排除，故考慮代數(shù)法，即用代數(shù)的方式表示出三角形的面積，再利用函數(shù)或不等式求出最值.該問側(cè)重考查考生的數(shù)形結合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想以及運算求解能力，顯然具有較好地選拔功能.

1.思路分析，解法探究

第(1)問解法分析

本小問主要考查“圓外一點到圓上一點的距離”問題.若設圓外一點到圓心的距離為d，圓的半徑為r，則圓外一點到圓上一點的距離的最大值為d+r，最小值為d-r.靈活運用該結論，目標問題即可迎刃而解.

第(2)問解法分析

思路1：利用導數(shù)的幾何意義，求出拋物線的兩條切線方程，從而求出切點弦所在直線方程，然后聯(lián)立方程組利用韋達定理，由弦長公式及點到直線的距離公式表示出三角形的面積，最后利用函數(shù)單調(diào)性求解.

設點A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，

又因為點P(x0，y0)在切線PA，PB上，

則x1+x2=2x0，x1x2=4y0.

評注：該解法是處理此類問題的常規(guī)解法，也是大部分學生求解過程中使用的最直接的方法，利用導數(shù)的幾何意義求出切線方程，進而求出切點弦所在直線方程，然后聯(lián)立方程組表示出三角形面積，最后轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題.

思路2：利用拋物線上任意一點切線方程的性質(zhì)，先寫出切線方程，進而求出兩條切線的交點坐標，通過分析可知該交點與弦的中點橫坐標相同，得到線線平行，進而表示出三角形面積，最后利用函數(shù)求解最值.

解法二：由(1)知拋物線C的方程為x2=4y.

設點A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，則由拋物線上一點的切線方程的性質(zhì)可知，切線PA的方程為xx1=2(y+y1)，切線PB的方程為xx2=2(y+y2).

又由點P(x0，y0)在圓M上，

評注：該解法利用拋物線上一點的切線方程的性質(zhì)，先求出兩條切線方程，進而求出交點的坐標；然后結合中點坐標公式得出平行關系；最后利用“分割與組合思想”表示出三角形面積，將目標問題轉(zhuǎn)化為相關函數(shù)的最值問題，進而利用函數(shù)性質(zhì)求解最值.

思路3：根據(jù)直線與拋物線相切聯(lián)立方程組，利用根與系數(shù)的關系、導數(shù)與斜率、方程根的思想表示出三角形面積的表達式，再運用二次函數(shù)法分析問題的最值，然后巧妙運用點在圓上，使問題轉(zhuǎn)化為變量在一定范圍內(nèi)函數(shù)的最值問題.

解法三：由(1)知拋物線C的方程為x2=4y.

設圓上任意一點P(x0，y0)，過點P作拋物線的切線斜率為k，則切線方程為y=k(x-x0)+y0.

設兩條切線PA，PB的斜率分別為k1，k2，

則有k1+k2=x0，k1k2=y0③.

評注：采用熟知的通性通法，先將直線與拋物線相切轉(zhuǎn)化為對應方程的判別式為零；然后運用根與系數(shù)的關系、化歸與轉(zhuǎn)化思想、方程思想分析問題；最后根據(jù)函數(shù)思想，順利求解三角形面積的最大值.

思路4：利用導數(shù)及斜率公式切入，然后運用方程的思想轉(zhuǎn)化出有關變量的表達式，進而求出三角形的面積，最后利用函數(shù)性質(zhì)求出最值.

解法四：由(1)知拋物線C的方程為x2=4y.

設點A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，

評注：該方法利用了導數(shù)和斜率公式，運用了方程思想，轉(zhuǎn)化了各變量間的關系，應用弦長公式和點到直線的距離公式將三角形的面積進行了表示，最后利用函數(shù)的性質(zhì)靈活求解最值問題.

思路5：借助圓的參數(shù)方程設點，利用點斜式得到拋物線的切線方程，與拋物線方程聯(lián)立方程組，并令Δ=0得到動點坐標和切點坐標，從而得到直線AB的方程以及線段AB的長，再求出點P到直線AB的距離，即可獲得三角形面積的表達式，最后利用函數(shù)性質(zhì)求出三角形面積的最大值.

解法五：由(1)知拋物線C的方程為x2=4y.

因為點P在圓M：x2+(y+4)2=1上，所以可設點P(cosθ，sinθ-4)，從而可設切線方程為y=k(x-cosθ)+sinθ-4.

即16k2-4(4kcosθ-4sinθ+16)=0，

化簡得k2-kcosθ+sinθ-4=0.

設兩條切線PA，PB的斜率分別為k1，k2，則有k1+k2=cosθ，k1k2=sinθ-4，所以P(k1+k2，k1k2).

從而，點P到直線AB的距離

又因為-1≤sinθ≤1，所以當sinθ=-1時，

評注：該解法借助圓的參數(shù)方程設點，將問題進行適當轉(zhuǎn)化，最終將三角形面積的最值問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值，使得目標問題得以順利求解.

思路6：此題還可以結合向量利用三角形面積的坐標公式進行計算.

引理證明如下：

又P(m+n，mn)在圓M：x2+(y+4)2=1上，

由①②得(m-n)2=-sin2θ-4sinθ+17.

評注：利用三角形面積的坐標公式計算三角形面積運算量少，優(yōu)化解法.在解題過程中運用二次函數(shù)最值思想和正弦函數(shù)的有界性.

2.性質(zhì)探究

本題命題背景是拋物線的弦與過弦的端點的兩條切線所組成的三角形，此三角形被稱為阿基米德三角形.下面以拋物線y2=2px(p>0)為例，探究阿基米德三角形?？夹再|(zhì)并加以證明.

命題：如圖，過點P(x0，y0)引拋物線C：y2=2px(p>0)的兩條切線PA，PB，切點分別為A，B，M為AB的中點.則有如下的性質(zhì)：

證明：設A(x1，y1)，B(x2，y2)，M為弦AB的中點，

則過A的切線為yy1=p(x+x1)，過B的切線為yy2=p(x+x2)，

性質(zhì)2：PM∥x軸；

于是得到PM∥x軸.

性質(zhì)3：切點弦AB的方程為yy0=p(x+x0)；

證明：因為過A的切線為yy1=p(x+x1)，過B的切線為yy2=p(x+x2)，

而點P(x0，y0)在切線PA，PB上，

所以y1y0=p(x1+x0)且y2y0=p(x2+x0)，

這表明點A，B均在直線yy0=p(x+x0)上，又經(jīng)過兩點的直線唯一存在，

所以直線AB的方程為yy0=p(x+x0).

性質(zhì)4：若AB過定點(m，n)，則P的軌跡方程為ny=p(m+x)；

性質(zhì)5：PM的中點Q在拋物線上，過點Q作拋物線的切線，該切線與AB平行；

設直線AB的方程為x=my+n，

所以(y1-y2)2≤a2，

3.結語

在高考備考中，要深入研究研究經(jīng)典命題，不僅包含理解試題考查的基本知識，求解的思想方法，更要探尋試題的命制軌跡，對一些經(jīng)典的知識和方法進行拓展延伸，做到舉一反三是很有必要的，它應該成為教師解題教學或習題課的一種常態(tài).只有這樣才能有助于我們正確把握高考的命題趨勢，提升備考效率，于教學過程中落實學科核心素養(yǎng).